高中高三数学质量检测试题三理含解析 试题

普通高中2021届高三质量检测〔三〕
数学〔理〕试题
一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕
1.的值是〔〕
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由诱导公式可得，应选B.
A={-1，0，1，2}，B={x|〔x+1〕〔x-2〕＜0}，那么A∩B=〔〕
A. B. C. 0， D. 1，【答案】A
【解析】
【分析】
化简集合B，进而求交集即可.
【详解】由B中不等式解得：-1＜x＜2，即B={x|-1＜x＜2}，
∵A={-1，0，1，2}，∴A∩B={0，1}，
应选：A．
【点睛】此题考察交集的概念与运算，考察一元二次不等式的解法，属于根底题.
的实部与虚部相等，那么实数a的值是〔〕
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简得，所以，解之即得a的值.
【详解】由题得，
所以.
应选：A
【点睛】此题主要考察复数的除法运算和实部虚部的概念，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理计算才能.
4.执行如下图的程序框图，假如输入，那么输出p为〔〕
A. 6
B. 24
C. 120
D. 720 【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图运行程序，按判断框循环运行，不符合时输出即可.
【详解】按照程序框图运行程序，输入，，，
一次运行：，此时，循环得
二次运行：，此时，循环得
三次运行：，此时，循环得
四次运行：，此时，输出
此题正确选项：
【点睛】此题考察程序框图中的循环构造，属于根底题.
{a n}的前n项和为S n，且a2=4，a4=2，那么S6=〔〕
A. 0
B. 10
C. 15
D. 30 【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，根据，求出a1，d，代入等差数列的前n项和公式即可．【详解】数列{a n}是等差数列，a2=4=a1+d，a4=2=a1+3d，
所以a1=5，d=-1，那么S6=6a1+=15．
应选：C．
【点睛】此题考察等差数列的通项公式，前n项和公式，属于根底题．
6.、是两个单位向量，且夹角为，那么＝〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平面向量的数量积的运算法那么求解即可．
【详解】解：、是两个单位向量，且夹角为，
那么〔2〕•〔﹣2〕
＝﹣4+5．
应选：A．
【点睛】此题主要考察平面向量，向量的数量积的应用，是根本知识的考察．
8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，那么在取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为〔〕
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，设“所取2件产品中有1件不是一等品〞为事件A，“一件是一等品，另一件不是一等品〞为事件B，分别求得P〔AB〕和P〔A〕的值，再利用条件概率的计算公式运算求得结果．
【详解】解：根据题意，设“所取2件产品中有1件不是一等品〞为事件A，“一件上一等品，另一件不是一等品〞为事件B，
那么P〔A〕＝11，
P〔AB〕，
那么P〔B|A〕；
应选：．
【点睛】此题主要考察条件概率的求法，解答此题的关键是条件概率公式的灵敏运用，属于根底题．
8.m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，以下条件中，一定能推出的是〔〕
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据垂直于同一直线的两平面平行可知正确.
【详解】当时，假设，可得
又，可知
此题正确选项：
【点睛】此题考察面面平行的断定，属于根底题.
9.“科技引领，布局将来〞科技研发是企业开展的驱动力量.2021年至2021年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比．这12年间的研发投入〔单位：十亿元〕用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示．
根据折线图和条形图，以下结论错误的选项是〔〕
A. 2021﹣2021 年研发投入占营收比增量相比 2021﹣2021 年增量大
B. 该企业连续 12 年研发投入逐年增加
C. 2021﹣2021 年研发投入增值最大
D. 该企业连续 12 年研发投入占营收比逐年增加
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图形给出的信息，分析判断即可．
【详解】从研发投入占营收比〔图中的红色折线〕07～09年有所下降并非连续12年研发投入占营收比逐年增加，故D错．
应选：D．
【点睛】此题考察命题真假的判断，考察识图才能，考察分析问题解决问题的才能，属根底
题．
f〔x〕=的局部图象大致是〔〕
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意结合函数的奇偶性和函数在特殊点的函数值确定函数图像即可. 【详解】∵函数f〔x〕的定义域为〔-∞，-〕∪〔-，〕∪〔，+∞〕f〔-x〕===f〔x〕，
∴f〔x〕为偶函数，
∴f〔x〕的图象关于y轴对称，故排除A，
令f〔x〕=0，即=0，解得x=0，
∴函数f〔x〕只有一个零点，故排除D，
当x=1时，f〔1〕=＜0，故排除C，
综上所述，只有B符合，
此题选择B选项.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、挑选选项．
11.O为坐标原点，抛物线C：y2=8x上一点A到焦点F的间隔为6，假设点P为抛物线C准线上的动点，那么|OP|+|AP|的最小值为〔〕
A. 4
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件，结合抛物线性质求出A点坐标，求出坐标原点关于准线的对称点的坐标点B，由|PO|＝|PB，|知|PA|+|PO|的最小值为|AB|，由此能求出结果．
【详解】抛物线y2=8x的准线方程为x=-2，∵|AF|=6，
∴A到准线的间隔为6，即A点的横坐标为4，∵点A在抛物线上，不妨设为第一象限，∴A的坐标A〔4，4〕∵坐标原点关于准线的对称点的坐标为B〔-4，0〕，
∴|PO|=|PB|，∴|PA|+|PO|的最小值：|AB|=．
应选：C．
【点睛】此题主要考察抛物线的相关知识．两条线段之和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．
，假设，且，那么的取值范围是〔〕A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
经过讨论可知，利用可得，从而将化为；通过求解函数的值域求得的取值范围.
【详解】设
假设，那么
，不成立；
假设，那么
，不成立
假设，那么
设，那么
当时，，那么单调递减
当时，，那么单调递增
此题正确选项：
【点睛】此题考察利用导数求解函数的最值问题，此题解题的关键是可以通过讨论得到
的范围，从而构造出新函数，再利用导数求得结果.
二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕
的最小正周期为，那么＝_____，假设，那么＝
____．
【答案】 (1). 2 (2).
【解析】
【分析】
由题意利用正弦函数的周期性求得ω，再利用同角三角函数的根本关系，二倍角公式，求得sin2α的值．
【详解】由周期公式，可得ω=2，由，得，
所以，平方得，∴
故答案为：2；．
【点睛】此题主要考察正弦函数的周期性，同角三角函数的根本关系，二倍角公式的应用，
属于根底题．
，以为焦点，且过两点的双曲线的离心率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用双曲线定义及简单几何性质，明确a与c，即可得到双曲线的离心率.
【详解】
由题意易知：即，
，
由双曲线定义可得，
∴双曲线的离心率为
故答案为：
【点睛】此题主要考察了双曲线的HY方程与简单的几何性质，解答的关键是合理利用双曲线的定义解题．
15.我国古代数学名著?九章算术•商功?中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为
阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．〞假设称为“阳马〞的某几何体的三视图如下图，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描绘：
①四个侧面都是直角三角形；
②最长的侧棱长为；
③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；
④外接球的外表积为24π．
其中正确的描绘为____．
【答案】①②④
【解析】
【分析】
由三视图复原几何体，可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，然后逐一分析四个命题得答案．
【详解】由三视图复原原几何体如图，
可知该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，PA=2，
底面ABCD为矩形，AB=2，BC=4，
那么四个侧面是直角三角形，故①正确；
最长棱为PC，长度为2，故②正确；
由可得，PB=2，PC=2，PD=2，那么四个侧面均不全等，故③错误；
把四棱锥补形为长方体，那么其外接球半径为PC=，其外表积为4π×=24π，故④正确．
∴其中正确的命题是①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】此题考察由三视图复原原几何体，考察多面体外接球外表积与体积的求法，是中档题．
中，那么_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由递推关系可得，易知为常数列，求出，利用等差数列前n项和公式即可得到结果.
【详解】∵，，
∴，
即
记，显然为常数列，且，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】此题考察数列求和问题，涉及利用递推关系求通项，等差数列求和公式，考察计算才能，属于中档题.
三、解答题〔本大题一一共7小题，一共分〕
中，，．
〔1〕假设，求的面积；
〔2〕假设点D在BC边上且，AD＝BD，求BC的长．
【答案】〔1〕；〔2〕
【解析】
【分析】
〔1〕通过正弦定理求出BC，然后求解三角形的面积；
〔2〕设出DC，然后通过余弦定理转化求解即可．
【详解】〔1〕由正弦定理得：，所以sinC=1，，
所以，所以．
〔2〕设DC=x，那么BD=2x，由余弦定理可得
解得：所以．
【点睛】此题考察解三角形的相关知识．正弦定理以及余弦定理的应用，考察转化才能与计
算才能．
18.某工厂有两个车间消费同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比拟两个车间工人的消费效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人消费完成一件产品的时间是〔单位：min〕分别进展统计，得到以下统计图表〔按照[55，65〕，[65，75〕，[75，85〕，[85，95]分组〕．
第一车间样本频数分布表
〔Ⅰ〕分别估计两个车间工人中，消费一件产品时间是小于75min的人数；
〔Ⅱ〕分别估计两车间工人消费时间是的平均值，并推测哪个车间工人的消费效率更高？〔同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表〕
〔Ⅲ〕从第一车间被统计的消费时间是小于75min的工人中，随机抽取3人，记抽取的消费时间是小于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
【答案】〔I〕60,300;〔II〕第二车间工人消费效率更高.〔III〕见解析.
【解析】
【分析】
〔I〕估计第一车间消费时间是小于75min的工人人数为〔人〕.估计第二车间消费时间是小于75min的工人人数为〔人〕；〔II〕分别计算两车间工人消费时间是的平均值，再推测哪个车间工人的消费效率更高；〔III〕由题得X 可取值为0，1，2，再分别求出概率，列出分布列，求出数学期望.
【详解】〔I〕估计第一车间消费时间是小于75min的工人人数为〔人〕.
估计第二车间消费时间是小于75min的工人人数为〔人〕. 〔II〕第一车间消费时间是平均值约为〔min〕. 第二车间消费时间是平均值约为
〔min〕.
∴第二车间工人消费效率更高.
〔III〕由题意得，第一车间被统计的消费时间是小于75min的工人有6人，其中消费时间是小于65min的有2人，从中抽取3人，随机变量X服从超几何分布，
X可取值为0，1，2，
，
,
.
X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以数学期望.
【点睛】此题主要考察频数和平均数的计算，考察随机变量的分布列,考察数学期望的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.
19.如下图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置〔P∉平面ABCE〕．
〔Ⅰ〕证明：平面POB⊥平面ABCE；
〔Ⅱ〕假设直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A-PE-C的余弦值．
【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕证明OP⊥AE，OB⊥AE，得到AE⊥平面POB，即可证明平面POB⊥平面ABCE；
〔Ⅱ〕以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面平面PCE的一个法向量，平面PAE的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A﹣P﹣EC的余弦值．
【详解】〔Ⅰ〕证明：在等腰梯形ABCD中，易知△DAE为等边三角形，所以OD⊥AE，OB⊥AE, 即在△PAE中，OP⊥AE，
∴AE⊥平面POB，AE⊂平面ABCE，所以平面POB⊥平面ABCE；
〔Ⅱ〕在平面POB内作PQ⊥OB=Q，∴PQ⊥平面ABCE．
∴直线PB与平面ABCE夹角为，又∵OP=OB，∴OP⊥OB，O、Q两点重合，
即OP⊥平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，，，
∴，，
设平面PCE的一个法向量为，
那么，即，设，
那么y=-1，z=1，∴，
由题意得平面PAE的一个法向量，
设二面角A-P-EC为α，．
即二面角A-P-EC为α的余弦值为．
【点睛】本小题以四棱锥为载体，考察立体几何的根底知识．此题考察学生的空间想象才能、推理论证才能和运算求解才能．
20.如下图，椭圆离心率为，、是椭圆C的短轴端点，且到焦点的间隔为，点M在椭圆C上运动，且点M不与、重合，点N满足
．
〔1〕求椭圆C的方程；
〔2〕求四边形面积的最大值．
【答案】；.
【解析】
【分析】
根据离心率和的长度求得，从而得到椭圆方程；四边形的面积可以表示为：，通过假设直线分别求得和，从而将问题转化为函数最值求解问题，从而得到结果.根据不同的假设直线的方式，会构成不同的函数，得到不同的解法. 【详解】
又且，解得：，
因此椭圆的方程为
法一：设，
，
直线……①；直线……②
由①②解得：
又
四边形的面积
当时，的最大值为
法二：设直线，那么直线……①
直线与椭圆的交点的坐标为
那么直线的斜率为
直线……②
由①②解得：
四边形的面积：
当且仅当时，获得最大值
【点睛】此题考察椭圆HY方程的求解、椭圆中的四边形面积最值的求解.解决椭圆中最值或者取值范围问题时，可以根据条件将所求面积构造成关于某一变量的函数关系是解题的关键，得到函数关系后，采用求解函数值域的方式得到最值或者取值范围.
21.a∈R，函数．
〔1〕讨论函数f〔x〕的单调性；
〔2〕假设x=2是f〔x〕的极值点，且曲线y=f〔x〕在两点P〔x1，f〔x1〕〕，Q〔x2，f〔x2〕〕〔x1＜x2＜6〕处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为b1、b2，求b1-b2的取值范围．
【答案】〔1〕见解析；〔2〕
【解析】
【分析】
〔1〕根据导数和函数的关系即可求出函数的单调区间，
〔2〕由x＝2是f〔x〕的极值点，以及导数的几何意义，可求出相对应的切线方程，根据切线平行可得，同理，．求出b1﹣b2，再构造函数，
利用导数，即可求出b1﹣b2的取值范围
【详解】〔1〕，
①当a≤0时，f'〔x〕＜0在x∈〔0，+∞〕上恒成立，∴f〔x〕在〔0，+∞〕上单调递减；
②当a＞0时，时f'〔x〕＜0，时，f'〔x〕＞0，
即f〔x〕在上单调递减，在单调递增；
〔2〕∵x=2是f〔x〕的极值点，∴由〔1〕可知，
∴a=1，设在P〔x1，f〔x1〕〕处的切线方程为，在Q〔x2，f〔x2〕〕处的切线方程为
∴假设这两条切线互相平行，那么，∴
∵，且0＜x1＜x2＜6，∴，∴，
∴x1∈〔3，4〕令x=0，那么，
同理，．
【解法一】∵，∴
设，
∴
∴g〔x〕在区间上单调递减，∴
即b1-b2的取值范围是．
【解法二】∵，
∴
令，其中x∈〔3，4〕
∴
∴函数g〔x〕在区间〔3，4〕上单调递增，∴
∴b1-b2的取值范围是．
【解法三】∵x1•x2=2〔x1+x2〕，
∴
设，那么
∵，∴g'〔x〕＞0，
∴函数g〔x〕在区间上单调递增，
∴，∴b1-b2的取值范围是．
【点睛】本小题主要考察函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考察学生解决问题的综合才能，属于难题
中，直线的倾斜角为，且经过点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点N为射线OM上的点，满足，记点N的轨迹为曲线C．
〔Ⅰ〕求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
〔Ⅱ〕设直线与曲线C交于P，Q两点，求的值．
【答案】〔Ⅰ〕(t为参数)，；〔Ⅱ〕3.
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕直接由写出直线l1的参数方程，设N〔ρ，θ〕，M〔ρ1，θ1〕，〔ρ＞0，ρ1＞0〕，由题意可得，即ρ＝4cosθ，然后化为普通方程；
〔Ⅱ〕将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得到关于t的一元二次方程，再由参数t 的几何意义可得|AP|•|AQ|的值．
【详解】〔Ⅰ〕直线l1的参数方程为，〔t为参数〕
即〔t为参数〕．设N〔ρ，θ〕，M〔ρ1，θ1〕，〔ρ＞0，ρ1＞0〕，
那么，即，即ρ=4cosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0〔x≠0〕.
〔Ⅱ〕将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，
得，
即，t1，t2为方程的两个根，
∴t1t2=-3，∴|AP|•|AQ|=|t1t2|=|-3|=3．
【点睛】此题考察简单曲线的极坐标方程，考察直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．
．
〔Ⅰ〕求不等式的解集；
〔Ⅱ〕设函数的最小值为m，当a，b，，且时，求
的最大值．
【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕
【解析】
【分析】
〔Ⅰ〕通过和两个点进展分段，分别在三段范围内进展讨论，得到解析式后建立不等关系，求解得到范围；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知：；法一：设
，利用，可得，从而推得
，求得最大值；
法二：构造出，利用可得，从而求得最大值；
法三：构造出柯西不等式的形式，从而得到，从而求得最大值.
【详解】〔Ⅰ〕①当时，
②当时，
③当时，
综上：的解集为
〔Ⅱ〕法一：由〔Ⅰ〕可知
即
又且
那么，设
同理：，
，即
当且仅当时获得最大值
法二：由〔Ⅰ〕可知
即
又且
当且仅当时获得最大值
法三：由〔Ⅰ〕可知
即
由柯西不等式可知：
即：
当且仅当即时，获得最大值
【点睛】此题考察绝对值不等式的解法、利用根本不等式、柯西不等式求最值问题.解决不等式局部最值问题的关键是配凑出符合根本不等式或者柯西不等式的形式，从而求得结果.
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放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

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东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

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乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。