正余弦定理导学案

【学习目标和重点、难点】
1. 掌握正弦定理的内容；
2. 掌握正弦定理的证明方法；
3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题. 【学习内容
和学习过程】 一、新课导入
试验：固定.：ABC 的边CB 及.B ，使边AC 绕着顶点C 转动.
思考：乙C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系?
显然，边 AB 的长度随着其对角.C 的大小的增大而 ___________________________________________________ .能否用一个等式把这种关系精确地表示出 来？
、新课导学
探究1:在初中，我们已学过如何解直角三角形， 下面就首先来探讨直角三角形中， 角
与边的等式关系•如
探究2:那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立?
新知：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 __________ 的比相等，即 _________________________________ 试试:
(1) 在AABC 中，一定成立的等式是(
).
A . asinA =bsin
B B . acosA=bcosB
C . asi nB=bsi nA
D . acosB =bcosA
(2) 已知△ ABC 中，a = 4, b = 8,Z A = 30°,则/ B 等于 ____________________ .
［理解定理］
(1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数
a = ksin A , _____________ , c = ksinC ；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,
正弦定理
图，在 Rt . ：ABC 中，设 BC=a , AC=b , AB = c ,/ C=90° 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 二sin A , sin B ，又 sinC =1 c 从而在直角三角形 ABC 中, a b sin A sin B c sin C
(2) 」 b
—等价于 sin A sin B sin
C
(3) 正弦定理的基本作用为：
c b sin C sin B ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如
bsin A
a 二 sin B
a c
-- •
sin A sin C
b = ____________
XI
a
如sin A sin B；sin C - ________________
b
(4) 一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形.
三、课堂巩固
例1.在.ABC中，已知A =45 , B =60 , a = 42cm，解三角形.
变式：在.\ABC中，已知B =45 , C =60 , a=12cm，解三角形.
【课后作业】
基础部分
1.在ABC中，若竺△ =b，则ABC 是（）.
sin B a
A •等腰三角形C •直角三角形
B .等腰三角形或直角三角形D .等边三角形
2.已知△ ABC中，
A . 1 ：1 ：4A :
B :
C = 1 ：1 ：4,则a : b : c等于（）.
B . 1 : 1 : 2 C. 1 : 1 : ,3 D . 2 : 2: 3
3.在厶ABC中，若si nA si nB，贝U A与B的大小关系为（）
A. A B C. A >B
B. A ::: B
D. A、B的大小关系不能确定
4.已知厶ABC中，sinA:sin B:sinC =1:3:3，则a: b: c= .
5.已知- ABC中， A =60 , a ，则a b c
= .
sin A +sin B +sin C 6.已知△ ABC 中，AB = 6,Z A= 30°,/ B = 120，解此三角形.
【学习目标和重点、难点】
1. 掌握余弦定理的两种表示形式；
2. 证明余弦定理的向量方法；
3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
【学习内容和学习过程】
复习1:在一个三角形中，各 _____________ 和它所对角的 ______ 的 相等，即 ___________
复习2 :①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角.如何解三角形？ 思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢?
、新课导学
同理可得：
2 2 2
a b
c 2 b (co s ,A
2 2 2
c a b 2abcosC .
新知：余弦定理：三角形中任何一边的 _等于其他两边的 ___________ 的和减去这两边与它们的夹角
的 ___________ 的积的两倍.
思考：这个式子中有几个量？
从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论：
b 2 +
c 2 -a 2
cos A
, __________________________ , ________________________________ .
2bc
［理解定理］
(1) 若/ C=90，则 cosC =，这时 c 2 a 2 b 2
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例. (2) 余弦定理及其推论的基本作用为：
① 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ② 已知三角形的三条边就可以求出其它角. 试试:
(ABC 中，a =3.3 , c =2 , Z B =150，则 b= __________________________ . (2)^ ABC 中，a =2 , b =$2 , c =93 V U 4A = __________________________ . 三、课堂巩固
例 1.在厶 ABC 中，已知 a =：：；3 , b =门2 , B =45，求/A, /C 和 c .
余弦定理
问题：在AABC 中，AB 、
b
4
--b ・b 二
BC 、CA 的长分别为c 、
C
变式：在△ ABC 中，若 AB = .5 , AC = 5,且 cosC = 2，贝U BC = 10
例2.在厶ABC 中，已知三边长a =3 , b=4 , c 二37 ，求三角形的最大内角.
变式：在-ABC 中，若a^b 2 c 2 bc ，求/ A . 【课后作业】 基础部分 1. 已知a = 3 34
A.
2 B. 34 2. 已知三角形的三边长分别为 A . 60」° B . 75」° / B = 150°,则边b 的长为（ *71
3 C. D. . 13 2 3、5、乙则最大角为（ C . 120 ° D . 150、 ）. 3. 已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x ,则x 的取值范围是（ ）.
A .
5 ：：:x ：:、13 B . -.13 v x v 5 C . 2v x v . 5 D . 5 v x v 5
4. 在厶 ABC 中，|AB|= 3, | AC |= 2, AB 与 AC 的夹角为 60°,则 | AB — AC |= ______________
5. 在厶ABC 中，已知三边 a 、b 、c 满足b 2 a 2 -c 2 =ab ，则/ C 等于 ____________________ . 1.在厶ABC 中，已知a = 7, b = 8, cosC = 13
，求最大角的余弦值. 14 提高部分
2.在厶 ABC 中，AB = 5, BC = 7, AC = 8，求 AB BC 的值.
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