Maple系统在数学建模中的应用

收稿日期:1999-01-29
Maple 系统在数学建模中的应用
王　涛 杨　洪
(山东省经济计划学校　济南250100)　(山东大学　济南250100)
刘贵杰
(山东轻工业学院机电系　济南　250100)
摘要　本文探讨了数学模型的种类及数学建模存在的问题,进而探讨了Maple 系统的功能与特点,以及
它在数学建模中的应用。

关键词　数学模型,数学建模,计算机代数系统,Maple 系统
中图法分类号　O22111
在对自然科学与社会科学许多课题的研究中,科学工作者常将事物的变化规律用特定的数学表达式的形式加以描述。

将这种确定事物变化规律的过程称为“数学建模”。

在数学模型的格式确定之后,往往还需要根据不同的限制条件去确定数学表达式的有关参数,以便精确地描述该事物的变化规律。

其次,研究者时常更多地关注事物变化规律的极端情况。

例如,对多变量参数数学模型求极值点;或者将函数的变化规律由隐函数形式转换为显函数的形式;或者将复杂的函数表达式化简;或者从众多因素中确定少数主要因素;或者将含有微分或积分因子的数学模型求出分析解。

数学模型的建立、整理、化简、优选参数、求精确解等,都是“数学建模”研究工作中的关键部分,是许多科研工作的主要课题。

本文探讨了数学模型的种类及数学建模存在的问题,进而探讨了Maple 系统的功能与特点,以及它在数学建模中的应用。

1　几种常用的数学模型
生产实践中,常用的数学模型有以下几种:
(1)在工农业生产计划优化决策中常用的线性规划模型
(2)机械化养鸡最佳生产周期研究中用到的罗杰斯蒂函数模型
(3)天气预报研究中使用的多元线性回归模型
(4)农作物最佳投入产出规律研究中用的道格拉斯回归模型
(5)电波传播研究中遇到的复系数多项式方程模型的求根问题
(6)投资决策中用到的层次分析模型的解法
(7)生物学科在正交试验设计中对多元二次函数模型的求极值点的研究
第13卷第2期
1999年6月山　东　轻　工　业　学　院　学　报JOURNAL OF SHANDON G INSTITU TE OF L IGHT INDUSTRY Vol.13No.2J un.1999
64山　东　轻　工　业　学　院　学　报 第13卷
(8)化工产品的生产过程中遇到的热传导常微分方程模型求解方法
2　数学模型研究中现存的问题
在许多情况下,数学模型的研究常常会遇到种种难以解决的问题。

主要存在以下几方面:
(1)对于结构复杂的模型,求出该模型解的分析表达式
(2)检验所建数学模型的正确性
(3)绘制几何图形显示该模型的特性
(4)模型内参数的变化对模型的影响
(5)将复杂模型简化的可能性
(6)由于数据的变化幅度过大,造成对模型处理的过程中计算误差的大量积累
(7)用于由符号表达式到符号表达式的变换方法
(8)测试数学模型各种特性指标的简易方法
3　Maple系统用于数学建模
311　Maple系统简介
Maple系统是一种计算机代数系统,它是由加拿大Waterloo大学科研人员研制成功的,是目前流行最广的计算机代数系统之一。

我们将MAPL E系统用于数学建模,是由于它具有如下特点:
(1)功能齐全。

它由2000余个子程序组成,其功能覆盖了代数、几何、微积分、矩阵、数论、组合数学、统计、运筹、集合论、图形等功能。

(2)操作方便。

安装在Windows95系统下运行,窗口命令的格式符合Windows的统一风格。

(3)程序设计命令规范。

其基本语句和子程序命名符都基本符合专业的习惯,容易被使用者接收。

(4)输出结果内容丰富,格式多样。

它可以输出线性格式的结果与符合数学习惯的结果,便于分析和保存。

312　Maple系统用于数学建模的步骤
通过大量的研究、分析,我们总结出Maple系统用于数学建模的几个步骤如下:
(1)数学建模的准备工作。

分析研究对象的变化规律,提取研究对象及变化规律的主要特征,作为数学建模的依据。

为了建模工作的方便,对研究对象变化规律在保持其特性的条件下进行适当的化简、并为验证模型准备一批数据。

(2)确定数学模型的类型。

根据研究对象变化规律,选用相符的模型类型。

例如,测量数据选用拟合模型;动态运动规律选用微分方程模型;投入产出规律选用数学规划模型;生产计划布局选用网络模型等。

(3)对数学模型最佳分析表达式的设计。

在同一数学模型的类型中,进一步针对不同数据变化特征,选定该模型的最佳分析表达
式。

这是数学建模过程中的另一关键步骤。

例如,在众多回归模型中进一步选型,确定采用多项式逼近,或周期函数逼近,还是一般超越函数模型逼近。

(4)数学模型的求解及确定主要参数。

计算机代数系统的出现为我们进行数学模型的求解,提供了得力的工具。

(5)数学模型的验证与计算结果分析。

评价模型的可信度,审定模型的合理性,并用事先准备的数据对模型进行统计检验,必要时,调整原模型的参数与条件,返回第(4)步;甚于改变模型的类型,返回到第(3)步,从新进行模型设计。

313　实例分析
实例分析11某公司生产X1,X2,X3三种机件产品。

在下表中给出了生产每种机件产品所消耗的贵金属材料,电力,工时量以及每件产品的利润,并给出了贵金属材料,电力、工时量的月供应量。

产品名
贵金属(千克)电力(千瓦)工时利润X1
151312800X2
111010550X310
129620月供应量
8960105008500S ②若三种产品的月需求量不超过1600件,如何修必数学模型,求最优生产方案。

③若三种产品的月需求量不少于100件,又怎样修改数学模型,求最优生产方案解:(1)数学建模的准备。

分析上述研究对象的变化规律,根据已知条件,该问题符合线性规划模型的规律。

其模型的目标函数与约束条件数据完备。

(2)用MapleV 设计数学模型分析表达式
定义目标函数与约束条件集合。

f :=8003x1+5003x2+6203x3:
Con1:=153x1+113x2+103x3 <=8960:
Con2:=133x1+103x2+123x3 <=10500:
Con3:=123x1+103x2+93x3 <=8500:
Setl :={con1,con2,con3}:
With (simples ):
测定约束条件的可解性。

Feasible (setl );
Ture
(3)求线性规划的最优解。

Maximze (f ,set1,NONN EG A TIV E );
{x2=0,x3=4102 5,x1=252 5}
(4)修改数学模型,增加约束条件并求线性规划的最优解。

con4:=x1+x2+x3<=1600:
con5:x1>=100:
74第2期王涛等:　Maple 系统在数学建模中的应用
set2:={con1,con2,con3,con4,con5}:
Feasible (set2);
Ture
Maximize (f ,set2,NONN EG A TIV E );
{x1=100,x2=0,x3=746}
(5)再次增加约束条件并求线性规划的最优解。

con6:x2>=100;
set0:{con1,con2,con3,con4,con5,con6}:
Feasible (set0);
True
Maximize (f ,set0,NONN EG A TIV E );
{x3=636,x1=100,x2=100}(3最优解 3)
f =529320 (3
目标函数值3)
实例分析2　研究函数y =E (-x )3sin (x )的变化规律,求它的一阶导数y1和二阶导数y2;画y ,y1,y2三条曲线;求y1与y2的零点t1与t2。

问题解答见附图。

附图　数学模型关系曲线
4　结束语
通过理论探讨和实例分析,我们得出如下结论:
411　Maple 系统是一个功能齐全的计算机代数系统,把它用于数学建模是非常方便的。

412　Maple 系统的程序设计简单易懂,对计算机硬件条件要求不高,是一个适用于数学建模的工具软件。

参　考　文　献
11李刚,杨洪等,现代应用软件.东营:石油大学出版社,199821姜启源.数学模型,北京:高等教育出版社,1987
(下转第53页)
84山　东　轻　工　业　学　院　学　报 第13卷
4　滕立东1晶花玻璃高级建筑饰面材料的研制1中国建材,1995,147(3):23～24
5　滕立东,来启辉,张晓凯1含铬CaO -Al 2O 3-SiO 2系统结晶质玻璃球状析晶机理的研究1玻璃,1996,23(1):1～56　边肇祺等1模式识别1北京:清华大学出版社,1988
7　王碧泉,陈祖荫1模式识别理论、方法和应用1北京:地震出版社,1989
8　蔡元龙1模式识别1西安:西安电子科技大学出版社,1986
Applications of Computer Pattern Recognition
in the Study of Crystallized G lasses Meng H ua
(Shandong Alcohol Factory ,Jinan ,250100)
T eng Lidong
(Shandong Institute of Light Industry ,Jinan ,250100)
Abstract The preparation factors of crystallized glasses have been analyzed by means of sta 2tistical pattern recognition.The optimum region of target parameters with expected mechanical properties was determind by computer program of principal component analysis (PCA ).The ex 2perimental results show that this PCA program is reliable in optimizing heat -treatment schedules and composition of crystallized glasses.
K ey Words computer application ,pattern recognition ,crystallized glass ,material design (上接第48页)
Applications of Maple System in Mathematical Modeling
W ang T ao
(Shandong School of Economy Plan ,Jinan ,250100)
Yang H ong Liu G uijie
(Shandong University ,Jinan ,250100)　(Shandong Institute of Light Industry ,Jinan ,250100)Abstract Types of mathematical models and problems existing in mathematical modeling have been discussed.Functions and characteristics of Maple system and its applications in mathe 2matical modeling have been analyzed furthermore.
K ey Words mathematical model ,mathematical modeling ,computer algebraic system ,Maple system 35第2期孟　华等:　模式识别技术在结晶质玻璃材料制备中的应用。