2022年北京市房山区中考数学总复习：二次函数

2022年北京市房山区中考数学总复习：二次函数
1．若函数y ＝（a ﹣1）x 2﹣4x +2a 的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为（ ）
A ．﹣1
B ．2
C ．﹣1或2
D ．﹣1或2或1
【解答】解：当a ﹣1＝0，即a ＝1，函数为一次函数y ＝﹣4x +2，它与x 轴有一个交点； 当a ﹣1≠0时，根据题意得△＝（﹣4）2﹣4（a ﹣1）×2a ＝0，解得a ＝﹣1或a ＝2， 综上所述，a 的值为﹣1或2或1．
故选：D ．
2．在平面直角坐标系中，函数y ＝（x +3）（x ﹣5）的图象经变换后得到y ＝（x +5）（x ﹣3）的图象，则这个变换可以是（ ）
A ．向左平移2个单位
B ．向右平移2个单位
C ．向上平移2个单位
D ．向下平移2个单位 【解答】解：y ＝（x +5）（x ﹣3）＝（x +1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）． y ＝（x +3）（x ﹣5）＝（x ﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．
所以将抛物线y ＝（x +3）（x ﹣5）向左平移2个单位长度得到抛物线y ＝（x +5）（x ﹣3）， 故选：A ．
3．抛物线y ＝﹣（x ﹣1）2﹣3是由抛物线y ＝﹣x 2经过怎样的平移得到的（ ）
A ．先向右平移1个单位，再向上平移3个单位
B ．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位
C ．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D ．先向左平移1个单位，再向上平移3个单位
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），新抛物线的顶点为（1，﹣3），
∴是抛物线y ＝﹣x 2向右平移1个单位，向下平移3个单位得到，
故选：C ．
4．已知函数y ={x 2−x(x ≥0)−x 2−x(x ＜0)
，当a ≤x ≤b 时，−14≤y ≤14，则b ﹣a 的最大值为（ ） A ．1 B ．√2+1 C ．2√2+12 D ．√22
【解答】解：函数的图象如下图所示，
当x ≥0时，当y =−14时，x =12，当y =14时，x =
1+√22， 故：顶点A 的坐标为（12，−14），点B （1+√22，14）， 同理点C （ −1−√22
，−14） 则b ﹣a 的最大值为
1+√22−−1−√22=1+√2， 故选：B ．
5．已知二次函数y ＝﹣2x 2﹣12x ﹣17，下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜﹣3时，y 随x 的增大而增大．其中说法正确的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【解答】解：∵二次函数y ＝﹣2x 2﹣12x ﹣17＝﹣2（x +3）2+1，
∴该函数图象的开口向下，故①正确；
其图象的对称轴为直线x =−−122×(−2)
=−3，故②正确； 其图象顶点坐标为（﹣3，1），故③错误；
当x ＜﹣3时，y 随x 的增大而增大，故④正确；
故选：B ．
6．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论：
①abc ＜0②b ＜c ③3a +c ＝0④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①对称轴位于x轴的右侧，则a，b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．
∴abc＜0．
故①正确；
②∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线的对称轴为直线x=−b
2a
=1，
∴b＝﹣2a．
∵x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，
∴c＝﹣3a，
∴b﹣c＝﹣2a+3a＝a＜0，即b＜c，
故②正确；
③∵x＝﹣1时，y＝0，∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，
∴c＝﹣3a，
∴3a+c＝0．
故③正确；
④由抛物线的对称性质得到：抛物线与x轴的另一交点坐标是（3，0）．
∴当y＞0时，﹣1＜x＜3
故④正确．
综上所述，正确的结论有4个．
故选：D．
7．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，OA＝
OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+1
2
b+14c＝0；③ac+b+1＝0；
④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b
2a
=1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵b＝﹣2a，
∴a+1
2b＝a﹣a＝0，
∵c＞0，
∴a+1
2b+
1
4c＞0，所以②错误；
∵C（0，c），OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c得ac2﹣bc+c＝0，
∴ac﹣b+1＝0，所以③错误；
∵A（﹣c，0），对称轴为直线x＝1，
∴B（2+c，0），
∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以④正确；
故选：B．
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0；②7a+c＜0；③a+b≤m（am+b）（m为任意实数）④若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣1的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤x1＜x2＜4．其中正确结论的个数有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
−b2a＞0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴−b
2a
=1，
∴b＝﹣2a，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，∴4a+4a+c＝0，
∴8a+c＝0，
∴7a+c＝﹣a，
∵a＞0，
∴﹣a＜0，
∴7a+c＜0，故②正确；
③由图象可知，当x＝1时，函数有最小值，
∴a+b+c≤am2+bm+c（m为任意实数），
∴a+b≤m（am+b），故③正确；
④∵A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：x1+x2＝1×2＝2，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，故④正确；
⑤∵图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1．抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），
∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）
若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣1，
即方程a（x+2）（x﹣4）＝1的两根为x1，x2，
则x1、x2为抛物线与直线y＝1的两个交点的横坐标，
∵x1＜x2，
∴x1＜﹣2＜4＜x2，故⑤错误；
故选：C．
9．若满足1＜x≤2的任意实数x，都能使不等式x2﹣x﹣m＞2
x成立，则实数m的取值范围
是（）
A．m≥﹣1B．m≥﹣2C．m≤﹣2D．m≤﹣1【解答】解：∵1＜x≤2，
∴1＜2
x
≤2，
∵不等式x2﹣x﹣m＞2
x对1＜x≤2的任意实数x都成立，
令x＝1，x2﹣x﹣m≥2，
∴m≤﹣2，
故选：C．
10．已知二次函数y＝（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1与x轴有交点，则k的取值范围是（）
A．k＞4
3且k≠2B．k≥
4
3且k≠2C．k＞
4
3D．k≥
3
4且k≠2
【解答】解：根据题意得k﹣2≠0且△＝（2k+1）2﹣4（k﹣2）2≥0，
解得k≥3
4且k≠2．
故选：D．。