空间距离的计算(备课件)高二数学系列(2019选择性必修第二册)
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面BDE的距离.
z
解: 以C为原点建立如图的空间 直角坐标系,
D1
C
1
则各点坐标为: B(0, 1, 0), D(1, 0, 0), E(0, 0, 1), D1(1, 0, 2),
B1
A1
E
BD (1, 1, 0), BE (0, 1, 1), D1D (0, 0, 2),
设平面BDE的一个法向量为
x y 0
由 n BD 0, n BE 0,
y z 0
取 z 1, 得 x 1, y 1, n (1, 1, 1),
则点D1到平面BDE的距离 d
xD
n ( x, y, z ),
xz0,
2 3
| n D1 D |
A
·
·
B
x
O
y
活动探究
2. 点到直线的距离
P·
| PQ | | AP |2 | AQ |2
| AP |2 |
AP e|e||2 Nhomakorabeal
e
Q
A
活动探究
3. 点到平面的距离
P
| PA n |
| PQ |
,
|n|
( A 平面 , n为法向量 ).
n
A
Q
数学应用
例1. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1, AB1, AA12, 点E为CC1的中点, 求点D1到平
y 2 z.
1
n EC = x y 0.
1
2
取z 1,则x 1,y 2. n (1,2,1)是平面AEC1的一个法向量.
又
AF (0，
2，
0),点F到平面AEC1的距离为
z
D
1
(0, ,0) (1, 2,1)
| AF n |
6
2
d
2
1
1
1
EC1 (1, ,0), FC (1, ,0), AF (0, ,0).
2
2
2
A
B
D1
A1
x
点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离.
设平面AEC1的法向量为n ( x,y,z ),则
F
E
C1 y
B1
数学应用
1
x z,
n AE = 2 y z 0,
则 d | n |
5
933
A
z
3 ).
M
y
B
x
D
O
C
数学应用
例5.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB到
平面D1CB1的距离.
解:建立如图所示的空间直角坐标系, 则
A1 (1,0,1), D(0,0,0), B(1,1,0), D1 (0,0,1), B1 (1,1,1), C (0,1,0)
→
·
AN
＝4y＋2z＝0，
3
3
令 z＝2,则 y＝－1,x＝ 3 , 即＝ ，－1，2.
3
—→
易知C
1N ＝(0,0，－2)，
－4
—→
设点C1到平面ABN的距离为d2，则 d2＝ C1N·＝4 3＝ 3.
3
.
3
|n|
A
C
y
B
数学应用
例2.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.
求点N到直线AB的距离；
解
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(0,0,0),B(2 3,2,0),C(0,4,0),C1(0,4,4),
∵N是CC1的中点，∴N(0,4,2).
→
→
AN＝(0,4,2)，AB＝(2 3，2,0)，
6.3.3空间距离的计算
学习目标
1.能用向量方法解决点到直线、点到面的距离的计算问题；
2.能用向量方法解决两直线、两平面的距离的计算问题；
3.核心素养：直观想象、数学运算；
4.活动体验：感受利用类比、归纳方法的探究过程。
情境创设
1. 两点间距离 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2),
谢 谢 观 看
C(1, 0, 0), D(1, 0, 0), M (0, 0,
求平面MBC的一个法向量:
CM (1, 0,
3), CB (1,
法向量 n (3,
3, 0).
3 , 3 ).
又 AC (1, 3, 2 3).
设点A 到平面MBC 的距离为d,
| AC n | | 3 3 6 | 2 15 .
5
2
(3)求点A1到平面AB1E的距离；
3
1
(4)求直线FC1到平面AB1E的距离.
3
D1
A1
B1
E
D
A
C1
F
B
C
课堂达标
2.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.
求点C1到平面ABN的距离.
→
→
则由⊥AB，⊥AN，
→
·
AB＝2 3x＋2y＝0，
得
DA1 (1,0,1), DB (1,1，
0), CB1 (1,0，
1), B1D1 (1, 1，
0)
DA1 / /CB1 , B1D1 / / DB, DA1 / /CB1 , B1D1 / / DB,
D1
C1
B1
A1
D
A
平面A1DB / / 平面D1CB
点C到平面A1DB的距离即为两平行平面的距离.
| AB | ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 ( z1 z2 ) 2 .
问题：两点间距离可不可以用向量表示？
AB ( x1 x2，y1 y2，z1 z2 )
z
| AB | ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 ( z1 z2 ) 2
→ |＝2 5，|AB
→ |＝4.
则|AN
设点N到直线AB的距离为d1，
则 d1＝
→ →
AB
AN·
→
|AN|2－ 2＝ 20－4＝4.
→
AB
数学应用
例3.如图，在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线
段AB的中点.求直线FC到平面AEC1的距离.
平面A1 DB与平面D1CB的距离为
BC n
n
3
.
3
课堂小结
在三角形角中求
找垂线段
等
法
积
空间距离
两点间坐标公式
不找垂线段
用向量求
课堂达标
1.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，
F为线段BB1的中点.
5
(1)求点A1到直线B1E的距离；
3
30
(2)求直线FC1到直线AE的距离；
z
解：以D1为原点,D1 A1 ,D1C1 ,D1 D所在直线分别为x
C
D
轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则
1
1
A(1,0,1),B(111)
,, ,C (0,,
11),C1 (0,,
1 0),E (1, ,0),F (1，，
1)
21
2
AB (0,1,0), AC1 (1,1, 1), AE (0, , 1),
.
6
|n|
6
6
即直线FC到平面AEC1的距离为 .
6
A
C
F
B
D1
A1
x
E
C1 y
B1
数学应用
例4. 如图, △BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形, 平面MCD⊥
平面BCD, AB⊥平面BCD, AB 2 3 . 求点 A 到平面MBC 的距离;
解: A(0, 3 , 2 3 ), B(0, 3 , 0),
C
B
数学应用
设平面A1DB的法向量n ( x, y, z),
n DA1 x z 0
则
,
n DB x y 0
z x
即
y x
取x 1, 得y 1, z 1
n (1, 1, 1),
又 BC (1,0,0)
z
解: 以C为原点建立如图的空间 直角坐标系,
D1
C
1
则各点坐标为: B(0, 1, 0), D(1, 0, 0), E(0, 0, 1), D1(1, 0, 2),
B1
A1
E
BD (1, 1, 0), BE (0, 1, 1), D1D (0, 0, 2),
设平面BDE的一个法向量为
x y 0
由 n BD 0, n BE 0,
y z 0
取 z 1, 得 x 1, y 1, n (1, 1, 1),
则点D1到平面BDE的距离 d
xD
n ( x, y, z ),
xz0,
2 3
| n D1 D |
A
·
·
B
x
O
y
活动探究
2. 点到直线的距离
P·
| PQ | | AP |2 | AQ |2
| AP |2 |
AP e|e||2 Nhomakorabeal
e
Q
A
活动探究
3. 点到平面的距离
P
| PA n |
| PQ |
,
|n|
( A 平面 , n为法向量 ).
n
A
Q
数学应用
例1. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1, AB1, AA12, 点E为CC1的中点, 求点D1到平
y 2 z.
1
n EC = x y 0.
1
2
取z 1,则x 1,y 2. n (1,2,1)是平面AEC1的一个法向量.
又
AF (0，
2，
0),点F到平面AEC1的距离为
z
D
1
(0, ,0) (1, 2,1)
| AF n |
6
2
d
2
1
1
1
EC1 (1, ,0), FC (1, ,0), AF (0, ,0).
2
2
2
A
B
D1
A1
x
点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离.
设平面AEC1的法向量为n ( x,y,z ),则
F
E
C1 y
B1
数学应用
1
x z,
n AE = 2 y z 0,
则 d | n |
5
933
A
z
3 ).
M
y
B
x
D
O
C
数学应用
例5.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1DB到
平面D1CB1的距离.
解:建立如图所示的空间直角坐标系, 则
A1 (1,0,1), D(0,0,0), B(1,1,0), D1 (0,0,1), B1 (1,1,1), C (0,1,0)
→
·
AN
＝4y＋2z＝0，
3
3
令 z＝2,则 y＝－1,x＝ 3 , 即＝ ，－1，2.
3
—→
易知C
1N ＝(0,0，－2)，
－4
—→
设点C1到平面ABN的距离为d2，则 d2＝ C1N·＝4 3＝ 3.
3
.
3
|n|
A
C
y
B
数学应用
例2.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.
求点N到直线AB的距离；
解
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(0,0,0),B(2 3,2,0),C(0,4,0),C1(0,4,4),
∵N是CC1的中点，∴N(0,4,2).
→
→
AN＝(0,4,2)，AB＝(2 3，2,0)，
6.3.3空间距离的计算
学习目标
1.能用向量方法解决点到直线、点到面的距离的计算问题；
2.能用向量方法解决两直线、两平面的距离的计算问题；
3.核心素养：直观想象、数学运算；
4.活动体验：感受利用类比、归纳方法的探究过程。
情境创设
1. 两点间距离 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2),
谢 谢 观 看
C(1, 0, 0), D(1, 0, 0), M (0, 0,
求平面MBC的一个法向量:
CM (1, 0,
3), CB (1,
法向量 n (3,
3, 0).
3 , 3 ).
又 AC (1, 3, 2 3).
设点A 到平面MBC 的距离为d,
| AC n | | 3 3 6 | 2 15 .
5
2
(3)求点A1到平面AB1E的距离；
3
1
(4)求直线FC1到平面AB1E的距离.
3
D1
A1
B1
E
D
A
C1
F
B
C
课堂达标
2.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.
求点C1到平面ABN的距离.
→
→
则由⊥AB，⊥AN，
→
·
AB＝2 3x＋2y＝0，
得
DA1 (1,0,1), DB (1,1，
0), CB1 (1,0，
1), B1D1 (1, 1，
0)
DA1 / /CB1 , B1D1 / / DB, DA1 / /CB1 , B1D1 / / DB,
D1
C1
B1
A1
D
A
平面A1DB / / 平面D1CB
点C到平面A1DB的距离即为两平行平面的距离.
| AB | ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 ( z1 z2 ) 2 .
问题：两点间距离可不可以用向量表示？
AB ( x1 x2，y1 y2，z1 z2 )
z
| AB | ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 ( z1 z2 ) 2
→ |＝2 5，|AB
→ |＝4.
则|AN
设点N到直线AB的距离为d1，
则 d1＝
→ →
AB
AN·
→
|AN|2－ 2＝ 20－4＝4.
→
AB
数学应用
例3.如图，在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线
段AB的中点.求直线FC到平面AEC1的距离.
平面A1 DB与平面D1CB的距离为
BC n
n
3
.
3
课堂小结
在三角形角中求
找垂线段
等
法
积
空间距离
两点间坐标公式
不找垂线段
用向量求
课堂达标
1.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，
F为线段BB1的中点.
5
(1)求点A1到直线B1E的距离；
3
30
(2)求直线FC1到直线AE的距离；
z
解：以D1为原点,D1 A1 ,D1C1 ,D1 D所在直线分别为x
C
D
轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则
1
1
A(1,0,1),B(111)
,, ,C (0,,
11),C1 (0,,
1 0),E (1, ,0),F (1，，
1)
21
2
AB (0,1,0), AC1 (1,1, 1), AE (0, , 1),
.
6
|n|
6
6
即直线FC到平面AEC1的距离为 .
6
A
C
F
B
D1
A1
x
E
C1 y
B1
数学应用
例4. 如图, △BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形, 平面MCD⊥
平面BCD, AB⊥平面BCD, AB 2 3 . 求点 A 到平面MBC 的距离;
解: A(0, 3 , 2 3 ), B(0, 3 , 0),
C
B
数学应用
设平面A1DB的法向量n ( x, y, z),
n DA1 x z 0
则
,
n DB x y 0
z x
即
y x
取x 1, 得y 1, z 1
n (1, 1, 1),
又 BC (1,0,0)