上海市黄浦区2021届高三下学期二模数学答案

上海市黄浦区2021届高三下学期二模数学试题
参考答案
1．()1,2【思路点拨】解出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B .
【解析】
{}
()()2230,31,A x x x =+->=-∞-⋃+∞，
{}
{}()111110,2B x x x x =-<=-<-<=，
因此，()1,2A B ⋂=.
2．4【思路点拨】根据对数的定义可得．
【解析】由42log 13x +=得4log 1x =，所以4x =．
3．36π【思路点拨】设球半径为R ，由球的表面积求出3R =，然后可得球的体积． 【解析】设球半径为R ， ∵球的表面积为36π， ∴24π36R π=， ∴3R =， ∴该球的体积为3344
V ππ33633
R π=
=⨯⨯=． 【名师指导】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果． 4．3
2
-
【思路点拨】通过计算(1)(1)g g +-可得． 【解析】因为()g x 是奇函数，所以(1)(1)0g g +-=， 即1(1)2(1)02f f ++-+
=，所以53(1)122
f -=-=-． 5．5【思路点拨】先求复数z ，再求||z 即可.
【解析】由34i z i ⋅=-，得3443i
z i i
-==--，而||||5z z ===. 6．7
arccos
25
【思路点拨】建立空间直角坐标系，求出异面直线1AB 与1CD 的方向向量，再求出两向量的夹角，进而可得异面直线1AB 与1CD 所成角的大小． 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系：
在长方体1111ABCD A BC D -中，
3AB BC ==，14CC =，
()3,0,0A ∴，()13,3,4B ，()0,3,0C ，()10,0,4D ，
()10,3,4AB ∴=，()10,3,4CD =-， 11cos ,AB CD ∴<>11117
25
||||
09160916
AB CD AB CD ⋅=
=
=⨯++⨯++， ∴异面直线1AB 与1CD 所成角的大小是7arccos
25
． 7．0.9【思路点拨】求出()P A 的值，再利用独立事件的概率乘法公式可求得()P B 的值. 【解析】由对立事件的概率公式可得()()
10.6P A P A =-=， 由独立事件的概率乘法公式可得()()()P AB P A P B =，因此，()()
()
0.9P AB P B P A ==.
8．(0,2)
(2,4)【思路点拨】由无穷等比数列的所有项和的公式得出1,a q 的关系，根据q
的范围得出结论．
【解析】设公比为q ，因为lim 2→∞
=n n S ，所以1q <且0q ≠，且1
lim 21n n a S q
→∞
==-， 12(1)(0,4)a q =-∈，且2q
．
9．5【思路点拨】利用二项式定理求出n 的值，再利用代数余子式的定义可求得结果. 【解析】()12n
x +的展开式第三项为2
2
2
22
324n n T C x C x =⋅⋅=，
由题意可得
()1
4112
2
n n-
⨯=，整理可得2560
n n
--=，
n N*
∈，解得8
n=，
因此，行列式
213
311
21
n
-
中元素1
-的代数余子式的值()12
31
15
81
+
-=.
【名师指导】解决本题的关键在于以下两点：（1）利用二项展开式求出n的值；（2）利用代数余子式的定义可得结果.
10．
62
7
【思路点拨】作出不等式组所表示的可行域，平移直线25
z x y
=+，找出使得直线25
z x y
=+在x轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数即可得解.
【解析】作出不等式组
0,0
220
2360
x y
x y
x y
≥≥
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪+-≤
⎩
所表示的可行域如下图所示：
联立
220
2360
x y
x y
-+=
⎧
⎨
+-=
⎩
，解得
6
7
10
7
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，即点
610
,
77
A
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
平移直线25
z x y
=+，当该直线经过可行域的顶点A时，直线25
z x y
=+在x轴上的截距最大，此时z取最大值，即max
61062
25
777
z=⨯+⨯=.
【名师指导】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：
（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；
（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或
最后通过的顶点就是最优解）；
（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 11．
1
27
【思路点拨】先求所有的三个数个数，再求符合一等奖的三位数个数，由古典概型概率公式即可求解．
【解析】用01239、
、、、、这十个数字组成没有重复数字的三位数有998648⨯⨯=个 由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是3的倍数的组成的数字是1、3、5和1、5、9，3、5、7，5、7、9
则这样的三位数有3
3424A =
所以则该职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是
241
64827
= 12
．{3-讨论a -与0、2的大小关系，判断函数()f x 在[)0,+∞、(),0-∞上的单调性与最小值，根据函数()f x 的最小值列方程解出实数a 的值. 【解析】分以下三种情况讨论：
①若0a -≤时，即当0a ≥时，()222,22,021
1,0
2x a x f x a x x ax a x ⎧
⎪+->⎪
=+≤≤⎨⎪⎪-++<⎩
，
所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()1
12
f x a >+， 当0x ≥时，()min 1
212
f x a a =+>+， 此时，函数()f x 无最小值；
②若02a <-≤时，即当20a -≤<时，()222,22,222,011,02x a x a a x f x x a x a x ax a x +->⎧⎪+-≤≤⎪⎪=⎨--+≤<-⎪
⎪-++<⎪⎩
，
当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫
≥=-
++ ⎪⎝⎭
， 当0x ≥时，()2f x a ≥+.
22a a +>，所以，21242a a
a -++=，整理可得2640a a +-=，
20a -≤<
，解得3a =-；
③当2a ->时，即当2a <-时，()222,2,222,0211,02x a x a
a x a f x x a x x ax a x +->-⎧⎪--≤≤-⎪⎪
=⎨--+≤<⎪
⎪-++<⎪⎩
，
当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫
≥=-
++ ⎪⎝⎭
， 当0x ≥时，()2f x a ≥--.
因为202a a -->>，所以，21242
a a
a -++=，整理可得2640a a +-=，
2a <-
，解得3a =-
3a =-.
综上所述，实数a
的取值集合为{3-.
【名师指导】解本题的关键在于对参数的取值进行分类讨论，化简函数解析式，利用函数的单调性得出函数的最小值，进而求解.
13．B 【思路点拨】结合线面位置关系，根据充分必要条件定义判断．
【解析】直线l 在平面α外，包括直线l 与平面α平行和相交，不充分，但直线l ∥平面α，一定有直线l 在平面α外，必要的，因此是必要不充分条件． 故选：B ．
14．C 【思路点拨】计算均值，再根据数据的集中度判断．
【解析】甲的均值为2122232528293030
268
+++++++=，
乙的均值为
1416232628303338
268
+++++++=， 两者均值相同，甲的方差为
22222222
11
[(2126)(2226)(2326)(2526)(2826)(2926)(3026)8
s =-+-+-+-+-+-+- 2(3026)]12+-= 乙的方差为
2
2222222
21[(1426)(1626)(2326)(2626)(2826)(3026)(3326)8
s =-+-+-+-+-+-+- 2(3826)]58.25+-=， 甲的方差小于乙的方差，甲稳定． 故选：C ．
15．A 【思路点拨】求出P 点坐标，把圆方程化为普通方程，得圆心坐标，由切线性质求得切线斜率，得切线方程．
【解析】由134t +=得1t =，则514y =-+=-，所以(4,4)P -， 圆C 的普通方程为22(1)25-+=x y ，圆心为(1,0)C ，
404413
CP k --=
=--，所以切线的斜率为3
4k =，
方程为3
4(4)4y x +=-，即34280x y --=．
故选：A ．
16．A 【思路点拨】由,,P A B 三点共线得出,x y 满足的关系，由这个关系求得23x y
xy
+的最小值即可得结论． 【解析】由题意34
||
||
CA CB x y
CP x y CA CB CA CB =⋅
+⋅
=
+， 因为P 在线段AB 上，所以
134
x y
+=且0,0x y >>． 不等式23x y m x y +≥⋅⋅恒成立，即
23x y
m xy
+≥， 22233()(23)233434
2x y x y x
y xy x y xy xy xy +++++==3
2
≥
=，当且仅当
22
2334x y =时等号成立，此时6(4
1),77
x y =
=，所以23x y xy +的最
3
2， 所以3
2
m ≤．
故选：A ．
【名师指导】本题考查向量的线性运算，考查基本不等式求最值，解题关键是由三点共线得
出
134
x y
+=，在用分离参数变形不等式后利用基本不等式求最值得范围． 17．【思路点拨】（1）由棱锥体积公式计算；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求直线与平面所成的角． 【解析】解(1)
1111ABCD A BC D -是长方体，棱2AB BC ==，13AA =，
∴1AA ⊥平面ABCD ，即三棱锥1D EBC -的高等于1AA .
∴1
22EBC
S
BC AB =
⨯⨯=. ∴111
23
D EBC
EBC V S AA -=⋅⋅=.
(2)按如图所示建立空间直角坐标系D xyz -，可得，
()1,0,0E ，()0,2,0C ，()2,2,0B ，()10,0,3D .
()1,2,0EB = ，()11,0,3ED =-，()10,2,3D C =-
设平面1EBD 的法向量(),,n x y z = ，
则10,
0.n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩
即20,30.x y x z +=⎧⎨-+=⎩ 取6x =，得3,
2.
y z =-⎧⎨
=⎩ 故平面1EBD 的一个法向量为()6,3,2n =-.
设直线1CD 和平面1EBD 所成的角为θ ，则
11sin 9113D C n D C n
θ
⋅=
=
=⋅
所以直线1CD 和平面1EBD 所成角的大小为arcsin
91
． 【名师指导】本题考查证明线面垂直，考查求直线与平面所成的角，求线面角常用方法： （1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得； （2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值计算．
18．【思路点拨】（1）利用正弦定理边角互化可求得a 的值； （2）化简函数解析式为()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，利用正弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期，解不等式()222262
k x k k πππ
π-
≤+≤π+∈Z 可得出函数()f x 的单调递增区间.
【解析】（1）在ABC 中，1b =，sin
3sin a A B =，由正弦定理可得233a b ==，
0a >，解得
a =
（2）由（1）知a =()2cos 22sin 26f x x x x π⎛
⎫
=+=+ ⎪⎝
⎭
， 所以，函数()f x 的最小正周期为22
T π
π==. 由()222262
k x k k ππππ-
≤+≤π+∈Z ，得()36k x k k Z ππ
ππ-≤≤+∈.
因此，函数()f x 的递增区间是(),3
6k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
. 【名师指导】三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为()()sin +0y A x B ωϕω=+>或()()cos +0y A x B ωϕω=+>的形式；
（2）将x ωϕ+看成一个整体；
（3）借助正弦函数sin y x =或余弦函数cos y x =的图象和性质（如定义域、值域、最值、
周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.
19．.【思路点拨】（1）构造一个增函数，50x =时，0y >，1500x =时，20y ≤，即可得．
（2）50x =时，2y =满足要求，然后由函数模型是增函数，且满足1500x =时，20y ≤，即可得a 的范围，
【解析】 (1) 答案不唯一. 构造出一个函数； 说明是单调增函数； 函数的取值满足要求. 如，1
1,[50,1500]100
y x x =+∈，就是符合企业奖励的一个函数模型. 理由：
根据一次函数的性质，易知，y 随x 增大而增大，即为增函数； 当50x =时，13
50101002
y =
⨯+=>， 当1500x =时，1
150011620100
y =
⨯+=<，即奖金金额0y >且不超过20万元. 故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型. (2) 当50500x ≤≤时，易知1150y x =
+是增函数，且当50x =时，1
5012050
y =⨯+=>，当500x =时，1
5001112050
y =
⨯+=<，即满足奖金0y >且不超过20万的要求； 故当50500x ≤≤时，1
150
y x =
+符合企业奖励要求. 当5001500x <≤时，函数1()19a
f x x
-=+
是增函数，即对任意12(500,1500]x x ∈、，且12x x <时，21
1212
()()(1)
0x x f x f x a x x --=-<成立.故当且仅当10a -<，即1a >时，此时函数在(500,1500]上是增函数. 由1190500a -+
≥，得9501a ≤；进一步可知，10a x -<，故1191920a
y x
-=+<<成立，即当19501a <≤时，函数符合奖金0y >且金额不超过20万的要求.
依据函数模型1
1,50500,50
119,5001500x x y a x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨-⎪+<≤⎪⎩
是符合企业的奖励要求，即此函数为增函数，
于是，有
1150011950500
a -⨯+≤+，解得4001a ≤. 综上，所求实数a 的取值范围是14001a <≤.
【名师指导】本题考查函数模型的应用，解题关键是理解题意确定函数模型需要满足的性质．然后由此性质去求解参数范围．
20．【思路点拨】（1）利用平面向量的坐标运算可得出1PF 、2PF 的坐标；
（2）求得2222
12021b PF PF x b c a ⎛⎫⋅=-+- ⎪⎝⎭
，利用椭圆的有界性可得出0a x a -≤≤，利用
二次函数的基本性质可得出12
PF PF ⋅的最大值和最小值，进而可求得a 、b 的值； （3）设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由已知条件得出0AM AN ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算并结合韦达定理可得出k 、
m 的等量关系，由此可得出直线l 所过定点的坐标.
【解析】（1）根据题意，可知()1,0F c -、()2,0F c ，于是()100,PF c x y =---，
()200,PF c x y =-；
（2）由（1）可知，222
1200
PF PF x c y ⋅=-+. ()00,P x y 在椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上，22
00221x y a b ∴+=，则222
202b y b x a
=-.
2222
12021b PF PF x b c a ⎛⎫∴⋅=-+- ⎪⎝⎭
.
依据椭圆的性质，可知0a x a -≤≤. 当且仅当0x a =±时，()
2222
2212
2max
1b PF PF a b c a c a ⎛⎫⋅=-+-=- ⎪⎝⎭
， 当且仅当00x =时，()
2222212
2min
10b PF PF b c b c a ⎛⎫
⋅=-⨯+-=- ⎪⎝⎭
. 又222a b c =+，且12
PF PF ⋅的最大值为3，最小值为2，22
2232a c b c ⎧-=∴⎨-=⎩，
解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩
（3）由（2）知椭圆C 的方程为22
143
x y +=，设点()11,M x y 、()22,N x y ，
联立方程组22
143
x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
， 得()222
3484120k x kmx m +++-=. 于是有()
12
2
2122
228344123448430km x x k m x x k k m ⎧
+=-⎪+⎪
-⎪
=⎨+⎪
⎪∆=+->⎪⎩
， 以线段MN 为直径的圆经过点()2,0A ，则AM AN ⊥，
即()()()()()()121212122222AM AN x x y y x x kx m kx m ⋅=--+=--+++
()()()221212124k x x km x x m =++-+++
()()()()()
2
2222
412182434043
m k km km k m k -+--+++=
=+，
化简得2271640m km k ++=，即()()7220m k m k ++=， 解得2
7
m k =-
或2m k =-，都满足0∆>， 当2m k =-时，直线l 的方程为()2y k x =-，直线l 过定点()2,0A ，
不满足M 、N 与椭圆的左右顶点不重合要求，故2m k =-舍去.
2
7m k ∴=-，即2:7l y kx k =-，∴直线l 必经过定点，且定点的坐标为2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【名师指导】求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.
21．【思路点拨】（1）分析数列{}n a 的单调性，可得出i A 、i B ，由此可求得i d ；
（2）分析出数列{}n a 为单调递减数列，可得出11i i a a +-=-，进而可知数列{}n a 为等差数列，确定该数列的首项和公差，由此可求得数列{}n a 的通项公式； （3）构造数列{}()01:n n
n b a
a b =<<，数列{}():0n n c c b n b =⋅<，1n =、2、
、K ，
设n n n a b c =+，分析数列{}n b 、{}n c 的单调性，利用定义分析数列{}i d 的单调性，由此可得出结论.
【解析】（1）数列{}n a 的通项公式为()11,2,3,,2n
n a n K ⎛⎫== ⎪⎝⎭，
考察指数函数12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的性质，知数列{}n a 是单调递减数列， 即()11,2,
,1n n a a n K +>=-.
{}1211min ,,,,2i
i i i i A a a a a a -⎛⎫
∴=== ⎪⎝⎭，
{}()112111max ,,
,,1,2,,12i i i i K K i B a a a a a i K +++-+⎛⎫
====- ⎪
⎝⎭
.
()1
1
1111,2,,1222i
i i i i i d A B i K ++⎛⎫⎛⎫
⎛⎫∴=-=-==- ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
；
（2）
数列{}()1,2,
,n n K a =满足13a =，()11,2,,1i d i K ==-，
依据题意，由11d =，知12a a >；由210d =>，知23a a >；依此类推，有1K K a a ->， 即121K K a a a a ->>
>>，于是，数列
{}()1,2,
,n n K a =是单调递减数列.
{}121min ,,,,i i i i A a a a a a -∴==，
{}()1211max ,,
,,1,2,,1i i i K K i B a a a a a i K ++-+===-.
1i d =，11i
i a a +∴-=，即11i i a a +-=-．
所以，数列{}n a 是首项13a =，公差为1-的等差数列，
()()3141,2,
,n a n n n K ∴=--=-=；
（3）构造数列{}()01:n n
n b a
a b =<<，数列{}():0n n c c b n b =⋅<，1n =、2、
、K ，
设n n n a b c =+，则数列{}n a 满足题设要求. 理由如下：
构造数列{}()01:n n
n b a
a b =<<，数列{}():0n n c c b n b =⋅<，1n =、2、
、K ，易
知，数列{}n b 是等比数列，数列{}n c 是等差数列. 由指数函数(),01x
y a
x R a =∈<<的性质，知1n
n a
a +>，即数列
{}n b 是单调递减数列.
由函数(),0y bx x R b =∈<的性质，知数列{}n c 是单调递减数列.
()11n n a b n a b n +∴+⋅>++，即()11,2,,1n n a a n K +>=-.
所以，数列{}n a 是单调递减数列.
()()111,2,3,,1i i i i d a a a a b i K +∴=-=--=-，
()()()2
111110i i i
i i d d a a b a a b a a ++⎡⎤∴-=-----=->⎣⎦
， 即数列{}()1,2,
,1i d i K =-是单调递减数列.
∴数列{}n a 是满足条件的数列.
【名师指导】本题考查数列的新定义，在求出i d 时，应充分考查数列的单调性，求得i A 、i B ，可求得i d ，同时也应注意利用相应函数的单调性来分析对应数列的单调性，理解函数与数列之间的关系.。