2022年四川内江威远龙会中学高考数学全真模拟密押卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷含解析
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知π3π,22α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（ ）． A ．15±
B ．15
-
C ．
15
D ．75
-
2．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，则sin C =（ ）
A B ．
7
C ．
12
D 3．已知21,0
(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩
，则
21log 3f f ⎡⎤
⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦（ ）
A ．2
B ．
2
3 C ．23
-
D ．3
4．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( ) A ．向左平移12
π
个单位长度
B ．向右平移12
π
个单位长度
C ．向左平移
512π
个单位长度 D ．向右平移
512
π
个单位长度
5．三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A ．
643
π B ．
256
3
π C ．
436
3
π D 6．若函数2()x
f x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2
4
(
,)e +∞ B ．2
4(0,
)e C ．2(0,4)e
D ．(0,)+∞
7．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'
10x f x x f x -⋅+⋅>，若3
(2)y f x e
=+-是奇函数，则不等式
1()20x x f x e +⋅-<的解集是（ ） A ．(),2-∞ B ．(),1-∞
C ．()2,+∞
D ．()1,+∞
8．在复平面内，31i
i
+-复数（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
9．若函数f(x)＝a |2x －
4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝
1
9
，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]
10．设复数z 满足12
z z
z +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =- D ．221y x =-
11．复数432
i
z i +=-的虚部为（ ） A ．2i
B ．2i -
C ．2
D ．2-
12．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．边长为2的菱形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 相交于点F ,若60BAD ∠=︒,则BE EF ⋅=______.
14．已知点P 是抛物线2
4x y =上动点，F 是抛物线的焦点，
点A 的坐标为()0,1-，则PF
PA
的最小值为______________．
15．在ABC ∆中，已知3AB =，2AC =，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅=__________.
16．如图，己知半圆O 的直径8AB =，点P 是弦AC （包含端点A ，C ）上的动点，点Q 在弧BC 上．若OAC ∆是等边三角形，且满足·0OQ OP =，则·OP BQ 的最小值为___________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知变换T 将平面上的点11,2⎛⎫
⎪⎝⎭，(0,1)分别变换为点9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭
．设变换T 对应的矩阵为M ．
（1）求矩阵M ； （2）求矩阵M 的特征值．
18．（12分）已知x ，y ，z 均为正数． （1）若xy ＜1，证明：|x +z |⋅|y +z |＞4xyz ； （2）若
xyz x y z ++＝1
3
，求2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值．
19．（12分）已知函数()x
f x axe =（a R ∈，0a ≠），()ln 1
g x x x =++. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）若对任意的0x >，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 20．（12分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知42c =，25
sin 25
C =
. （1）若1a =，求sin A ； （2）求ABC 的面积S 的最大值.
21．（12分）在①2a =，②2a b ==，③2b c ==这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求ABC 的面积的值（或最大值）．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，三边a ，b ，c 与面积S 满足关系式：2224S b c a =+-，且 ，求ABC 的面积的值（或最大值）
． 22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 在直线10x y +-=上，平行
于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交抛物线C 于A ，B 两点，交该抛物线的准线于D ，E 两点.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若F 在线段AB 上，P 是DE 的中点，证明：AP
EF .
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】
由已知条件利用诱导公式得3
tan 4
α=-，再利用三角函数的平方关系和象限角的符号，即可得到答案. 【详解】
由题意得()tan πα-= 3tan 4
α=-， 又π3π,
22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π,πcos 0,sin 02ααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，，结合22sin cos 1αα+=解得34sin ,cos 55αα==-， 所以sin cos αα+ 341
555
=-=-， 故选B. 【点睛】
本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系，属于基础题. 2．B 【解析】
利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得tan 3
B =，可得出6B π=，然后利用余弦定理求出b 的值，最后利用
正弦定理可求出sin C 的值. 【详解】
1sin sin cos sin 32b A a B B a B π⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭，
即1
sin sin cos sin sin 2
A B A B A B =
-，即3sin sin cos A B A A =，
sin 0A >
，3sin B B ∴=
，得tan B =
，0B π<<，6B π∴=.
由余弦定理得b === 由正弦定理sin sin c b
C B
=
，因此，1sin sin 7c B C b ===. 故选：B. 【点睛】
本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 3．A 【解析】
利用分段函数的性质逐步求解即可得答案． 【详解】
21log 03<，∴22211
(log )log log 3033f =-=>；
∴221
[(log )](log 3)3123
f f f ==-=；
故选：A ． 【点睛】
本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用． 4．A 【解析】
根据函数图像平移原则，即可容易求得结果. 【详解】
因为sin cos 122f x x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
故要得到()g x ，只需将()f x 向左平移12
π
个单位长度.
故选：A. 【点睛】
本题考查函数图像平移前后解析式的变化，属基础题.
5．B 【解析】
由题，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，
则根据余弦定理可得7BC =
= ，ABC
的外接圆圆心
2sin BC r r B =
==
三棱锥的外接球的球心到面ABC
的距离12d SA == 则外接球的半径
R ==
，则该三棱锥的外接球的表面积为2
256
43
S R ππ==
点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R 公式是解答的关键． 6．B 【解析】
求导函数，求出函数的极值，利用函数2()x
f x x e a =-恰有三个零点，即可求实数a 的取值范围.
【详解】
函数2x
y x e =的导数为2'2(2)x x x
y xe x e xe x =+=+， 令'0y =，则0x =或2-，
20x -<<上单调递减，(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，
所以0或2-是函数y 的极值点， 函数的极值为：2
24(0)0,(2)4f f e
e
-=-==
， 函数2()x
f x x e a =-恰有三个零点，则实数的取值范围是：24(0,)e
. 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大. 7．A 【解析】 构造函数()()x
x f x g x e
⋅=
，根据已知条件判断出()g x 的单调性.根据()3
2y f x e =+-是奇函数，求得()2f 的值，
由此化简不等式1()20x x f x e +⋅-<求得不等式的解集. 【详解】
构造函数()()x x f x g x e ⋅=，依题意可知()()()()''
10x
x f x x f x g x e -⋅+⋅=>，所以()g x 在R 上递增.由于()3
2y f x e =+-是奇函数，所以当0x =时，()3
20y f e =-=，所以()3
2f e =，所以()3
2222e g e e
⨯==.
由1()20x x f x e +⋅-<得()()
()22x
x f x g x e g e
⋅=<=，所以2x <，故不等式的解集为(),2-∞. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 8．D 【解析】
将复数化简得=12z i +,12z i =-,即可得到对应的点为()1,2-,即可得出结果. 【详解】
3(3)(1)
12121(1)(1)
i i i z i z i i i i +++=
==+⇒=---+，对应的点位于第四象限. 故选:D . 【点睛】
本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易. 9．B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,
故选B. 10．B 【解析】
根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解. 【详解】
z 在复平面内对应的点的坐标为
(),x y ，则z x yi =+，
z x yi =-，
∵12
z z
z +=
+，
1x =+， 解得2
21y x =+. 故选：B. 【点睛】
本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题. 11．D 【解析】
根据复数的除法运算，化简出z ，即可得出虚部. 【详解】 解：432i z i +=
-=
()()()()
43251012225i i i
i i i +++==---+-， 故虚部为-2. 故选：D. 【点睛】
本题考查复数的除法运算和复数的概念. 12．C 【解析】
取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，根据正棱柱的结构性质，得出1A E //AD ，则1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，求出11tan CE
CA E A E
∠=，即可得出结果. 【详解】
解：如图，取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，
由于正三棱柱111ABC A B C -，则1BB ⊥底面111A B C ， 而1A E ⊂底面111A B C ，所以11BB A E ⊥， 由正三棱柱的性质可知，111A B C △为等边三角形， 所以111A E B C ⊥，且111A E B C E =,
所以1A E ⊥平面11BB C C ，
而EC ⊂平面11BB C C ，则1A E ⊥EC ， 则1A E //AD ，190A EC ∠=︒，
∴1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角， 设2AB =，则122AA =13A E =，3CE =， 则11tan 33
CE CA E A E ∠=
== ∴13
πCA E ∠=. 故选：C. 【点睛】
本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．
14
【解析】
取基向量AD ，AB ，然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将BE ，EF 表示为基向量后再相乘可得． 【详解】 如图：
设(1)AF AD AC λλ=+-，又1111
2224
AE AD AO AD AC =+=+， 且存在实数t 使得AF t AE =，
11
(1)24
AD AC t AD t AC λλ∴+-=+，
∴12114t t
λλ⎧
=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，
∴2
3
λ=
， ∴213
3
AF AD AC =+， ∴11
6
12
EF AF AE AD AC =-=+
， ∴111
()()()()4
6
12
BE EF AE AB EF AD DE AB EF AD DB AB AD AC =-=+-=+-+
1111
()()44612
AD AB AD AB AD AC =+
--+ 3311
()()44412AD AB AD AB =-+ 22311
16168
AD AB AB AD =-- 31114422161682
=
⨯-⨯-⨯⨯⨯ 14
=
故答案为：14
． 【点睛】
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题． 14．
22
【解析】
过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =，
则sin PF PM PAM PA PA ==∠，PAM ∠为锐角.故当PA 和抛物线相切时，PF PA 的值最小. 再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得PF PA 的最小值. 【详解】
解：由题意可得，抛物线2
4x y =的焦点()0,1F ，准线方程为1y =-， 过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =，
则sin PF PM PAM PA PA
==∠，PAM ∠为锐角. 故当PAM ∠最小时，PF PA
的值最小. 设切点()
2,P a a ，由214y x =的导数为12y x '=， 则PA 的斜率为11222a a a a
+⋅==， 求得1a =，可得()2,1P ，
∴2PM =，22PA =，
∴2sin 2
PM PAM PA ∠==.
故答案为：
22
. 【点睛】 本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题.
15．52
-
【解析】
作出图形，设点E 为线段BC 的中点，可得出()
12AE AB AC =
+且AP AE EP =+，进而可计算出AP BC ⋅的值. 【详解】
设点E 为线段BC 的中点，则EP BC ⊥，0EP BC ∴⋅=，
()()111222
AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+， ()()()12
AP BC AE EP BC AE BC EP BC AC AB AC AB ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=+⋅-()
()222211523222AC AB =-=⨯-=-. 故答案为：52
-
. 【点睛】 本题考查平面向量数量积的计算，涉及平面向量数量积运算律的应用，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.
16．1
【解析】
建系，设AP m =，表示出P 点坐标，则()162OP BQ OP OQ OB OP OB m =-=-=-，根据m 的范围得出答案．
【详解】
解：以O 为原点建立平面坐标系如图所示：则(4,0)A -，(4,0)B ，(2C -，3)，
设(04)AP m m =，则1(42P m -3)， ∴1(42OP m =-3)，(4,0)OB =， 0OQ OP =，
∴()162OP BQ OP OQ OB OP OB m =-=-=-，
显然当m 取得最大值4时，OP BQ 取得最小值1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算，坐标运算，属于中档题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）33244M ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦
（2）1或6 【解析】
（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，根据变换可得关于a b c d ,,,的方程，解方程即可得到答案； （2）求出特征多项式，再解方程，即可得答案；
【详解】
（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则194122a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦，30214a b c d ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 即1924122324
a b c d b d ⎧+=⎪⎪⎪+=-⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪=⎩，解得33244
a b c d =⎧⎪⎪=-⎪⎨⎪=-⎪=⎪⎩，则33244M ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣⎦． （2）设矩阵M 的特征多项式为()f λ，可得23
3()(3)(24)676244
f λλλλλλ-==---=-+-，
令()0f λ=，可得1λ=或6λ=．
【点睛】
本题考查矩阵的求解、矩阵M 的特征值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
18．（1）证明见解析；（2）最小值为1
【解析】
（1）利用基本不等式可得|x |||4z y z z +⋅+≥=, 再根据0＜xy ＜1时, 即可证明|x +z |⋅|y +z |＞4xyz .
（2）由
xyz x y z ++＝13, 得1113yz xz xy
++=，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz ≥3，从而求出2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值.
【详解】
（1）证明：∵x ，y ，z 均为正数，
∴|x +z |⋅|y +z |＝（x +z ）（y +z ）≥4
当且仅当x ＝y ＝z 时取等号．
又∵0＜xy ＜1，∴44xyz >，
∴|x +z |⋅|y +z |＞4xyz ； （2）∵xyz x y z ++＝13，即1113yz xz xy
++=． ∵1122yz yz yz yz
+⋅=， 1122xz xz xz xz
+⋅=， 1122xy xy xy xy
+⋅=， 当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取等号，
∴1116xy yz xz xy yz xz
+++++， ∴xy +yz +xz ≥3，∴2xy ⋅2yz ⋅2xz ＝2xy +yz +xz ≥1，
∴2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值为1．
【点睛】
本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．
19．（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）1a ≥
【解析】
（Ⅰ）求导得到()(1)x
f x a x e '=+，讨论0a >和0a <两种情况，得到答案.
（Ⅱ）变换得到ln 1x x x a xe ++≥，设ln 1()x x x F x xe ++=，求2(1)(ln )()x
x x x F x x e '-++=，令()ln x x x ϕ=+，故()x ϕ在(0,)+∞单调递增，存在01,1x e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭使得()00x ϕ=，()max 0()F x F x =，计算得到答案.
【详解】
（Ⅰ）()(1)x f x a x e '=+（0a ≠），
当0a >时，()f x 在(,1)-∞-单调递减，在(1,)-+∞单调递增；
当0a <时，()f x 在(,1)-∞-单调递增，在(1,)-+∞单调递减.
（Ⅱ）()()f x g x ≥（0x >），即ln 1(0)x axe x x x ≥++>，ln 1x x x a xe
++≥（0x >）. 令ln 1()x
x x F x xe ++=（0x >）， 则()
2211(1)(ln 1)(1)(ln )()x x x x xe x e x x x x x x F x x e xe '⎛⎫+-+++ ⎪-++⎝⎭==， 令()ln x x x ϕ=+，11'()1x x x x
ϕ+=+=，故()x ϕ在(0,)+∞单调递增， 注意到1110e e
ϕ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，(1)10ϕ=>， 于是存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()000ln 0x x x ϕ=+=，
可知()F x 在()00,x 单调递增，在()0,x +∞单调递减.
∴()000max 00ln 1()1x x x F x F x x e ++==
=. 综上知，1a ≥.
【点睛】
本题考查了函数的单调性，恒成立问题，意在考查学生对于导数知识的综合应用能力.
20．（1
）sin 10
A =
；（2）4 【解析】
（1）根据已知用二倍角余弦求出cos C ，进而求出sin C ，利用正弦定理，即可求解；
（2）由c 边C 角，利用余弦定理结合基本不等式，求出ab 的最大值，即可求出结论.
【详解】
（1）∵23cos 12sin 25
C C =-=-，∴4sin 5C =，
由正弦定理sin sin a c A C =得sin sin 10
a C A c ==. （2）由（1）知3cos 5C =-，2222266162cos 2555c
b a b a C b a ba ab ba ba =+-⋅⋅=++≥+=， 所以16325ba ≥，10ba ≥，114sin 104225
S ba C =≤⨯⨯=， 当且仅当a b =时，ABC 的面积S 有最大值4.
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，应用基本不等式求最值，属于基础题.
21．见解析
【解析】 若选择①，结合三角形的面积公式，得222144sin 2S bc A b c a =⨯=+-，化简得到sin A =222cos 2b c a A bc
+-=，则tan 1A =，又0180A <<︒︒，从而得到45A =︒，
将2a =代入222
cos 2b c a A bc
+-=，得224b c ++．
2242b c bc +=+≥，∴4bc ≤+，当且仅当b c ==
∴11sin 4122S bc A =≤⨯+=（，
故ABC 1，此时b c ==．
若选择②，2a b ==，结合三角形的面积公式，得222144sin 2S bc A b c a =⨯=+-，化简得到sin A =222cos 2b c a A bc
+-=，则tan 1A =，又0180A <<︒︒，从而得到45A =︒，
则45A B ==︒，此时ABC 为等腰直角三角形，12222
S =⨯⨯=. 若选择③，2b c ==，则结合三角形的面积公式，得222144sin 2
S bc A b c a =⨯=+-，化简得到
sin A =222
cos 2b c a A bc +-=，则tan 1A =，又0180A <<︒︒，从而得到45A =︒，则122sin 452
S =⨯⨯⨯︒=
22．（1）24y x =；（2）见解析
【解析】
（1）根据抛物线的焦点在直线10x y +-=上，可求得p 的值，从而求得抛物线的方程；
（2）法一：设直线1l ，2l 的方程分别为y a =和y b =且0a ≠，0b ≠，a b ，可得A ，B ，D ，E 的坐标，进而可得直线AB 的方程，根据F 在直线AB 上，可得4ab =-，再分别求得AP k ，EF k ，即可得证；法二：设()11,A x y ，
()22,B x y ，则121,2y y P +⎛⎫- ⎪⎝
⎭，根据直线AB 的斜率不为0，设出直线AB 的方程为1x my -=，联立直线AB 和抛物线C 的方程，结合韦达定理，分别求出AP k ，EF k ，化简AP EF k k -，即可得证.
【详解】
（1）抛物线C 的焦点F 坐标为,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭，且该点在直线10x y +-=上， 所以102
p -=，解得2p =，故所求抛物线C 的方程为24y x = （2）法一：由点F 在线段AB 上，可设直线1l ，2l 的方程分别为y a =和y b =且0a ≠，0b ≠，a b ，则2,4a A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,4b B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，()1,D a -，()1,E b -. ∴直线AB 的方程为222
444b a a y a x b a ⎛⎫--=- ⎪⎝
⎭-，即()40x a b y ab -++=. 又点()1,0F 在线段AB 上，∴4ab =-.
∵P 是DE 的中点，∴1,2a b P +⎛
⎫- ⎪⎝⎭
∴224224142AP a b a a a k a a a ++-
===++，4222EF AP b a k k a -====--. 由于AP ，EF 不重合，所以//AP EF
法二：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121,2y y P +⎛⎫- ⎪⎝
⎭ 当直线AB 的斜率为0时，不符合题意，故可设直线AB 的方程为1x my -=
联立直线AB 和抛物线C 的方程214x my y x
-=⎧⎨=⎩，得2440y my --=
又1y ，2y 为该方程两根，所以124y y m +=，124y y =-，()()112121112121AP y y y y y k x x -+-==++，22EF y k =-. ()()()()()
211121122112111114144021111AP EF y y y y y y y y x y y x k k x x x x -++-+++-=====++++，EF AP k k = 由于AP ，EF 不重合，所以//AP EF
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．。