人教版八年级初二数学第二学期二次根式单元 易错题自检题检测

一、选择题
1．下列计算正确的是（ ） A ．336+=
B ．3323+=
C ．336⨯=
D ．3333+= 2．下列各式计算正确的是（ ） A ．2+3=5
B ．43﹣33=1
C ．27÷3=3
D ．23×33=6
3．二次根式1x -中字母x 的取值可以是( ) A ．2
B ．0
C ．12
-
D ．-1
4．下列各式是二次根式的是（ ） A ．3
B ．1-
C ．35
D ．4π-
5．若2019202120192020a =⨯-⨯，2202242021b =-⨯，2202020c =+，则
a ，
b ，
c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．b c a <<
6．下列计算正确的是（ ） A ．366=± B ．422222÷= C ．83266-= D ．•a b ab = （a≥0，b≥0）
7．若a 、b 、c 为有理数，且等式成立，则2a ＋999b ＋1001c 的值
是（ ）
A ．1999
B ．2000
C ．2001
D ．不能确定 8．关于12的下列说法中错误的是（ ） A ．12是12的算术平方根 B ．3124<< C ．12不能化简
D ．12是无理数
9．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．18
B ．
13
C 24
D 0.3
10．23a -2a a 的值是（ ） A ．2
B ．-1
C ．3
D ．-1或3
二、填空题
11．使函数2
1
122y x x x
=-+有意义的自变量x 的取值范围为_____________ 12．若m 20161
-m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____．
13．已知3，3-1，则x 2+xy +y 2=_____．
14．计算（π-3）02-2
11(223)-4
--22
--（）
的结果为_____． 15．甲容器中装有浓度为a 的果汁40kg ，乙容器中装有浓度为b 的果汁90kg ，两个容器都倒出m kg ，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m 的值为_________．
16．已知()230m m --≤，若整数a 满足52m a +=，则a =__________． 17．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“
”表示算数平
方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为： 22164?a x a x +=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.
18．化简二次根式2
a 1
a +-
_____. 19．若a 、b 、c 均为实数,且a 、b 、c 均不为043
2
52a c b
=___________ 20．已知x 51-，y 51
+，则x 2＋xy ＋y 2的值为______． 三、解答题
21．小明在解决问题：已知a 23
+2a 2－8a ＋1的值，他是这样分析与解答的：
因为a 23
+()()
32323+-＝23， 所以a －23
所以(a －2)2＝3，即a 2－4a ＋4＝3. 所以a 2－4a ＝－1.
所以2a 2－8a ＋1＝2(a 2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：
= － . (2)
… (3)若a
，求4a 2－8a ＋1的值．
【答案】 ，1；(2) 9；(3) 5 【分析】
（11
==；
（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解； （3）首先化简a ，然后把所求的式子化成()2
413a --代入求解即可. 【详解】
(1)计算：1
=； (2)原式
)
1...11019=
+
+
++
==-=；
(3)1
a =
==，
则原式(
)
()2
2
4213413a a a =-+-=--，
当1a =
时，原式2
435=⨯
-=.
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键.
22．我国南宋时期有个著名的数学家秦九韶提出了一个利用三角形的三边求三角形的面积的公式，若三角形三边为a b c 、、，则此三角形的面积为：
1S = 同样古希腊有个几何学家海伦也提出了一个三角形面积公式：
2S =
2
a b c
p ++=
（1）在ABC 中，若4AB =，5BC =，6AC =，用其中一个公式求ABC 的面积．
（2）请证明：1
2S S
【答案】（1）4
；（2） 证明见解析 【分析】
（1）将4AB =，5BC =，6AC =代入1S =
（2）对1S 和2S 分别平方，再进行整理化简得出22
12S S =，即可得出1
2S S ．
【详解】
解：（1）将4AB =，5BC =，6AC =代入1S =
得：
4S =
= （2）2222
222
1
1[()]2
4a b a S c b +-=-
=222222)1(22(4)a b c a b c ab ab +-+--+ =2222()2(2
1)4c a c a b b +⋅---⋅ =
()(1
()()16
)c a b c a b a b c a b c +-++-++- 22()()()S p p a p b p c =---
∵2
a b c
p ++=
， ∴2
2()(2)(222
)S a a b c a b c a b c a b c
b c +++++++-+=
-- =2222a b c b c a a c b a b c +++-+-+-⋅⋅⋅
=1
()()()()16
a b c b c a a c b a b c +++-+-+- ∴2212S S =
∵10S >，20S >， ∴1
2S S ．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，解题的关键是理解题中给出的公式，灵活运用二次根式的运算性质进行运算．
23．已知m ，n 满足m 4n=3+.
【答案】12015
【解析】 【分析】
由43m n +=2﹣2）﹣3＝0，将
，代入计算即可．
【详解】
解：∵4m n +＝3，
)2
2
﹣2）﹣3＝0，
）2
﹣23＝0，
+13）＝0，
＝﹣13，
∴原式＝
3-23+2012＝1
2015
．
【点睛】
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式性质．
24．
解：设x
222x =++2
334x =+，
x 2=10 ∴x =
10．
0．
【分析】
根据题意给出的解法即可求出答案即可． 【详解】
设x
两边平方得：x 2=2+2+
即x 2=4+4+6， x 2=14
∴x =．
0，∴x ． 【点睛】
本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．
25．像2)＝1＝a (a ≥0)、﹣1)＝b ﹣1(b ≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因
+1﹣1，﹣因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： (1)
；
(2)
+；
(3)的大小，并说明理由．
【答案】（1（2）（3）＜ 【解析】
分析：（1=1，确定互为有理化因式，由此计算即可；
（2）确定分母的有理化因式为2与2+然后分母有理
化后计算即可；
（3与
，
，然后比较即可.
详解：(1) 原式
=9；
（2）原式=2+=2+ （3）根据题意，
-=
=，
>
<，
>
点睛：此题是一个阅读题，认证读题，了解互为有理化因式的实际意义，以及特点，然后根据特点变形解题是关键.
26．计算：
（1﹣
（2） （3）
2
44x -﹣1
2
x -．
【答案】（1）2（3）-12
x + 【解析】
分析：（1）根据二次根式的运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）根据乘法的分配律以及二次根式的性质进行计算即可；
（3）根据异分母的分式的加减，先因式分解，再通分，然后按同分母的分式进行加减计算，再约分即可.
详解：（1
（2）
（3）2
41
42x x --- =41
(2)(2)2
x x x -+--
= 42
(2)(2)(2)(2)
x x x x x +-+-+-
=
2(2)(2)
x
x x -+-
=12
x -
+ 点睛：此题主要考查了二次根式的运算和分式的加减运算，熟练应用运算法则和运算律以及二次根式的性质进行计算是解题关键.
27．已知1,2y =. 【答案】1 【解析】 【分析】
根据已知和二次根式的性质求出x 、y 的值，把原式根据二次根式的性质进行化简，把x 、y 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】 1-8x≥0，x≤18
8x-1≥0，x≥18，∴x=18，y=12
，
∴原式532-==1222
. 【点睛】
本题考查的是二次根式的化简求值，把已知条件求出x 、y ，把要求的代数式进行正确变形是解题的关键，注意因式分解在化简中的应用．
28．2020(1)- 【答案】1 【分析】
先计算乘方，再化简二次根式求解即可． 【详解】
2020(1)-
=1 =1． 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并即可．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据二次根式加法法则，二次根式的乘法法则计算后判断即可得到答案.
【详解】
=，
=3
∴A、C、D均错误，B正确，
故选：B.
【点睛】
此题考查二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，熟记计算法则是正确解题的关键. 2．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的化简进行选择即可．
【详解】
A
B、
C
，故本选项正确；
D、=18，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键．
3．A
解析：A
【分析】
根据二次根式有意义，被开方数非负列出不等式，求解，再依此选择合适的选项．
【详解】
解：由题意得：
x-1≥0
解之：x≥1.
>．
1
故选：A．
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件．理解二次根式有意义，被开方数非负是解题关键．4．A
解析：A
【分析】
根据二次根式定义和有意义的条件：被开方数是非负数，即可判断．
【详解】
解：A、符合二次根式有意义条件，符合题意；
B、-1＜0B选项不符合题意；
C、是三次根式，所以C选项不符合题意；
D、π-4＜0D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
a≥0．
5．A
解析：A
【分析】
利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论．
【详解】
解：a=2019×2021-2019×2020
=（2020-1）（2020+1）-（2020-1）×2020
=20202-1-20202+2020
=2019；
∵20222-4×2021
=（2021+1）2-4×2021
=20212+2×2021+1-4×2021
=20212-2×2021+1
=（2021-1）2
=20202，
∴b=2020；
>
∴c＞b＞a．
故选：A．
【点睛】
本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识
点．变形2019×2021-2019×2020
解决本题的关键．
6．D
解析：D
【解析】试题分析：根据算术平方根的意义，可知366=，故A 不正确； 根据二次根式的除法，可直接得到42222÷=，故B 不正确；
根据同类二次根式的性质，可知C 不正确；
根据二次根式的性质·a b ab =
（a≥0，b≥0）可知D 正确.
故选：D 7．B
解析：B 【解析】因
=，所以a =0，b =1，c =1，即可得2a ＋999b ＋1001c =999+1001=2000，故选B. 点睛：本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式根据完全平方公式化简并比较系数是解题的关键．
8．C 解析：C
【分析】
根据算术平方根的定义，无理数的定义及估值，二次根式的化简依次判断.
【详解】
A 1212的算术平方根，故该项正确；
B 、3124<<，故该项正确；
C 1223=
D 1223=12是无理数，故该项正确；
故选：C .
【点睛】
此题考查算术平方根的定义，无理数的定义及估值，二次根式的化简，熟练掌握各知识点并运用解题是关键.
9．B
解析：B
【详解】
A 18323不是同类二次根式，故此选项错误；
B 1333
C 24=63不是同类二次根式，故此选项错误；
D 0.3310303不是同类二次根式，故此选项错误； 故选B ． 10．C
解析：C
【分析】
根据同类二次根式的性质即可求出答案．
【详解】
由题意可知：a 2-3=2a
∴解得：a=3或a=-1
当a=-1时，该二次根式无意义，
故a=3
故选C ．
【点睛】
本题考查二次根式的概念，解题的关键是熟练正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念.
二、填空题
11．【分析】
利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.
【详解】
根据题意，
解得：
①当时，
解得：
即：
①当时，
解得：
即：
故自变量x 的取值范围为
【点睛】 解析：11,022
x x -≤≤≠ 【分析】
利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.
【详解】
根据题意，220x x +≠
解得：0,2x x ≠≠-
12||0x -≥
①当0x >时，120x -≥ 解得：12
x ≤
即：102
x <≤ ①当0x <时，120x +≥ 解得：21x ≥-
即：102
x -≤< 故自变量x 的取值范围为11,022x x -
≤≤≠ 【点睛】
本题考查二次根式以及分式有意义的条件，熟练掌握分类讨论和解不等式组是解题关键. 12．4030
【分析】
利用平方差公式化简m ，整理要求的式子，将m 的值代入要求的式子计算即可.
【详解】
m== m==+1，
∴m3-m2-2017m+2015
=m2（m ﹣1）﹣2017m+2015
解析：4030
【分析】
利用平方差公式化简m ，整理要求的式子，将m 的值代入要求的式子计算即可.
【详解】
m
m ， ∴m 3-m 2-2017m +2015
=m 2（m ﹣1）﹣2017m +2015
= ）22017）+2015
=（2017+2015
﹣2
=4030.
故答案为4030.
【点睛】
本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.
13．10
【解析】
根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y ）2﹣xy=（2）2﹣（+1）（﹣1）=12﹣2=10．
故答案为10．
解析：10
【解析】
根据完全平方式的特点，可得x 2+xy+y 2=（x+y ）2﹣xy=（2﹣1）=12﹣2=10．
故答案为10．
14．﹣6
【解析】
根据零指数幂的性质，二次根式的性质，负整指数幂的性质，可知（π-3）0=1﹣（3﹣2）﹣4×﹣4=1﹣3+2﹣2﹣4=﹣6.
故答案为﹣6．
解析：﹣6
【解析】
根据零指数幂的性质0
1(0)a a =≠，二次根式的性质，负整指数幂的性质
1
(0)p p a a a -=
≠，可知（π-3）0-21-2（）=1﹣（3﹣）﹣
4×2
﹣4=1﹣﹣﹣4=﹣6. 故答案为﹣6．
15．【分析】
分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg 溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式，求出m 即可．
【详解】
解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为akg ，乙容器
【分析】
分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg 溶液中纯果汁的含量，最后利
=，求出m 即可．
【详解】
， 甲容器倒出mkg 果汁中含有纯果汁makg ，乙容器倒出mkg 果汁中含有纯果汁mbkg ，
，
=，
整理得，-6b =5ma -5mb ，∴（a -b ）=5m （a -b ），
∴m
故答案为：
5 【点睛】
本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．
16．【分析】
先根据确定m 的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a 的取值范围．
【详解】
解：
为整数
为
故答案为：5．
【点睛】
本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用
解析：5
【分析】
)30m -≤确定m 的取值范围，再根据m a +=
32a ≤≤，最后利用78<<来确定a 的取值范围．
【详解】 解：()230m m --≤
23m ∴≤≤
m a +=
∴=
a m
∴≤≤
32
a
<<
7528
a
∴<<
46
a为整数
∴为5
a
故答案为：5．
【点睛】
本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用“逼近法”得出
围是解此题的关键．
17．a+3
【分析】
根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.
【详解】
解：根据题意可知图中的甲代表a,
∴图2所示题目（字母代表正数）翻
【分析】
根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.
【详解】
解：根据题意可知图中的甲代表a,
∴图2
∵a＞0+3.
=
a
a+3.
【点睛】
本题考查阅读理解的能力，正确理解题意是关键.
18．【解析】
根据二次根式的性质，可知a≠0，-（a+1）≥0，因此可知a≤-1，因此可知a==. 故答案为.
解析：
【解析】
根据二次根式的性质，可知a≠0，-（a+1）≥0，因此可知a≤-1，因此可知
=
故答案为
19．【解析】
根据题意，由二次根式的性质，可知a 的值与计算没影响，c≥0，b≠0，因此可分为：
当b ＞0时，=；
当b ＜0时，=.
故答案为：.
解析：2020a b b b 当时当时⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩
【解析】
根据题意，由二次根式的性质，可知a 的值与计算没影响，c≥0，b≠0，因此可分为：
当b ＞0
= 当b ＜0
=
故答案为：2020a b b b ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩
当时当时. 20．4
【详解】
根据完全平方公式可得：
原式=－xy==5－1=4．
解析：4
【详解】
根据完全平方公式可得：
原式=2()x y +－xy=251515151)222
=5－1=4． 三、解答题
21．无
22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。