精编高中数学单元测试卷-函数综合问题专题模拟考试(含参考答案)

2019年高一年级数学单元测试卷
函数综合问题
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．将函数)22)(2sin()(π
θπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到
函数)(x g 的图象,若)(),(x g x f 的图象都经过点)23
,0(P ,则ϕ的值可以是
（ ）
A ．35π
B ．65π
C ．2π
D ．6π
（2013年高考福
建卷（文））
2．若函数⎩
⎨⎧>≤+=1,lg 1
,1)(2x x x x x f ，则f(f(10)=
A.lg101
B.2
C.1
D.0
3．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为12π
，则ω的值
为
A ．3
B ．6
C ．12
D ．24
4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为 （ ）
A ．1
ln ||y x = B ．3y x = C ．||2x y = D ．cos y x =
5．下列区间中，函数()lg(2)f x x =-，在其上为增函数的是
（A ）(,1]-∞ (B) 41,3⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦ (C) 3
[0,)2 (D) [1,2)(2011年高考重庆卷理科5)
二、填空题
6．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数， 若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则x 1+x 2+x 3+x 4=_____.
7．设实数1x >-，则函数11y x x =+
+的最小值是 ．
8．
函数cos y x x =+的最小值为 ▲ ．
9．)25
cos(x y -=π
的减区间为 10．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
对x R ∈恒成立，且()2f f ππ⎛⎫>
⎪⎝⎭
，则()f x 的单调递增区间是 ▲ ． 11．关于x 的方程1121lg x
a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭有正根，则实数a 的取值范围是 . 12．已知()f x =⎩⎨⎧<+-≥+0
,10,12x x x x ，则[(1)]f f -的值为 ．
13．sin()cos()sin()cos()222sin()cos()
πππ
πααααπαπα=-+--+++ ▲ ．
14．已知函数2()f x x x =-，若2(1)(2)f m f --<，则实数m 的取值范围是 15．设函数n a
n i x f n i x x ∑-=+=11lg )(，其中R a ∈，对于任意的正整数n （2≥n ），如果不
等式n x x f lg )1()(->在区间[)+∞,1有解，则实数a 的取值范围为．
16．若关于x 的方程2||3
x kx x =-有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ．
三、解答题
17．(本小题满分14分)
某种树苗栽种时高度为A (A 为常数)米，栽种n 年后的高度记为f (n )．经研究发现f (n )近似
地满足 f (n )＝9A a ＋b t n
，其中t ＝2-23，a ，b 为常数，n ∈N ，f (0)＝A ．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．
（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；
（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．
答案: (本小题满分14分)
解：（1）由题意知f (0)＝A ，f (3)＝3A ．
所以⎩
⎪⎨⎪⎧9A
a ＋
b ＝A ，
9A a ＋14b ＝3A ，解得a ＝1，b ＝8． ………………………………………4分 所以f (n )＝9A 1＋8×t n
，其中t ＝2-23． 令f (n )＝8A ，得9A 1＋8×t n
＝8A ，解得t n ＝164， 即2-2n 3＝164，所以n ＝9．
所以栽种９年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍． ………………………………………6分
（2）由（1）知f (n )＝9A 1＋8×t n
． 第n 年的增长高度为△＝f (n )－f (n －1)＝9A 1＋8×t n －9A
1＋8×t n －1
． ……………………………9分 所以△＝72At n －1(1－t )(1＋8t n )(1＋8t n －1)＝72At n －
1(1－t )1＋8t n －1(t ＋1)＋64t 2n －1 ＝72A (1－t )1t n －1
＋64t n ＋8(t ＋1) ………………………………………12分
≤
72A (1－t )264t n ×1t
n －1＋8(t ＋1)＝72A (1－t ) 8(1＋t )2＝9A (1－t ) 1＋t ． 当且仅当64t n ＝1t
n －1，即2-2(2n -1)
3＝164时取等号，此时n ＝5． 所以该树木栽种后第5年的增长高度最大． ………………………………………14分
18．设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点．（1）求函数f (x )的单
调区间；（2）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，k ≥－12
恒成立，求t 的最大值；（3）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．
与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．
19．已知函数()lg 2a f x x x ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭
，其中0a >． （1）若对任意的[)2,x ∈+∞，都有()0f x >，试求实数a 的取值范围；
（2）求函数()f x 的定义域．（本小题满分15分）
20． （本小题满分15分）已知()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，()()ln 2f x x =+.
（1）当0x <时，求()f x 的解析式；
（2）当m R ∈时，试比较()1f m -与()3f m -的大小；
（3）求最小的整数()2m m ≥-，使得存在实数t ，对任意的[],10,x m ∈
()2ln 3f x t x +≤+.
21．设某物体一天中的温度T 是时间t 的函数，已知32()(0)T t at bt ct d a =+++≠，其中温度的单位是℃，时间的单位是小时．中午12:00相应的t =0，中午12:00以后相应的t 取正数，中午12:00以前相应的t 取负数（如早上8：00相应的t =-4，下午16：00相应的t =4）．若测得该物体在早上8:00的温度为8℃，中午12:00的温度为60℃，下午13:00的温度为58℃，且已知该物体的温度早上8:00与下午16:00有相同的变化率.
（1）求该物体的温度T 关于时间t 的函数关系式；
（2）该物体在上午10:00到下午14:00这段时间中(包括端点)何时温度最高？最高温度是多少？
22．设函数()f x 的定义域为A ，值域为B ，如果存在函数()x g t =，使得函数(())y f g t =的值域仍然是B ，那么称函数()x g t =是函数()f x 的一个等值域变换．
(1)判断下列函数()x g t =是不是函数()f x 的一个等值域变换？说明你的理由： ①R x x x f ∈+=,12)(， R t t t t g x ∈+-==,32)(2；
②2()1,f x x x x R =-+∈， R t t g x t
∈==,2)(；
(2)设函数)1(log )(22+-=x x x f ， 2()21g t at t =++，若函数()x g t =是函数()f x 的一个等值域变换，求实数a 的取值范围．
23．某房地产销售商预计2012年1月份起前x 个月的公寓房销售总套数（单位：套）与x 的关系满足1()(1)(392)2
f x x x x =+-*(,12)x N x ∈≤，第x 个月每套房的平均利润()h x （单位：万元）与x 的近似关系为
**352,(,16)()160,(,712)x x N x h x x N x x
⎧-∈≤≤⎪=⎨∈≤≤⎪⎩ （1）求第x 个月的公寓房销售套数()g x 与x 的函数关系式；
（2）试问该销售商在2012年中第几月份的利润最大？
24．设m Z ∈，函数223123(),()log ,() 1.25
m m m x f x x g x f x -++++==<-且 （1）求m 的值，并确定函数()f x 的奇偶性；
（2）判断函数()g x 的单调性，并加以证明。

25．已知工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x （万件）间的关系为
)60,(.,3
2;0,61<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-=c c c x c x x p 且为常数其中，每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1.5元． （I ）将日盈利额y （万元）表示为日产量x （万件）的函数；（Ⅱ）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件?
26． 若实数x 、y 、m 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m .
（1）若21x -比3接近0，求x 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：22a b ab +比33a b +
接近2；
（3）已知函数()f x 的定义域{}
,,D x x k k Z x R π≠∈∈.任取x D ∈，()f x 等于1si n x +和1sin x -中接近0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。

27．已知函数2
()3,()2f x mx g x x x m =+=++
（1）求证：函数()()f x g x -必有零点
（2）设函数()G x =()()1f x g x --
①若|()|G x 在[]1,0-上是减函数，求实数m 的取值范围；
②是否存在整数,a b ，使得()a G x b ≤≤的解集恰好是[],a b ，若存在，求出,a b 的值；若不存在，说明理由。

28．设函数2,0() 2 0x bx c x f x x ⎧++=⎨>⎩
≤，若(4)(0),(2)2f f f -=-=-，求关于x 的方程()f x x =解的个数。

29．
求函数y x =+.(构造截距)变式:
求函数2y x =.
30．已知函数()f x 对任意的实数,x y 都有()()()2()1f x y f x f y y x y +=++++且(1)1f =.
① *x N ∈,求()f x 的表达式;②若*x N ∈且2x ≥时,不等式
()(7)(f x a x a ≥
+-+恒成立,求a 的取值范围.。