数学_2014年上海市高考数学模拟试卷(9)_(含答案)

2014年上海市高考数学模拟试卷（9）
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1. 设集合A ={y|y =2x +1, x ∈R}，B ={y|y =−x 2, x ∈R}，则集合A ∩B =________．
2. 函数y ＝sinxcosx 的最小正周期是________．
3. 设函数f(x)={x 2+1(x ≥0)
2x(x <0)
，那么f −1(10)=________．
4. 直线y =−√3x +1的方向向量与x 轴的正方向上的单位向量i →
的夹角是________． 5. 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则该球的表面积是________． 6. 已知一个关于x ，y 的二元线性方程组的增广矩阵是[1−12
012]，则x +y =________．
7. 在极坐标系中，若直线l 的方程是ρsin(θ+π
6)=1，点P 的坐标为(2, π)，则点P 到直线l 的距离d =________．
8. 某程序框图，该程序执行后输出的W ＝________．
9. 已知点P 在直线x +2y −1=0上，点Q 在直线x +2y +3=0上，PQ 中点为N(x 0, y 0)，且y 0>x 0+2，则y
0x 0的取值范围为________．
10. （文）已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是________．
11. 数列{a n }满足：a 1=2，a n =1−1
a
n−1
(n =2, 3, 4,…)，若数列{a n }有一个形如a n =
Asin(ωn +φ)+B 的通项公式，其中A 、B 、ω、φ均为实数，且A >0，ω>0，|φ|<π
2，
则a n =________．（只要写出一个通项公式即可） 12. 观察下列等式：观察下列等式： C 51+C 55=23−2，
C 91
+C 95+C 99=27+23，
C 131
+C 135+C 139+C 1313=211−25，
C 171+C 175+C 179+C 1713+C 1717
=215+27， ⋯
由以上等式推测到一个一般结论：
对于n ∈N ∗，C 4n+11
+C 4n+15+C 4n+19+⋯+C 4n+14n+1=________．
13. 若不等式组{x ≥0
y ≥0
y +x ≤s y +2x ≤4
表示的平面区域是一个三角形，则s 的取值范围是________．
14. 已知点A(3, √3)，O 为坐标原点，点P{x, y}满足{√3x −y ≤0x −√3y +2≥0y ≥0
，则Z =|OA →
|˙的最大
值是________．
15. 如果函数f(x)=sin(ωπx −π
4)(ω>0)在区间(−1, 0)上有且仅有一条平行于y 轴的对称轴，则ω的取值范围是________．
16. 已知函数f(x)=−x 2
−2x ，g(x)={x +1
4x ，x >0
x +1,x ≤0
，若方程g[f(x)]−a =0的实数根的个数有3个，则实数a 的值是________．
二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 17. (1−ax)2(1+x)6的展开式中，x 3项的系数为−16，则实数a 的值为（ ） A 2 B 3 C −2 D 2或3
18. 如果复数2−bi
1+2i （其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ）
A √2
B 2
3 C −2
3 D 2
19. 设f(x)和g(x)是定义在同一区间[a, b]上的两个函数，若对任意的x ∈[a, b]，都有|f(x)−g(x)|≤1，则称f(x)和g(x)在[a, b]上是“密切函数”，[a, b]称为“密切区间”，设f(x)=x 2−3x +4与g(x)=2x −3在[a, b]上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（ ）
A [1, 4]
B [2, 3]
C [3, 4]
D [2, 4] 20. 下列四个命题中正确的命题序号是（ ）
①向量a →
，b →
共线的充分必要条件是存在唯一实数λ，使a →
=λb →
成立． ②函数y =f(x −1)与y =f(1−x)的图象关于直线x =1对称．
③ysinθ−cosθ=2y(θ∈[0, π])成立的充分必要条件是|2y|≤√1+y 2．
④已知U为全集，则x∉A∩B的充分条件是x∈(∁U A)∩(∁U B)．
A ②④
B ①②
C ①③
D ③④
三．解答题（本大题满分76分）．解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
21. A、B是直线y=0与函数f(x)=2cos2ωx
2+cos(ωx+π
3
)−1(ω>0)图象的两个相邻交
点，且|AB|=π
2
．
(1)求ω的值；
(2)在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(A)=−3
2
，c=3，△ABC的面积为3√3，求a的值．
22. 如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点．
（1）证明：EF // 平面PCD；
（2）若PA=AB，求EF与平面PAC所成角的大小．
23. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC．M、N分别是AC和BB1的中点．
（1）求二面角B1−A1C−C1的大小．
（2）证明：在AB上存在一个点Q，使得平面QMN⊥平面A1B1C，并求出BQ的长度．24. （文）现有编号分别为1，2，3的三个不同的基本题和一道附加题，甲同学从这三个基本题中一次随机抽取两道题，每题做对做错及每题被抽到的概率是相等的．
（1）用符号(x, y)表示事件“抽到的两题基本题的编号分别为x、y，且x<y”共有多少个基本事件？请列举出来．
（2）求甲同学所抽取的两道基本题的编号之和小于4的概率．
（3）甲同学在做完两道基本题之后，又做一道附加题，做对基本题每题加5分，做对附加题加10分，做错都得0分，求甲同学得分不低于15分的概率．
25. 质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4，将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上．
(1)求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积不能被4整除的概率；
(2)设ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求ξ的分布列及期望Eξ．
26. 如图，S(1, 1)是抛物线为y2=2px(p>0)上的一点，弦SC，SD分别交x轴于A，B两点，且SA=SB．
(I)求证：直线CD的斜率为定值；
(II)延长DC交x轴于点E，若|EC|=1
3
|DE|，求cos2∠CSD的值．
27. 已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的a，b∈R，都满足f(ab)=
af(b)+bf(a)．
（1）求f(0)、f(1)的值；
（2）判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
（3）（文科）若f(2)=2，u n=f(2n)(n∈N∗)，求证：u n+1>u n(n∈N∗)．
（3）（理科）若f(2)=2，u n=f(2−n)
n
(n∈N∗)，求数列u n的前n项和S n．
2014年上海市高考数学模拟试卷（9）答案
1. (−∞, 0]
2. π
3. 3
4. 120∘或60∘
5. 8π
6. 6
7. 2
8. 22
9. −1
2<y0
x0
<−1
5
10. 2π
3
11. √3sin(2π
3n−π
3
)+1
2
12. 24n−1+(−1)n22n−1
13. 0<s≤2或s≥4
14. √3
15. 1
4<ω≤5
4
16. 5
4
17. D
18. C
19. B
20. A
21. 解：(1)f(x)=1+cosωx+1
2cosωx−√3
2
sinωx−1
=−√3sin(ωx−π
3
)．
由函数的图象及|AB|=π
2，得到函数的周期T=2π
ω
=2×π
2
，解得ω=2．
(2)∵ f(A)=−√3sin(2A−π
3)=−3
2
，
∴ sin(2A−π
3)=√3
2
．
又∵ △ABC是锐角三角形，−π
3<2A−π
3
<2π
3
，
∴ 2A−π
3=π
3
，即A=π
3
．
由S△ABC=1
2bcsinA=3b
2
×√3
2
=3√3，得b=4，
由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccosA=42+32−2×4×3×1
2
=13，
即a=√13．
22. （1）证明：如图，连接BD，则E是BD的中点．又F是PB的中点，
所以EF // PD．
因为EF不在平面PCD内，
所以EF // 平面PCD．
（2）解：连接PE．
因为ABCD是正方形，
所以BD⊥AC．
又PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BD．
因此BD⊥平面PAC．
故∠EPD是PD与平面PAC所成的角．
因为EF // PD，
所以EF与平面PAC所成的角的大小等于∠EPD．
因为PA=AB=AD，∠PAD=∠BAD=90∘，
所以Rt△PAD≅Rt△BAD．
因此PD=BD．
在Rt △PED 中， sin∠EPD =
ED PD
=1
2
，
∠EPD =30∘．
所以EF 与平面PAC 所成角的大小是30∘．
23.
解：如图建立空间直角坐标系…（1）由题意可得：A 1(2, 0, 2)，
B 1(0, 0, 2)，C(0, 2, 0)，
C 1(0, 2, 2)
所以A 1C →
=(−2,2,−2)，A 1B 1→
=(−2,0,0)，CC 1→
=(0,0,2)
设平面A 1CB 1的法向量为n →
=(x 1,y 1,z 1)，平面A 1CC 1的法向量为m →
=(x 2,y 2,z 2) 则有{A 1B 1→
⋅n →
=0˙⇒{
−2x 1+2y 1−2z 1=0−2x 1=0
⇒n →
=(0,1,1)
同理：{CC 1→
⋅m →
=0˙⇒{−2x 2+2y 2−2z 2=0
−2z 2=0
⇒m →=(1,1,0)
设二面角B 1−A 1C −C 1为θ，由图形知此二面角是个锐角 所以cosθ=|cos <n →
，m →
>|=||n →||m →
|˙|=1
2 ∴ 二面角B 1−A 1C −C 1的大小为60∘．… （2）设Q(t, 0, 0)…
∵ M(1, 1, 0)，N(0, 0, 1)
∴ NQ →
=(t,0,−1)，NM →=(1,1,−1)， 设平面QMN 的法向量为u →
=(x,y,z)
即有：{NM →
⋅u →
=0˙⇒{tx −z =0
x +y −z =0
⇒u →=(1,t −1,t)…
由（1）可知平面A 1CB 1的法向量为n →
=(0,1,1) ∵ 平面QMN ⊥平面A 1B 1C
∴ u →
⋅n →
=0，即2t −1=0，解得：t =1
2，
所以在AB 上存在一个点Q ，使得平面QMN ⊥平面A 1B 1C ，并且BQ =1
2．… 24. 解：（1）共有3个等可能性的基本事件，
列举如下：(1, 2)、(1, 3)、(2, 3)． (2)(II)由题意知本题是一个古典概型，
记事件“甲同学所抽取的两题的编号之和小于8但不小于4”为事件A 试验发生包含的事件数是10，
满足条件的事件由（1）可知事件共含有2个基本事件， 列举如下：(1, 2)，(1, 3)． ∴ P(A)=2
3．
（3）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件由列举法共有8个等可能性的基本事件， 满足条件的有3个基本事件符合得分不低于15分， ∴ 概率P(B)=3
8．
25. 解：(1)不能被4整除的有两种情形： ①4个数均为奇数，概率为P 1=(1
2)4=
116
；
②4个数中有3个奇数，另一个为2，
概率为P 2=C 43
(1
2)3⋅1
4=1
8.
这两种情况是互斥的， 故所求的概率为P =1
16+1
8=3
16.
(2)ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数， 由题意知ξ的可能取值是0，1，2，3，4，
根据符合二项分布，得到P(ξ=k)=C 4k
(1
2)4(k =0, 1, 2, 3, 4)，
ξ的分布列为
∵ ξ服从二项分布B(4,1
2)，
∴ Eξ=4×1
2
=2．
26. 解：(1)将点(1, 1)代入y 2=2px ，得2p =1 ∴ 抛物线方程为y 2=x
设直线SA 的方程为y −1=k(x −1)，C(x 1, y 1) 与抛物线方程y 2=x 联立得：ky 2−y +1−k =0 ∴ y 1+1=1
k ∴ y 1=1
k −1
C((1−k)2k 2，1k
−1)
由题意有SA =SB ，∴ 直线SB 的斜率为−k
∴ D(
(1+k)2k 2
，−1
k −1)
∴ K CD =
1k −1+1k
+1(1−k)2k 2−(1+k)2
k
2=−1
2；
(2)设E(t, 0) ∵ |EC|=1
3|DE|， ∴ EC →
=13ED → ∴ (
(1−k)2k 2−t ，1
k
−1)=13
(
(1+k)2
k 2
−t ，1
k
−1)
1k −1=13(−1
k −1) ∴ k =2
∴ 直线SA 的方程为y =2x −1 ∴ A(1
2, 0)
同理B(3
2, 0)
∴ cos∠CSD =cos∠ASB =
SA 2+SB 2−AB 2
2SB⋅SA
=3
5
．
∴ cos2∠CSD =2cos 2∠ASB −1=−7
25．
27. 解：（1）令a =b =1，则f(1)=f(1)+f(1)⇒f(1)=0；
令a =0，b =−1，则f(0)=0⋅f(−1)−1⋅f(0)⇒2f(0)=0⇒f(0)=0； （2）令a =b =−1，则f(1)=−f(−1)−f(−1)=0⇒f(−1)=0， 令a =−1，则f(−b)=−f(b)+bf(−1)=−f(b)⇒f(x)为奇函数； （3）（文科）u n+1=f(2n+1)=f(2⋅2n )=2f(2n )+2n f(2)=2u n +2n+1 ⇒u n+12n+1−u n 2n =1，且u 1=f(2)=2⇒u n 2n =2
2
+(n −1)⋅1⇒u n =n ⋅2n ⇒
u n+1u n
=
(n+1)⋅2n+1
n⋅2n
=
(n+1)2n
>1⇒u n+1>u n ；
（4）（理科）令t n =f(2−n )=f[(1
2)n ]，
则t n+1=f[12(1
2
)n ]=1
2
f[(1
2
)n ]+(1
2
)n f(1
2
)=1
2
t n −(1
2
)n+1
⇒2n+1t n+1−2n t n =−1⇒2n t n =2(−1
2)+(n −1)(−1)=−n
⇒t n =−n
2n ⇒u n =−1
2n ⇒S n =−12[1−(12)n ]
1−12
=−1+1
2n ．。