高中数学课时跟踪检测十三渐开线与摆线新人教A版选修44

- 让每一个人同等地提高自我
课时追踪检测 ( 十三) 渐开线与摆线
一、选择题
1．半径为 3 的圆的摆线上某点的纵坐标为 0，那么其横坐标可能是 (
)
A ．π
B ．2π
C ．12π
D ．14π
分析：选 C 依据条件可知，圆的摆线方程为
x ＝3φ－3sin φ， y ＝3－3cos φ
( φ 为参
数 ) ，
把 y ＝0 代入，得 φ＝2k π(k ∈Z) ，此时 x ＝6k π(k ∈Z) ． 2．给出以下说法：
①圆的渐开线的参数方程不可以转变为一般方程； ②圆的渐开线也能够转变为一般方程，
可是转变后的一般方程比较麻烦，
且不简单看出
坐标之间的关系，因此常使用参数方程研究圆的渐开线问题；
③在求圆的摆线和渐开线方程时， 假如成立的坐标系原点和坐标轴选用不一样，
可能会得
到不一样的参数方程；
④圆的渐开线和 x 轴必定有交点并且是独一的交点． 此中正确的说法有 ( )
A ．①③
B ．②④
C ．②③
D ．①③④
分析：选 C 对于一个圆，只需半径确立，渐开线和摆线的形状就是确立的，可是跟着 选择系统的不一样， 其在座标系中的地点也会不一样， 相应的参数方程也会有所差别，
至于渐开
线和坐标轴的交点要看选用的坐标系的地点．
3．已知一个圆的参数方程为
x ＝3cos φ，
y ＝3sin φ
( φ为参数 ) ，那么圆的摆线方程中参数
π 取 2
对应的点 A 与点 B
3π 2
，2 之间的距离为
( )
－1
分析：选 C 依据圆的参数方程可知，圆的半径为 3，那么它的摆线的参数方程为
x ＝3 φ－sin φ ，
y ＝3 1－cos φ
( φ 为 参 数 ) ， 把 φ ＝
π 2
代 入 参 数 方 程 中 可 得
x ＝ 3 π 2
－1 ，
y ＝3，
即 A 3 π
－1 ，3 ，∴| AB | ＝
3 2
π 2 3π －1 －
2
2
＋ 3－2
2
＝ 10.
1
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4. 如图A BCD 是边长为1 的正方形，曲线A EFG ⋯H 叫做“正方形的渐开 线”，此中 AE ，E F ，FG ，GH 的圆心挨次按 B ，C ，D ，A 循环，它们挨次相 连结，则曲线A EFGH 的长是 (
)
A ．3π
B ．4π
C ．5π
D ．6π
分析：选C 依据渐开线的定义可知，
AE 是半径为1 的
1
4
圆
周长，长 π 1
1
度为，持续旋转可得 EF 是半径为2 的圆周长，长度为π； FG 是半径为3 的圆周长，
2 4
4
3π
1
长度为
； GH 是半径为4 的圆周长，长度为2π. 因此曲线A EFGH 的长是 5π. 2 4 二、填空题
5 ． 我们知 道 关 于 直线y ＝ x 对称 的 两 个 函 数 互为反 函 数 ，则圆的摆线 x ＝r
φ－sin φ ， y ＝r 1－cos φ
( φ为参数 ) 对于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．
分析：对于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要表现了 x 与 y 的
交换，因此要写出摆线方程对于 y ＝x 对称的曲线方程，只需把此中的 x ，y 交换．
答案： x ＝r
1－cos φ ， y ＝r
φ－sin φ
( φ为参数 )
6．已知圆的渐开线的参数方程是
x ＝cos φ＋φsin φ， y ＝sin φ－φcos φ
( φ为参数 ) ，则此渐开
π 线对应的基圆
的直径是 __________，当参数 φ＝ 4
时对应的曲线上的点的坐标为 ________．
分析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径独一确立，从方程不难看出基圆的半径为1，
π故直径为2. 求当 φ＝
4
时对应的坐标
只需把 φ＝
π4
代入曲线的参数方
程，得 x ＝
2
＋ 2
2π8
，y ＝ 2 － 2 2π ，由此
可得对应的坐标为
8 2 ＋ 2
2π8 ， 2 － 2
2π8
.
答案： 2
2 ＋ 2
2π 8 ， 2 － 2
2π
8
7．已知一个圆
的摆
线过
点(1,0) ，则摆线
的参数方程为______________ .
分析：圆
的摆
线的参数方程为x＝r φ－sin φ，
y＝r 1－cos φ
( φ为参数) ，令r (1 －cos
φ)
＝0，得φ＝2kπ(k∈Z) ，代入x＝r ( φ－sin φ) ，得x＝r (2 kπ－sin 2 kπ)( k∈Z)，
1
又∵过
(1,0) ，∴r (2 kπ－sin 2 kπ) ＝1( k∈Z) ，∴r ＝
2kπ
(k∈Z) ．
又∵r＞0，∴k∈N
*.
2
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答案：
1
x＝
2kπ
1
y＝
2kπ
φ－sin φ，
1－cos φ
*
( φ为参数，
k∈N)
三、解答题
8．有一个半径是2a 的轮子沿着直线轨道转动，在轮辐上有一点M，与轮子中心的距离是a，求点M的轨迹方程．
解：设轮子中心为O，则O M＝a. 点M的轨迹即是以O为圆心， a 为半径的基圆的摆线．
由参数方程知点M的轨迹方程为x＝a φ－sin φ，
y＝a 1－cos φ
( φ为参
数 ) ．
9．已知一个圆的摆线方程是
x＝4φ－4sin φ，
y＝4－4cos φ( φ为参数 ) ，求该圆的面积和对
应的圆的渐开线的参数方程．
解：第一依据摆线的参数方程可知圆的半径为4，因此面积是16π，该圆对应的渐开线
参数方程是x＝4cos φ＋4φsin φ，
y＝4sin φ－4φcos φ
( φ为参
数 ) ．
10．已知一个圆的摆线过必定点(2,0) ，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．
解：令y＝0，可得a(1 －cos φ)＝0，
因为a＞0，即得cos φ＝1，因此φ＝2kπ(k∈Z) ．
代入x＝a( φ－sin φ) ，得x＝a(2 kπ－sin 2 kπ)( k∈Z) ．
又因为x＝2，因此a(2 kπ－sin 2 kπ) ＝2( k∈Z) ，
1 即得a＝
kπ( k∈Z) ．又由实质可知a＞0，因此a
＝
1
kπ
( k∈N
*) ．
*) ．
易知，当k＝1 时，a 取最大值为1
.
π
1
x＝
π
φ－sin
φ，
代入即可得圆的摆线的参数方程为
1 y＝
π1－cos φ
(φ为参
数 ) ．
1 x＝
πc os φ＋φsin φ，
圆的渐开线的参数方程为
1 y＝
πsin φ－φcos φ
(φ为参
数 ) ．
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