雷诺方程和雷诺应力详解

第十章 粘性流体动力学基础 上一节
下一节
第四节 雷诺方程和雷诺应力
□□□□在第四章曾经就湍流流动的速度分布、流动特点和流动损失等作了简单的讨论。

如果要知道湍流流场中的流动细节，即计算流场中点各点的流动参数，就需要建立适合于湍流流动的基本方程。

本节就是要导
出湍流流动的 雷诺方程。

□□□□从对湍流的研究可知，湍流运动中任何物理量都随时间和空间不断的变化，所以要想用 方程 求解这种运动的瞬时速度是非常困难的。

研究表明，虽然湍流运动十分复杂，但是它仍然遵循连续介质运动的特征和一般力学规律，因此，雷诺提出用时均值概念来研究湍流运动的方法，导出了以时间平均速度
场为基础的雷诺时均 方程。

□□□□雷诺从不可压缩流体的 N—S方程导出湍流平均运动方程（后人称此为雷诺方程）并引出雷诺应力的
概念。

之后，人们引用时均值概念导出湍流基本方程，使湍流运动的理论分析得到了很大的发展。

槽流动的数值模拟
10.4.1 常用的时均运算关系式
□□□□
设A、B、C为湍流中物理量的瞬时值，
为物理量的时均值， 为物理量的脉动
值，则具有以下的时均运算规律。

（ 1 ）时均量的时均值等于原来的时均值，即
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(10.43) 因为在时间平均周期T内 是个定值，所以其时均值仍为原来的值。

（2）脉动量的时均值等于零，即
(10.44)
（ 3 ）瞬时物理量之和的时均值，等于各个物理量时均值之和，即
= (10.45)
（ 4 ）时均物理量与脉动物理量之积的时均值等于零，即
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(10.46) 因为在平均周期内 是个定值，所以有
（ 5 ）时均物理量与瞬时物理量之积的时均值等于两个时均物理量之积，即
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(10.47) 同样在平均周期内 是个定值，所以
（ 6 ）两个瞬时物理量之积的时均值，等于两个时均物理量之积与两个脉动量之积的时均值之和，即
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(10.48)
推论
□□□□□□□□□□□□□□□□(10.49) (7) 瞬时物理量对空间坐标各阶导数的时均值，等于时均物理量对同一坐标的各阶导数，即
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(10.50)
其中， 代表任意坐标方向，如 。

推论：脉动量对空间坐标各阶导数的时均值等于零，即
(10.51)
（ 8 ）瞬时物理量对于时间导数的时均值，等于时均物理量对时间的导数，即
(10.52a)
在准定常的条件下，
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(10.52b) 10.4.2 湍流运动的连续方程
由于湍流流动中各物理量都具有某种统计特征的规律，所以基本方程中任一瞬间物理量都可用平均物理量和脉动物理量之和来代替，并且可以对整个方程进行时间平均的运算。

在湍流运动中，瞬时运动的速度应满足粘性流体的基本方程。

其连续方程为
对其进行时均运算
所以可压缩湍流运动的连续方程为
与瞬时值的连续方程相比，多出了三个脉动量乘积的导数的时均值。

□□□□对于不可压缩湍流运动， ，则连续方程可化为
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□( 10.53a )并可得到
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□（ 10.53b ）可见，对不可压湍流运动，时均运动和脉动运动的连续方程和瞬时运动的连续方程具有相同的形式。

10.4.3雷诺方程
□□□□对于不可压缩粘性流动，在不考虑质量力的情况下， N — S 方程具有下列形式
□□□□□□□□□□□□□（ 10.54a ） 利用不可压流瞬时运动的连续方程
可将式（ 10.5 4 a ）改写成
□□□□□□□□□□□□（ 10.54b ）
然后对式（ 10 .5 4b ）中的第一式进行时间平均运算，则有
□□□□□□□□□□□□□□（ 10.55 ）
由于 ，应用时均物理量与脉动物理量之积的时均值等于零的运算规则，即（
），可得
这样式 （ 10.55 ） 经过化简后，可表示为
再应用时均运动的连续方程 （ 10.53 ） ，上式可化为
同理可得 （ 10.56 ）
□□□□□□ （ 10.56 ）
方程组 （ 10.56 ） 就是著名的不可压缩流体作湍流运动时的时均运动方程称为雷诺方程。

□□□□将时均运动方程 （ 10.56 ） 和 N — S 方程（ 10.5 4 a ）相比可以看出，湍流中的应力，除了
由于粘性所产生的应力外，还有由于湍流脉动运动所形成的附加应力，这些附加应力称为雷诺应力。

雷诺方程与 N — S 方程在形式上是相同的，只不过在粘性应力项中多出了附加的湍流应力项。

□□□□以上导出的雷诺方程和连续方程中，除过要求解的四个变量 、 、 和 外，还有与脉动速度
有关的如 、 等六个未知数。

四个方程中有十个未知数，即方程组不封闭。

要使方程组封闭，必须补充其它未知量的关系式才能够进行求解。

10.4.4雷诺应力
□
□□□□将雷诺方程与粘性流体应力形式的动量方程进行比较，由式 （ 10.56 ） 可以看出，在湍流的时均
运动中，除了原有的粘性应力分量外，还多出了由脉动速度乘积的时均值 、 等构成的附加项，这些附加项构成了一个对称的二阶张量，即
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□（ 10.57 ）
式（ 10 .5 7 ）中的各项构成了所谓的雷诺应力。

雷诺应力的物理意义可理解如下
□□□□在稳定湍流中绕某点 M 处取一微元六面体图 10.4a ，考察过点 M 取与 x 轴垂直的某微元面 ，其
面积为 。

在单位时间内通过单位面积的动量为 ，其时均值为
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□（ 10.58 ）
式 （ 10.58 ） 左端是单位时间内通过垂直于 x 轴的单位面积所传递的真实动量的平均值，右端第一项是同一时间内通过同一面积所传递的按时均速度计算的动量，第二项是由于 x 方向上速度脉动所传递的
动量。

根据动量定理，通过 面有动量传递，那么在 面上就有力的作用。

式 （ 10.58 ） 中各项都具有力的因次，从而证明了在湍流情况下，沿 x 方向的时均真实应力，应等于时均运动情况下 x 方向上
的应力加上由于湍流中的 x 方向脉动引起的附加应力。

对 面来说，附加应力 与它垂直，所
以是法向应力，因此称之为附加湍流正应力。

图 10.4a 湍流应力分析
图 10.4b 湍流应力分析
□□□□由于在点 M 处沿 y 方向上有脉动速度 ，则在单位时间内通过微元面 （垂直于 y 轴）上的
单位面积流入的质量为 如图 10.4a 所示 ，这部分流体本身具有 x 方向的速度 ，因而
随之传递的 x 方向上的动量为 ，其时均值为
根据时均运算关系式， ，所以
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□（ 10.59a ）
□□□□图 10.4b 表示一个单位长度的流体微团因 y 方向的速度脉动 ，而在单位时间内通过单位面积上增加的 x 方向上的动量的时均值，即
□□□□□□□□□□□□□□□□（ 10.59b ）
式 （ 10.59a ） 表明，在单位时间内通过垂直于 y 方向的 面的单位面积所传递出去的 x 方向动量
为 ，因而该单位面积就受到一个沿 x 方向的大小为 的作用力。

式 （ 10.59b ）说明
了 这个力的变化量。

可以理解为：当流体质点由时均速度较高的流体层向时均速度较低的流体层脉动时
由于脉动引起的动量传递，使低速层被加速。

反过来，如果脉动由低速层向高速层发生，高速层被减速，
因此这两层流体在 x 方向上各受到切应力的作用。

是湍流中流体微团的脉动造成的，称为湍流切应力，记作 。

湍流正应力和湍流切应力统称为雷诺应力。

10.4.5普朗特混合长度理论
□□□□从雷诺方程可以看出，由于湍流运动采用了时均方法，在运动方程中出现了雷诺应力，从而增加了方程中的未知量，因此需要补充新的关系式才能求解。

如果补充的关系式是一个代数方程，而不需要补充任何附加的微分方程来求解时均流场，则称这种模型为零方程模型；若补充的关系式是一个微分方程（如湍流脉动动能方程），则称为一方程模型；若是两个微分方程，则称为双方程模型等等。

本节所讨论的普朗特混合长度理论即是所谓的代数模型（零方程模型）。

□□□□混合长度理论是基于经验性的一个经过实验验证的理论模型。

在许多问题中得到了较好的应用。

其基本思想是如果能够找出湍流应力与其它流场参数之间的关系，即找到了这些物理量的补充关系式，就可以使方程组封闭。

为此普朗特把湍流脉动与气体分子运动相比拟，认为雷诺应力是由流体微团的脉动引起的。

它和分子运动引起粘性应力的情况十分相似。

在定常层流直线运动中，由分子动量输运而引起的粘性
切应力 ，与此相对应，当湍流的时均流动的流线为直线时，认为脉动引起的雷诺切应力（湍流应力）也可以表示成上述类似的形式，即
（ 10.60 ）
式中的 称为湍流粘性系数。

这就是混合长度理论的基本思想。

□□□□另一方面，湍流应力与脉动速度有关，为了确定这种关系，普朗特做出了第一个假设：即流体微团 x
方向脉动速度 近似等于两层流体的时均速度之差，即
这一假设的基础是认为流体微团在 y 方向脉动，从这一层跳入另一层时，要经过一段与其他流体微团不
相碰撞的距离 （参看图 10.5 ），在这段距离上速度保持不变。

这个距离 称为混合长度，它是流体微团在湍流运动中的自由行程的平均值。

经过 距离后，流体微团以自己原来的动量进入另一层和周围流体相掺混。

从图（ 10.5 ）上可以看出， 层上的流体质点脉动到 y 层时，其速度比 y 层上的流体时均速度大。

它引起 y 层上流体速度有一个正的脉动，其值 。

同理，当流体微团从 y 层脉动
到 层时，使 层的流体有一个负的脉动速度，其大小也是 。

图 10.5 湍流的混合长度
□□□□普朗特又做出第二个假设，他认为y方向的脉动速度 成正比。

其
根据可用图 10.5 说明。

两层流体混合时，由于上下两层流体的速度差为 ，且两层流体的质点间
相互作用从而引起横向脉动，其速度为，因此该速度必然与速度差 有关，且两者具有相同的
数量级。

因此有
普朗特引入了混合长度的概念，确定了脉动速度 的大小与时均速度梯度之间的关系，从而确定湍流切应力的大小。

式中混合长度 尚未确定，因此可取 。

这样湍流切应力就可以写为
□□□□考虑到湍流切应力 的符号应与粘性切应力 的符号相同，为标出符号，上式可写成
□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□（ 10.61 ）
式中， ，混合长度 一般需要实验确定。

□。