2019-2020学年北师大版九年级下期第一次月考数学试卷及答案

图1
图2
俯视图
左视图
主视图
从正面看
12A B C
D
E F
A '
D
'
2019-2020学年九年级下期第一次月考数学试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．在0.01，0，5-，-15
这四个数中，最小的数是( ) A ．0.01 B ．0
C ．5-
D ．-15
2．地球的表面积约为510 000 000km 2，将510 000 000用科学记数法表示为( ) A ．0.51×109 B ．5.1×108 C ．5.1×109 D ．51×107 3．由6个大小相同的正方体搭成的几何体，被 小颖拿掉2个后，得到如图1所示的几何体， 图2是原几何体的三视图．请你判断小颖拿掉 的两个正方体原来放在( ) A ．1号的前后 B ．2号的前后 C ．3号的前后
D ．4号的左右
4．下列计算正确的是( )
A
B ．(a -b )2=a 2-b 2
C ．a 2+a 3=a 5
D ．(2a 2b 3)3=-6a 6b 3 5．如图，ABCD 为一长条形纸带，AB ∥CD ，将ABCD 沿EF 折叠， A 、D 两点分别与A ，
、D ，
对应，若∠1=2∠2，则∠AEF 的度数为( ) A ．60° B ．65° C ．72° D ．75° 6．当b +c =4时，关于x 的一元二次方程
3x 2+bx -c =0
的根的情况为( )
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法确定
7．今年，某省启动了“关爱留守儿童工程”，某村小学为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10、15、10、17、18、20对于这组数据，下列说法错误的是( )
A ．平均数是15
B ．众数是10
C ．中位数是16
D ．方差是
10
3
8．若二次函数y =|a |x 2+bx +c 的图象经过A (m ，n )、B (0，y 1)、C (3-m ，n )、D
y 2)、E (2，y 3)，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( )
A ．y 1<y 2<y 3
B ．y 1<y 3<y 2
C ． y 3<y 2< y 1
D ．y 2< y 3< y 1 9．如图，已知平行四边形AOBC 的顶点O (0，0)，A (-3，4)，点B 在 x 轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点O 为圆心，适当长度为半径 作弧，分别交边OA ，OB 于点D ，
E ；②分别以点D ，E 为圆心，大于
1
2
DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点F ；③作射线OF ，交 边AC 于点G ．则点G 的坐标为( ) A ．(2，4)
B ．(5，4)
C ．(-2，4)
D ．(3，4)
10．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到 正方形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形OA 2019B 2019C 2019， 如果点A 的坐标为(1，0)，那么点B 2019的坐标为( )
E
C '
A B C D A
B C D
O /千克
频数(天数)A ．(1，1) B ．(0
C ．
0)
D ．(-1，1)
二、填空题(每题3分，15分) 11
．计算：21
()2
- ．
12．不等式组521
24
x x -≥⎧⎨
-<⎩的解集是 ．
13．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8．随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于8的概率是 ．
14．已知，如图，扇形AOB 中，∠AOB =120°，OA =2，若以A 为圆心，OA 长为 半径画弧交弧AB 于点C ，过点C 作CD ⊥OA ，垂足为D ，则图中阴影部分的面积 为 ．
15．如图，矩形ABCD 中，AB =2，AD =4，点E 在边BC 上， 把△DEC 沿DE 翻折后，点C 落在C ，处．若△ABC ，
恰为 等腰三角形，则CE 的长为 ．
三、解答题(本大题共8小题，满分75分)
16．(8分)先化简，再求值2244
()111x x x x x x
-++÷
---，其中x =5． 17．(9分)某公司的午餐采用自助餐的形式，并倡导员工“适度取餐，减少浪费”．该公司共有10个部门，且
各部门的人数相同，为了解午餐的浪费情况，从这10个部门中随机抽取了A ，B 两个部门，进行了连续四周(20个工作日)的调查，得到这两个部门每天午餐浪费饭菜的重量，以下简称“每日餐余重量”(单位：千克)，并对这些数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a ．A 部门每日餐余重量的频数分布直方图如下: (数据分成6组：0≤x <2，2≤x <4，4≤x <6，
6≤x <8，8≤x <10，10≤x <12)
b ．A 部门每日餐余重量在6≤x <8这一组的是：
6.1 6.6
7.0 7.0 7.0 7.8
c ．B 部门每日餐余重量如下： 1.4 2.8 6.9 7.8 1.9 9.7 3.1 4.6 6.9 10.8 6.9 2.6 7.5 6.9 9.5 7.8 8.4 8.3 9.4 8.8
d ．A ，B 两个部门这20个工作日每日餐余重量的
(1)写出表中m ，n 的值；
(2)在A ，B 这两个部门中，“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是 (填“A ”或“B ” )，
理由是 ；
(3)结合A ，B 这两个部门每日餐余重量的数据，估计该公司(10个部门)一年(按240个工作日计算)的餐余重量．
F
E A B
C D O
x
y -4-1134
2-2-3O 1
23-4-1-2
-3
18．(9分)如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上一个动点(不与点A ，B 重合)，D 是弦AC 上一点，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，过点C 作半圆O 的切线，交ED 的延长线于点F ．
(1)求证：FC =FD ． (2)①当∠CAB 的度数为 时，四边形OEFC 是矩形； ②若D 是弦AC 的中点，⊙O 的半径为5，AC =8， 则FC 的长为 ．
19．(9分)在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B 处测得楼顶A 的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C 处，再登上3米高的楼台D 处，并测得此时楼顶A 的仰角为45°． (1)求城门大楼的高度；
(2)每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A ，B 之间拉上绳子， 并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A ，B 之间所挂彩旗的长度(结果保留整数)．(参考数据：3sin 228︒≈
，15cos2216︒≈，2tan 22)5
︒≈
20．(9分)某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y (件)是售价x (元/件)的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w (元)的三组对应值如表：
售价x (元/件) 50 60 80 周销售量y (件) 100 80 40 周销售利润w (元)
1000
1600
1600
(1)①求y 关于x 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
②该商品进价是 元/件；当售价是 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 元．
(2)由于某种原因，该商品进价提高了m 元/件(m >0)，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m 的值． 21．(10分)某班“数学兴趣小组”对函数y =-x 2+2|x |+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
x ⋯ -3 52- -2 -1 0 1 2
52 3
⋯ y
⋯ -2
14
-
m
2
1
2
1 14
- -2
⋯
= ．(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了
函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
(3)观察函数图象，写出两条函数的性质． (4)进一步探究函数图象发现：
①方程-x 2+2|x |+1=0有 个实数根；
②关于x 的方程-x 2+2|x |+1=a 有4个实数根时，a 的取值范围是 ．
图1图2
图3A
B C A
B C D E F
A B C D E
F 22．(10分)(1)问题发现
在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =α，点D 为直线BC 上一动点，过点D 作DF ∥AC 交AB 于点F ，将AD 绕点D 顺时针旋转α得到ED ，连接BE ． 如图(1)，当α=90°时，试猜想：
①AF 与BE 的数量关系是 ；②∠ABE = ； (2)拓展探究
如图(2)，当0°<α<90°时，请判断AF 与BE 的数量关系及∠ABE 的度数，并说明理由． (3)解决问题 如图(3)，在△ABC 中，AC =BC ，AB =8，∠ACB =α，点D 在射线BC 上，将AD 绕点D 顺时针旋转α得到ED ，连接BE ，当BD =3CD 时，请直接写出BE 的长度．
23.(10分)如图抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-1，0)，点C (0，3)，且OB =OC ． (1)求抛物线的解析式及其对称轴；
(2)点D 、E 在直线x =1上的两个动点，且DE =1，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值． (3)点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．
F
E 郑州枫杨外国语中学2019-2020学年九年级下期第一次月考数学试题答案参考
一、选择题
1. C
2. B
3. B
4. A
5. C
6. A
7. D
8. D
9. A 10. C 二、填空题
11. 2 12. -2<x ≤2 13. 1
3
14. 233π 15. 223
三、解答题 16. 解：化简结果=12x -，把x =5代入求值结果=13
. 17. 解：(1)m =
6.67
2
+=6.8，n =6.9； (2)在A ，B 这两个部门中，“适度取餐，减少浪费”做得较好的部门是A ，理由是A 部门每日餐余重量的平均数和中位数都小于B 部门每日餐余重量的平均数和中位数；
故答案为：A ，A 部门每日餐余重量的平均数和中位数都小于B 部门每日餐余重量的平均数和中位数． (3)10×240×
6.6 6.4
2
+=15600kg ， 答：估计该公司(10个部门)一年(按240个工作日计算)的餐余重量15600kg ．
18. 解：(1)∵FC 是圆的切线，∴∠FCD +∠ACO ＝90°， ∵FE ⊥BA ，∴∠ADC +∠CAO ＝90°，而∠CAO ＝∠ACO ，∠ADE ＝∠FDC ， ∴∠FDC ＝∠FCD ，∴FC ＝FD ； (2)①当∠CAB ＝45°时，∠COB ＝90°，则四边形OEFC 是矩形，故答案是45； ②连接OD ，∵D 是弦AC 的中点，∴OD ⊥AC ，AD ＝DC ，
则∠ADE ＝∠AOD ＝∠FDC ＝α，则AD ＝CD ＝12
AC ＝4，OA ＝5，DO ＝4，
cos α＝OD OA ＝35，则△FDC 中， FD ＝12cos CD
α＝235
＝103＝FC ． 19. 解：(1)作AF ⊥BC 交BC 于点F ，交DE 于点E ，如右图所示， 由题意可得，CD ＝EF ＝3米，∠B ＝22°，∠ADE ＝45°，BC ＝21米，DE ＝CF ， ∵∠AED ＝∠AFB ＝90°，∴∠DAE ＝45°，∴∠DAE ＝∠ADE ， ∴AE ＝DE ，设AF ＝a 米，则AE ＝(a ﹣3)米，
∵tan ∠B ＝AF BF ，∴tan 22°＝21(3)a
a +-，
即2
5=21(3)
a a +-，解得，a ＝12，答：城门大楼的高度是12米； (2)∵∠B ＝22°，AF ＝12米，sin ∠B ＝
AF AB ，∴sin 22°＝12AB
，∴AB ≈12
38
＝32，
即A ，B 之间所挂彩旗的长度是32米．
20. 解：(1)①依题意设y＝kx+b，
则有
50100
6080
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
2
200
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，所以y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+200；
②该商品进价是50﹣1000÷100＝40，设每周获得利润w＝ax2+bx+c：
则有
2500501000
3600601600
6400801600
a b c
a b c
a b c
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪++=
⎩
，解得：
2
280
8000
a
b
c
=-
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-
⎩
，
∴w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2(x﹣70)2+1800，
∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；
故答案为：40，70，1800；
(2)根据题意得，w＝(x﹣40﹣m)(﹣2x+200)＝﹣2x2+(280+2m)x﹣800﹣200m，
∵对称轴x＝140
2
m
+
，∴①当
140
2
m
+
＜65时(舍)，②当
140
2
m
+
≥65时，x＝65时，w求最大值1400，
解得：m＝5．
21. 解：(1)由表格可知：图象的对称轴是y轴，∴m=1，故答案为：1；
(2)如图所示；
(3)性质：①函数的最大值是2，没有最小值；
②当x＞1时，y随x的增大而减小；
(4)①由图象得：抛物线与x轴有两个交点，
∴方程-x2+2|x|+1=0有2个实数根；故答案为：2；
②由图象可知：-x2+2|x|+1=a有4个实数根时，
即y=a时，与图象有4个交点，
所以a的取值范围是：1＜a＜2．故答案为：1＜a＜2．
22. 解(1)如图1中，设AB交DE于O．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，
∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C＝90°，∴∠DFB＝∠DBF＝45°，
∴DF＝DB，∵∠ADE＝∠FDB＝90°，∴∠ADF＝∠EDB，∵DA＝DE，
∴△ADF≌△EDB，∴AF＝BE，∴∠DAF＝∠E，
∵∠AOD＝∠EOB，∴∠ABE＝∠ADO＝90°.故答案为AF＝BF，90°．
(2)结论：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：
∵DF∥AC，∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB，
∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB，∴∠ABC＝∠DFB，∴DB＝DF，
∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE，∴∠ADF＝∠EDB，又∵AD＝DE，∴△ADF≌△EDB，∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD
∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE，∴∠ABE＝∠FDB＝α．(3)①如图3﹣1中，当点D在BC上时，
由(2)可知：BE＝AF，∵DF∥AC，∴AF CD
AB CB
==
1
4
，
∵AB＝8，∴AF＝2，∴BE＝AF＝2，
②如图3﹣2中，当点D在BC的延长线上时，
∵AC∥DF，∴AF CD
AB CB
=＝
1
2
，∵AB＝8，∴AF＝4，
故答案为2或4．
23. 解：(1)∵OB ＝OC ，∴点B (3，0)，
则抛物线的表达式为：y ＝a (x +1)(x ﹣3)＝a (x 2﹣2x ﹣3)＝ax 2﹣2ax ﹣3a ， 故﹣3a ＝3，解得：a ＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3…①， 函数的对称轴为：x ＝1；
(2)ACDE 的周长＝AC +DE +CD +AE ，其中AC DE ＝1是常数， 故CD +AE 最小时，周长最小， 取点C 关于函数对称点C ′(2，3)，则CD ＝C ′D ，
取点A ′(﹣1，1)，则A ′D ＝AE ，
故：CD +AE ＝A ′D +DC ′，则当A ′、D 、C ′三点共线时，CD +AE ＝A ′D +DC ′最小，周长也最小，
四边形ACDE 的周长的最小值＝AC +DE +CD +AE
+A ′D +DC ′
+A ′C ′ (3)如图，设直线CP 交x 轴于点E ，
直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3：5两部分，
又∵S △PCB ：S △PCA ＝12EB ×(y C ﹣y P )：12
AE ×(y C ﹣y P )＝BE ：AE ， 则BE ：AE ，＝3：5或5：3，
则AE ＝52或32，即：点E 的坐标为(32，0)或(12
，0)， 将点E 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +3， 解得：k ＝﹣6或﹣2，
故直线CP 的表达式为：y ＝﹣2x +3或y ＝﹣6x +3…② 联立①②并解得：x ＝4或8(不合题意值已舍去)， 故点P 的坐标为(4，﹣5)或(8，﹣45)．。