河东区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

河东区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽 车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘 坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ ）种. A ．24 B ．18 C ．48 D ．36
【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力．
2． 已知直线x+y+a=0与圆x 2+y 2=1交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且，那么实数
a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形．则该几何体表面积等于（ ）
A ．12+
B ．12+23π
C ．12+24π
D ．12+π
4． 若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(]
[),4064,-∞+∞ B ．[40,64] C ．(],40-∞ D ．[)64,+∞
5． 如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（ ）
A．B．C．+D．++1
6．设函数的集合，平面上点的集合
，则在同一直角坐标系中，P中函数的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是
A4
B6
C8
D10
7．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF的面积为（）
A．B．C．D．2
8．在复平面内，复数Z=+i2015对应的点位于（）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
9．已知全集I={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么∁I（A∩B）等于（）A．{3，4} B．{1，2，5，6} C．{1，2，3，4，5，6} D．∅
10．直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（）
A． B． C．24 D．48
12．=（）
A．2 B．4 C．πD．2π
二、填空题
13．如图所示，在三棱锥C﹣ABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是．
14．已知α为钝角，sin（+α）=，则sin（﹣α）=．
15．当a＞0，a≠1时，函数f（x）=log a（x﹣1）+1的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣y+n=0上，则4m+2n 的最小值是．
16．给出下列命题：
①把函数y=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=sin（2x﹣）；
②若α，β是第一象限角且α＜β，则cosα＞cosβ；
③x=﹣是函数y=cos（2x+π）的一条对称轴；
④函数y=4sin（2x+）与函数y=4cos（2x﹣）相同；
⑤y=2sin（2x﹣）在是增函数；
则正确命题的序号．
17．（本小题满分12分）点M（2pt，2pt2）（t为常数，且t≠0）是拋物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，过M作倾斜角互补的两直线l1与l2与C的另外交点分别为P、Q.
（1）求证：直线PQ的斜率为－2t；
（2）记拋物线的准线与y轴的交点为T，若拋物线在M处的切线过点T，求t的值．
18．若的展开式中含有常数项，则n的最小值等于．
三、解答题
19．已知函数f（x）=aln（x+1）+x2﹣x，其中a为非零实数．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若y=f（x）有两个极值点α，β，且α＜β，求证：＜．（参考数据：ln2≈0.693）
20．某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇，并立即投入使用，预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，设使用x年后游艇的盈利为y万元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）此游艇使用多少年，可使年平均盈利额最大？
21．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足2bcosC=2a﹣c．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，b=2求a，c的值．
22．已知二次函数f（x）=x2+bx+c，其中常数b，c∈R．
（Ⅰ）若任意的x∈[﹣1，1]，f（x）≥0，f（2+x）≤0，试求实数c的取值范围；
（Ⅱ）若对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，试求实数b的取值范围．
23．已知等差数列{a n}，满足a3=7，a5+a7=26．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；
（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．
24．永泰青云山特产经营店销售某种品牌蜜饯，蜜饯每盒进价为8元，预计这种蜜饯以每盒20元的价格销售时该店一天可销售20盒，经过市场调研发现每盒蜜饯的销售价格在每盒20元的基础上每减少一元则增加销售4盒，每增加一元则减少销售1盒，现设每盒蜜饯的销售价格为x元．
（1）写出该特产店一天内销售这种蜜饯所获得的利润y（元）与每盒蜜饯的销售价格x的函数关系式；（2）当每盒蜜饯销售价格x为多少时，该特产店一天内利润y（元）最大，并求出这个最大值．
河东区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车，则有121
21223=C C C 种. 孪生姐妹不乘坐甲车，则有12121213=C C C 种. 共有24种. 选A.
2． 【答案】A
【解析】解：设AB 的中点为C ，则 因为
，
所以|OC|≥|AC|，
因为|OC|=，|AC|2=1﹣|OC|2
，
所以2（
）2
≥1，
所以a ≤﹣1或a ≥1，
因为
＜1，所以﹣
＜a ＜
，
所以实数a 的取值范围是，
故选：A ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
3． 【答案】C
【解析】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱， 其表面积为
S=[×（2+8）×4﹣2×4]+[×π•（42﹣12）+×（4π×﹣π×）+×8π]
=12+24π． 故选：C ．
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．
4． 【答案】A 【解析】
试题分析：根据()2
48f x x kx =--可知，函数图象为开口向上的抛物线，对称轴为8
k
x =
，所以若函数()f x
在区间[]5,8上为单调函数，则应满足：
58k ≤或88
k
≥，所以40k ≤或64k ≥。

故选A 。

考点：二次函数的图象及性质（单调性）。

5． 【答案】D
【解析】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，
其中侧面PAC ⊥面ABC ，△PAC 是边长为2的正三角形，△ABC 是边AC=2， 边AC 上的高OB=1，PO=
为底面上的高．
于是此几何体的表面积S=S
△PAC +S △ABC +2S △PAB =××2+×2×1+2××
×
=
+1+
．
故选：D
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
6． 【答案】B
【解析】本题考查了对数的计算、列举思想
a ＝－时，不符；a ＝0时，y ＝log 2x 过点(，－1)，(1,0)，此时
b ＝0，b ＝1符合； a ＝时，y ＝log 2(x ＋)过点(0，－1)，(，0)，此时b ＝0，b ＝1符合；
a ＝1时，y ＝log 2(x ＋1)过点(－，－1)，(0，0)，(1，1)，此时
b ＝－1，b ＝1符合；共6个 7． 【答案】B
【解析】解：抛物线y 2
=4x 的准线l ：x=﹣1．
∵|AF|=3， ∴点A 到准线l ：x=﹣1的距离为3
∴1+x A =3 ∴x A =2，
∴y A =±2
，
∴△AOF 的面积为=
．
故选：B ．
【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定A的坐标是解题的关键．
8．【答案】A
【解析】解：复数Z=+i2015=﹣i=﹣i=﹣．
复数对应点的坐标（），在第四象限．
故选：A．
【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，基本知识的考查．
9．【答案】B
【解析】解：∵A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，
∴A∩B={3，4}，
∵全集I={1，2，3，4，5，6}，
∴∁I（A∩B）={1，2，5，6}，
故选B．
【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
10．【答案】B
【解析】解：∵直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”，
∴命题P是真命题，∴命题P的逆否命题是真命题；
￢P：“若直线m不垂直于α，则m不垂直于l”，
∵￢P是假命题，∴命题p的逆命题和否命题都是假命题．
故选：B．
11．【答案】C
【解析】解：F1（﹣5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，
∵3|PF1|=4|PF2|，∴设|PF2|=x，则，
由双曲线的性质知，解得x=6．
∴|PF1|=8，|PF2|=6，
∴∠F1PF2=90°，
∴△PF1F2的面积=．
故选C．
【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．
12．【答案】A
【解析】解：∵（﹣cosx﹣sinx）′=sinx﹣cosx，
∴==2．
故选A．
二、填空题
13．【答案】30°．
【解析】解：取AD的中点G，连接EG，GF则EG DC=2，GF AB=1，
故∠GEF即为EF与CD所成的角．
又∵FE⊥AB∴FE⊥GF∴在Rt△EFG中EG=2，GF=1故∠GEF=30°．
故答案为：30°
【点评】此题的关键是作出AD的中点然后利用题中的条件在特殊三角形中求解，如果一味的想利用余弦定理求解就出力不讨好了．
14．【答案】﹣．
【解析】解：∵sin（+α）=，
∴cos（﹣α）=cos[﹣（+α）]
=sin（+α）=，
∵α为钝角，即＜α＜π，
∴＜﹣，
∴sin（﹣α）＜0，
∴sin（﹣α）=﹣
=﹣
=﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查运用诱导公式求三角函数值，注意不同角之间的关系，正确选择公式，运用平方关系时，必须注意角的范围，以确定函数值的符号．
15．【答案】2．
【解析】解：整理函数解析式得f（x）﹣1=log a（x﹣1），故可知函数f（x）的图象恒过（2，1）即A（2，1），故2m+n=1．
∴4m
+2n≥2=2=2．
当且仅当4m=2n，即2m=n，
即n=，m=时取等号．
∴4m
+2n的最小值为2．
故答案为：2
16．【答案】
【解析】解：对于①，把函数y=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得
到函数y=sin（2x﹣），故①正确．
对于②，当α，β是第一象限角且α＜β，如α=30°，β=390°，则此时有cosα=cosβ=，故②错误．
对于③，当x=﹣时，2x+π=π，函数y=cos（2x+π）=﹣1，为函数的最小值，故x=﹣是函
数y=cos（2x+π）的一条对称轴，故③正确．
对于④，函数y=4sin（2x+）=4cos[﹣（2x+）]=4cos（﹣2）=4cos（2x﹣），
故函数y=4sin（2x+）与函数y=4cos（2x﹣）相同，故④正确．
对于⑤，在上，2x﹣∈，函数y=2sin（2x﹣）在上没有单调性，故⑤错误，
故答案为：①③④．
17．【答案】
【解析】解：（1）证明：l 1的斜率显然存在，设为k ，其方程为y －2pt 2＝k （x －2pt ）．① 将①与拋物线x 2＝2py 联立得， x 2－2pkx ＋4p 2t （k －t ）＝0，
解得x 1＝2pt ，x 2＝2p （k －t ），将x 2＝2p （k －t ）代入x 2＝2py 得y 2＝2p （k －t ）2，∴P 点的坐标为（2p （k －t ），2p （k －t ）2）．
由于l 1与l 2的倾斜角互补，∴点Q 的坐标为（2p （－k －t ），2p （－k －t ）2）， ∴k PQ ＝
2p （－k －t ）2－2p （k －t ）22p （－k －t ）－2p （k －t ）
＝－2t ，
即直线PQ 的斜率为－2t .
（2）由y ＝x 22p 得y ′＝x
p
，
∴拋物线C 在M （2pt ，2pt 2）处的切线斜率为k ＝2pt
p ＝2t .
其切线方程为y －2pt 2＝2t （x －2pt ）， 又C 的准线与y 轴的交点T 的坐标为（0， －p
2）． ∴－p
2
－2pt 2＝2t （－2pt ）．
解得t ＝±12，即t 的值为±1
2.
18．【答案】5
【解析】解：由题意的展开式的项为T r+1=C n r （x 6）n ﹣r
（
）r
=C n r
=C n r
令
=0，得n=
，当r=4时，n 取到最小值5
故答案为：5．
【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n 的表达式，推测出它的值．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）
．
当a ﹣1≥0时，即a ≥1时，f'（x ）≥0，f （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增；
当0＜a＜1时，由f'（x）=0得，，
故f（x）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当a＜0时，由f'（x）=0得，，
f（x）在上单调递减，在上单调递增．
证明：（Ⅱ）由（I）知，0＜a＜1，且，
所以α+β=0，αβ=a﹣1．
．
由0＜a＜1得，0＜β＜1．
构造函数．
，
设h（x）=2（x2+1）ln（x+1）﹣2x+x2，x∈（0，1），
则，
因为0＜x＜1，
所以，h'（x）＞0，
故h（x）在（0，1）上单调递增，
所以h（x）＞h（0）=0，即g'（x）＞0，
所以g（x）在（0，1）上单调递增，
所以，
故．
20．【答案】
【解析】解：（1）（x∈N*） (6)
（2）盈利额为…
当且仅当即x=7时，上式取到等号 (11)
答：使用游艇平均7年的盈利额最大． (12)
【点评】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）已知等式2bcosC=2a﹣c，利用正弦定理化简得：
2sinBcosC=2sinA﹣sinC=2sin（B+C）﹣sinC=2sinBcosC+2cosBsinC﹣sinC，
整理得：2cosBsinC﹣sinC=0，
∵sinC≠0，
∴cosB=，
则B=60°；
（Ⅱ）∵△ABC的面积为=acsinB=ac，解得：ac=4，①
又∵b=2，由余弦定理可得：22=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=（a+c）2﹣12，
∴解得：a+c=4，②
∴联立①②解得：a=c=2．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为x∈[﹣1，1]，则2+x∈[1，3]，
由已知，有对任意的x∈[﹣1，1]，f（x）≥0恒成立，
任意的x∈[1，3]，f（x）≤0恒成立，
故f（1）=0，即1为函数函数f（x）的一个零点．
由韦达定理，可得函数f（x）的另一个零点，
又由任意的x∈[1，3]，f（x）≤0恒成立，
∴[1，3]⊆[1，c]，
即c≥3
（Ⅱ）函数f（x）=x2+bx+c对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤4恒成立，即f（x）max﹣f（x）min≤4，
记f（x）max﹣f（x）min=M，则M≤4．
当||＞1，即|b|＞2时，M=|f（1）﹣f（﹣1）|=|2b|＞4，与M≤4矛盾；
当||≤1，即|b|≤2时，M=max{f（1），f（﹣1）}﹣f（）=
﹣f（）=（1+）2≤4，
解得：|b|≤2，
即﹣2≤b≤2，
综上，b的取值范围为﹣2≤b≤2．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设{a n}的首项为a1，公差为d，
∵a5+a7=26
∴a6=13，，
∴a n=a3+（n﹣3）d=2n+1；
（Ⅱ）由（1）可知，
∴．
24．【答案】
【解析】解：（1）当0＜x≤20时，y=[20+4（20﹣x）]（x﹣8）=﹣4x2+132x﹣800，
当20＜x＜40时，y=[20﹣（x﹣20）]（x﹣8）=﹣x2+48x﹣320，
∴
（2）①当，
∴当x=16.5时，y取得最大值为289，
②当20＜x＜40时，y=﹣（x﹣24）2+256，
∴当x=24时，y取得最大值256，
综上所述，当蜜饯价格是16.5元时，该特产店一天的利润最大，最大值为289元．。