宣化区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

宣化区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 双曲线：的渐近线方程和离心率分别是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 已知f （x ），g （x ）都是R 上的奇函数，f （x ）＞0的解集为（a 2，b ），g （x ）＞0的解集为（，），
且a 2
＜，则f （x ）g （x ）＞0的解集为（ ）
A ．（﹣，﹣a 2）∪（a 2，）
B ．（﹣，a 2）∪（﹣a 2，）
C ．（﹣，﹣a 2）∪（a 2，b ）
D ．（﹣b ，﹣a 2）∪（a 2，）
3． 函数f （x ）=2x ﹣的零点个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4． 若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()
2121
0f x f x x x -<-，则
（ ）
A ．()()()213f f f -<<
B ．()()()123f f f <-<
C ．()()()312f f f <<
D ．()()()321f f f <-< 5． 是首项
，公差的等差数列，如果
，则序号等于（ ）
A ．667
B ．668
C ．669
D ．670 6． 若f （x ）=x 2﹣2x ﹣4lnx ，则f ′（x ）＞0的解集为（ ） A ．（0，+∞） B ．（﹣1，0）∪（2，+∞）
C ．（2，+∞）
D ．（﹣1，0）
7． 直线l 将圆x 2+y 2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是（ ）
A ．x ﹣y+1=0，2x ﹣y=0
B ．x ﹣y ﹣1=0，x ﹣2y=0
C ．x+y+1=0，2x+y=0
D ．x ﹣y+1=0，x+2y=0
8． 若实数x ，y 满足不等式组则2x+4y 的最小值是（ ）
A ．6
B ．﹣6
C ．4
D ．2
9． 已知数列
，则5是这个数列的（ ）
A ．第12项
B ．第13项
C ．第14项
D ．第25项
10．已知向量(,1)a t =
，(2,1)b t =+ ，若||||a b a b +=-
，则实数t =（ ） A.2- B.1- C. 1 D. 2
【命题意图】本题考查向量的概念，向量垂直的充要条件，简单的基本运算能力． 11．已知x ，y
满足约束条件，使z=ax+y 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ）
A ．﹣3
B ．3
C ．﹣1
D ．1
12．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数
1
2
z z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．
二、填空题
13．设O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的准线为l ，焦点为F ，过F
斜率为的直线与抛物线C
相交于A ，B 两点，直线AO 与l 相交于D ，若|AF|＞|BF|
，则
= ．
14．无论m 为何值时，直线（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0恒过定点 ． 15．在（1+2x ）10的展开式中，x 2项的系数为 （结果用数值表示）．
16．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，6=-b a ，向量c a - ，c b - 的夹角为23π
，c a -= a
与
c
的夹角为__________，a c ⋅ 的最大值为 ．
【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力. 17．已知函数
，则
__________；
的最小值为__________．
18．若函数f （x ）
=﹣m 在x=1处取得极值，则实数m 的值是 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =． （1）求{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ；
（2）设(){}
1n
n n b a --是等比数列，且257,71b b ==，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的通项与前n 项和、数列求和等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用．
20．【淮安市淮海中学2018届高三上第一次调研】已知函数()133x x a
f x b
+-+=+.
（1）当1a b ==时，求满足()3x
f x =的x 的取值；
（2）若函数()f x 是定义在R 上的奇函数
①存在t R ∈，不等式()()
22
22f t t f t k -<-有解，求k 的取值范围；
②若函数()g x 满足()()()
12333
x
x f x g x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦，若对任意x R ∈，不等式()()211g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值.
21．已知p ：“直线x+y ﹣m=0与圆（x ﹣1）2+y 2=1相交”；q ：“方程x 2﹣x+m ﹣4=0的两根异号”．若p ∨q 为真，￢p 为真，求实数m 的取值范围．
22．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点，求证：
（1）直线EF ∥平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD ．
23．如图所示，在正方体1111ABCD A BC D 中． （1）求11AC 与1B C 所成角的大小；
（2）若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求11AC 与
EF 所成角的大小．
24．已知函数2(x)1ax f x =
+是定义在（-1，1）上的函数, 12
()25
f =
（1）求a 的值并判断函数(x)f 的奇偶性
（2）用定义法证明函数(x)f 在（-1，1）上是增函数；
宣化区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：双曲线：的a=1，b=2，c==
∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x；离心率e==
故选D
2．【答案】A
【解析】解：∵f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，
），且a2＜，
∴f（x）＜0的解集为（﹣b，﹣a2），g（x）＜0的解集为（﹣，﹣），
则不等式f（x）g（x）＞0等价为或，
即a2＜x＜或﹣＜x＜﹣a2，
故不等式的解集为（﹣，﹣a2）∪（a2，），
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的对称性的性质求出f（x）＜0和g（x）＜0的解集是解决本题的关键．
3．【答案】C
【解析】解：易知函数的定义域为{x|x≠1}，
∵＞0，
∴函数在（﹣∞，1）和（1，+∞）上都是增函数，
又＜0，f（0）=1﹣（﹣2）=3＞0，
故函数在区间（﹣4，0）上有一零点；
又f（2）=4﹣4=0，
∴函数在（1，+∞）上有一零点0，
综上可得函数有两个零点．
故选：C．
【点评】本题考查函数零点的判断．解题关键是掌握函数零点的判断方法．利用函数单调性确定在相应区间的零点的唯一性．属于中档题．
4．【答案】D
5．【答案】C
【解析】
由已知，由得，故选C
答案：C
6．【答案】C
【解析】解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣2﹣，
令2x﹣2﹣＞0，整理得x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，
结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞）．
故选：C．
7．【答案】C
【解析】解：圆x2
+y2﹣2x+4y=0化为：圆（x﹣1）2+（y+2）2=5，圆的圆心坐标（1，﹣2），半径为，直线l将圆
x2+y2﹣2x+4y=0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l经过圆心与坐标原点．或者直线经过圆心，直线的斜率为﹣1，
∴直线l的方程是：y+2=﹣（x﹣1），2x+y=0，即x+y+1=0，2x+y=0．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线的截距式方程的求法，考查计算能力，是基础题．
8．【答案】B
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=2x+4y得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点C时，
直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，
由，解得，
即C （3，﹣3），
此时z=2x+4y=2×3+4×（﹣3）=6﹣12=﹣6． 故选：B
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键．
9． 【答案】B
【解析】
由题知，通项公式为，令
得
，故选B
答案：B
10．【答案】B 【解析】由||||a b a b +=- 知，a b ⊥ ，∴(2)110a b t t ⋅=++⨯=
，解得1t =-，故选B.
11．【答案】D
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=ax+y ，得y=﹣ax+z ，
若a=0，此时y=z ，此时函数y=z 只在B 处取得最小值，不满足条件． 若a ＞0，则目标函数的斜率k=﹣a ＜0． 平移直线y=﹣ax+z ，
由图象可知当直线y=﹣ax+z 和直线x+y=1平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个， 此时﹣a=﹣1，即a=1．
若a＜0，则目标函数的斜率k=﹣a＞0．
平移直线y=﹣ax+z，
由图象可知当直线y=﹣ax+z，此时目标函数只在C处取得最小值，不满足条件．
综上a=1．
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．
12．【答案】B
【解析】
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：∵O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，
过F斜率为的直线与抛物线C相交于A，B两点，
直线AO与l相交于D，
∴直线AB的方程为y=（x﹣），l的方程为x=﹣，
联立，解得A（﹣，P），B（，﹣）
∴直线OA的方程为：y=，
联立，解得D（﹣，﹣）
∴|BD|==，
∵|OF|=，∴==．
故答案为：．
【点评】本题考查两条件线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握抛物线的简单性质．14．【答案】（3，1）．
【解析】解：由（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，得
即（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，
∴2x+y﹣7=0，①
且x+y﹣4=0，②
∴一次函数（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0的图象就和m无关，恒过一定点．
由①②，解得解之得：x=3 y=1 所以过定点（3，1）；
故答案为：（3，1）
15．【答案】180
【解析】解：由二项式定理的通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r可设含x2项的项是T r+1=C7r（2x）r
可知r=2，所以系数为C102×4=180，
故答案为：180．
【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9．一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．
π，18+
16．【答案】
6
【解析】
17．【答案】
【解析】【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数
【试题解析】
当时，
当时，
故的最小值为
故答案为： 18．【答案】
﹣2
【解析】解：函数f （x ）
=﹣m 的导数为f ′（x ）=mx 2
+2x ，
由函数f （x ）
=﹣m 在x=1处取得极值，
即有f ′（1）=0，
即m+2=0，解得m=﹣2，
即有f ′（x ）=﹣2x 2
+2x=﹣2（x ﹣1）x ，
可得x=1处附近导数左正右负，为极大值点．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查导数的运用：求极值，主要考查由极值点求参数的方法，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，
则由990S =，15240S =，得11
93690
15105240a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12a d ==，……………3分
所以2(n 1)22n a n =+-⨯=，即2n a n =，
(1)
22(1)2
n n n S n n n -=+
⨯=+，即1n S n n =+（）．……………5分
20．【答案】（1）1x =-（2）①()1,-+∞，②6
【解析】
试题
解析：（1）由题意，1
31331x x
x +-+=+，化简得()2332310x x ⋅+⋅-= 解得()13133
x x
=-=舍或，
所以1x =-
（2）因为()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以1
133033x x x x a a
b b
-++-+-++=++ 化简并变形得：()()333260x x
a b ab --++-=
要使上式对任意的x 成立，则30260a b ab -=-=且 解得：11{
{ 33a a b b ==-==-或，因为()f x 的定义域是R ，所以1
{ 3
a b =-=-舍去 所以1,3a b ==，所以()131
33
x x f x +-+=+
①()131********x x x f x +-+⎛⎫
==-+ ⎪++⎝⎭
对任意1212,,x x R x x ∈<有：
()()()()
21
12
12121222333313133131
x x x x x x f x f x ⎛⎫-⎛⎫
⎪-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝
⎭
因为12x x <，所以21330x x
->，所以()()12f x f x >，
因此()f x 在R 上递减．
因为()()
22
22f t t f t k -<-，所以2222t t t k ->-，
即220t t k +-<在
时有解
所以440t ∆=+>，解得：1t >-， 所以的取值范围为()1,-+∞
②因为()()()
12333x x
f x
g x -⎡⎤⋅+=-⎣⎦，所以()()
3323x x g x f x --=-
即()33x
x
g x -=+
所以()()
2
22233332x x x x
g x --=+=+-
不等式()()211g x m g x ≥⋅-恒成立， 即()
()
2
3323311x x
x x m --+-≥⋅+-，
即：9
3333
x x
x x
m --≤++
+恒成立 令33,2x x
t t -=+≥，则9m t t
≤+在2t ≥时恒成立
令()9h t t t =+，()29
'1h t t
=-，
()2,3t ∈时，()'0h t <，所以()h t 在()2,3上单调递减
()3,t ∈+∞时，()'0h t >，所以()h t 在()3,+∞上单调递增
所以()()min 36h t h ==，所以6m ≤ 所以，实数m 的最大值为6
考点：利用函数性质解不等式，不等式恒成立问题
【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。

21．【答案】
【解析】解：若命题p 是真命题：“直线x+y ﹣m=0与圆（x ﹣1）2+y 2=1相交”，则
＜1，解得1﹣
；
若命题q 是真命题：“方程x 2﹣x+m ﹣4=0的两根异号”，则m ﹣4＜0，解得m ＜4． 若p ∨q 为真，￢p 为真， 则p 为假命题，q 为真命题．
∴
．
∴实数m 的取值范围是
或
．
【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、直线与圆的位置关系、一元二次的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】证明：（1）在△PAD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD ．
又因为EF 不在平面PCD 中，PD ⊂平面PCD 所以直线EF ∥平面PCD ．
（2）连接BD ．因为AB=AD ，∠BAD=60°．
所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD ． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD=AD ，所以BF ⊥平面PAD ． 又因为BF ⊂平面EBF ，所以平面BEF ⊥平面PAD ．
【点评】本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型．
23．【答案】（1）60︒；（2）90︒． 【解析】
试
题解析：（1）连接AC ，1AB ，由1111ABCD A BC D -是正方体，知11AAC C 为平行四边形，
所以11//AC AC ，从而1B C 与AC 所成的角就是11AC 与1B C 所成的角．
由11AB AC B C ==可知160B CA ∠=︒，
即11AC 与
BC 所成的角为60︒．
考点：异面直线的所成的角．
【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成的角的求解，其中解答中涉及到异面直线所成角的概念、三角形中位线与正方形的性质、正方体的结构特征等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，本题的解答中根据异面直线所成角的概念确定异面直线所成的角是解答的关键，属于中档试题．
24．【答案】（1）1a =，()f x 为奇函数；（2）详见解析。

【解析】
试题分析：（1）1
1222
125514a f a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭+，所以1a =，则函数()2
1x f x x =+，函数()f x 的定义域为()1,1-，关于原点对称，又()()
()22
11x x
f x f x x x --==-=-++-，所以函数()f x 为奇函数；（2）设12,x x 是区间()1,1-上两个不等是实数，且12x x <，则210x x x ∆=->，()()21
2122
2111x x y f x f x x x ∆=-=
-=++
()()
()()
()()()()
()()()()
22211221121221122222222
1
2
12
1
111111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-+---=
=++++++，因为
()11,1x ∈-，()21,1x ∈-，
且12x x <，所以1211x x -<<，则1210x x ->，所以()()()()
2112222
1
10
11x x x x x x -->++，即0y ∆>，所以函数()f x 在
区间()1,1-上为增函数。

试题解析：（1）12225
5
f a ⎛⎫== ⎪
⎝⎭
所以=1a ， 定义域为()1,1-,关于原点对称，且()()
()2
2
11x x
f x f x x
x --=
=-
=-++-,所以()f x 为奇函数； （2）设12,x x 是区间()1,1-上两个不等是实数，且12x x <，则210x x x ∆=->
()()21
21222111x x y f x f x x x ∆=-=-=++()()()()()()()()
22211221122222
21211111111x x x x x x x x x x x x +-+--=++++ 因为()11,1x ∈-，()21,1x ∈-，且12x x <， 所以1211x x -<<，则1210x x ->，所以()()()()
2112222110
11x x x x x x -->++，
即0y ∆>，
所以函数()f x 在区间()1,1-上为增函数。

考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性。