数字控制系统建模与分析教学课件PPT

Gh0 (s) G(s)
Gd (z)
4.3.1 解析法
已知连续对象传递函数为G ( s ),
零阶保持器传递函数为Gh0 (s)

1
e Ts s
，
由于保持器与对象之间无采样开关，所以可视为串联 在一起的一个连续对象。求其Z传递函数：
Gd (z) Z[Gh0 (s)G(s)] Z[ 1 e Ts G(s)] s (1 z 1 )Z[ G(s) ] s
j0
j0
m0
所以可采用阶跃响应试验法为离散系统建模。
y(t)
h(4) h(3) h(2)
h(1)
0 T 2T 3T 4T
t
辨识步骤： 1. 在带零保的对象前施加1*(t)，得到阶跃响应y(t)； 2. 取y(t)在采样点上的值y(k)； 3. 由离散卷积和定理求h(k)=y(k)-y(k-1) ； 4. 得到带零保的对象的Z传递函数：
1 D(z)G1 (z)G2G3 (z)
G3 (s)
r(t)
y(t )
G1 (s)
Y (z) RG1 (z)
G2 ( s)
1 G1G2 (z)
例4-4-1 求系统H(z)及单位阶跃响应，T=1s, K=1。
r(t)
ZOH
K s(s 1)
y(t )
y(t T ) e Ts
解 ： （1） 求Gd (z)

F (z, ) Z[F (s)e Ts ] f (kT T )z k k 0
2 迟 后 改 进Z变 换
f (t) f (t ), 0 T .令 lT , m 1 l 则0 m, l 1

F (z, m) z 1 Z[F (s)e mTs ] f (kT lT )z k k 0
z 1
Z[e a(t 0.6T ) ]

e z a(t 0.6T ) k k 0
0 e e 0.4aT aT z 1 e 0.4aT
z e aT
4.2.2 求系统采样点之间的响应
f(t)
t 问题：已知G(z,Δ)，若给出输入信号u(t)，求系统输出 y(t)采样点之间的响应。
G3 (s)
r(t)
D(z)
G1 (s) G2 (s)
G3 (s)
y(t )
H (z) D(z)G1G2 (z) 1 D(z)G1G2G3 (z)
y(t )
H(z)
D(z)G1G2 (z)
1 D(z)G1G2 (z)G3 (z)
r(t)
y(t )
D(z)
G1 (s)
G2 (s)
H (z) D(z)G1 (z)G2 (z)

1 pz1
再化简。
4.4 数字控制系统闭环Z传递函数
4.4.1 串并联连续环节的Z传递函数
1 若干连续环节串联，之间无采样开关，则
G(z) G1G2G3 (z) Z[G1 (s)G2 (s)G3 (s)] G1 (z)G2 (z)G3 (z) G1 G2 G3(z)
G1(s) G2(s)
下的输出。
例4 3 1
已知连续对象G(s)
s
a
a
,
求Gd
(z)。
Gd
(
z)

(1

z
1
)Z[
G(s) s
]

(1

z
1
)Z[
s(
a s
a)
]
(1 z 1 )Z[ 1 1 ] (1 z 1 )[ 1
1
]
s sa
1 z 1 1 e aT z 1

z 1 f (kT m T)z k k 0
先 迟 后 一 步 ， 再 超 前 不到 一 步 。
例4-2-1
Z[（1 t 0.4T )]

1(t 0.4T )z k k0
1 z 1 z 2 z
z 1
Z[e a(t 0.4T ) ]
G3(s)
2 串联环节之间有开关，则G(z) G1 (z)G2 (z)G3 (z)。
G1(z)
G2(z)
G3(z)
G1(s)
G2(s)
G3(s)
G1(z)
3 并联环节
G1(s)
G(z) Z[G1 (s) G2 (s)] G1 (z) G2 (z)
G2(z)
G2(s)
4.4.2 闭环Z传递函数（单位反馈）

e z a(t 0.4T ) k k0
e 0.4aT e 0.4aT e aT z 1 e 0.4aT z
z e aT
Z[（1 t 0.4T )]

1(t 0.4T )z k k0
0 z 1 z 2 1
Gd
(z)

(1

z
1
)Z[
G(s) s
]

(1

z
1
Байду номын сангаас
)Z[
s
2
K (s
1)
]
K (1 z 1 )Z[ 1 1 1 ]
s2 s s 1
K (1 z 1 )[ Tz z z ] (z 1)2 z 1 z e T
K 1
(1 z 1 )[
第4章 数字控制系统建模与分析
4.1 引言
本章主要阐述如下几个问题：
建立数控系统的离散化数学模型，即带零阶保持器的连续 对象离散化；
改进的Z变换及其应用，建立具有迟后特性的连续对象的 离散化模型及求取系统采样点之间的响应；
系统性能分析，包括时、频、Z域几方面的动、静态特性 分析；
扰动对系统的影响。
Gd (z) h(0) h(1)z 1 h(2)z 2 ；
5. 将上式无穷级数表示的形式转变为分子分母多项式表示， 这一过程为近似过程
认 为 当k i之 后 （ 一 般 在i 3 ~ 4） ， 将[h(k ),h(k 1),]
近 似 看 作 一 指 数 衰 减 序列 （ 等 比 序 列 ）
s
sa
(1 z 1 )[ 1 e (T )a ] z 1 z e aT
z[1 e a(T ) ] [e a(T ) e aT ] z(z e aT )
几点说明：
1 若对象迟后 nT ,0 T，则带零保的对象

1
1
；
D(z)Gd (z)
4
求 开 环Z传 递 函 数B( z ) E(z)

D(z)Gd (z)
（单位负反馈）；
5
闭环Z传递函数H (z)

Y (z) R(z)

D(z)Gd (z) 1 D(z)Gd (z)

1
H e (z)。
几种闭环系统的Z传递函数：
r(t)
D(z)
G1 (s) G2 (s)
Gd
(z,
)

(1

z
1
)Z[
G(s) s
e
Ts
]
(1 z 1 )Z[( 1 1 1 )e Ts ] s2 s s 1
(1 z 1 )[( Tz
Tz
z
e T z
)

]
z 1 (z 1)2 z 1 z e T
T (z 1)e T
求 上 式 之 反 变 换 ， 即 可得 采 样 点 之 间 的 脉 冲 响应 ： h(kT T ) Z 1[G(z, )] e (kT T )。
4.3 带零阶保持器的连续对象的 Z传递函数
为了用Z传函描述离散系统，需要首先将系统的连续部分 离散化。本节研究带零阶保持器的连续对象的Z传递函数，分 解析法和试验法两种。
T 1

z 1
z e 1
则可求出Y (z, )，再利用长除法求Y (k)。
4.5 连续状态方程的离散化
——此过程实际上就是将表征连续对象内部状态的一阶微分方 程组转换为一阶差分方程组的过程。
1 Gd (z) 1 0.368z 0.264 (z 1)(z 0.368)

0.368z 0.264
0.368z 0.264
(z 1)(z 0.368) (0.368z 0.264) z 2 z 0.632
（3） 求 单 位 阶 跃 响 应 采 样点 之 输 出 Y (z) H (z)R(z) 0.368z 0.264 z
的Z传递函数为：Gd (z) z nGd (z)。 2 通过示例可知，一阶和二阶环节的Gd (z)，分子的阶次 比分母的阶次都低一阶，所以有h(0) 0，则y(0) 0，说 明 带 零 保 的 对 象 至 少 是迟 后 一 步 才 有 响 应 。
3 Gd (z)与采样周期T有关，同一G(s)，T不同，Gd (z) 也不同。 4 注意：分子分母阶次差指的是z的阶次差，而不是z 1 的阶次差。
4.3.2 试验法—阶跃响应法
试验法，即依据对象的输入输出数据建模，这是系统辨 识问题。由3.3 脉冲响应与卷积和 可知:
例3 3 1 已 知 离 散 系 统 脉 冲 响 应h(k),在
u
*
(t)

1*
(t)

1, k 0, k

0 0
作用下系统的输出为
k
k
k
y(k) u(k) * h(k) u( j)h(k j) h(k j) h(m)
Gd(z)
r(t)
数字 控制器
保持器
连续 y(t) 对象
D(z)
Gh0(s)
G(s)
数字控制系统离散化
4.2 改进的Z变换（广义Z变换或扩展Z变换）
4.2.1 定义——在信号f(t)超前或滞后不是T 的整数倍情
况下的Z变换。与普通Z变换并无本质区别。
1 超 前 改 进Z变 换
f (t) f (t ), 0 T。 令 T , 则0 1
步骤： 1 求Y(z,Δ)=G (z,Δ)U(z)； 2 求y(kT+ΔT)=Z-1[Y(z, Δ)]，当ΔT从0→T时，可求得系统输 出在采样点之间任意时刻的值。
例4 2 2 已 知 系 统G(s) 1 ， 当T 1秒 时 ， s1
求 采 样 点 之 间 的 脉 冲 响应 。
解 ： 求G(z, ) Z[G(s)e Ts ] Z[ 1 e Ts ] Z[e (tT ) ] s1 e T z z e T
h(k 1) ph(k ),0 p 1常 数
h(k 2) ph(k 1) p2h(k ),

则Gd
(z)

h(1)z
1


h(k

1)z (k 1)

h(k )z k 1 pz1
[h(1)z 1 h(k 1)z (k1) ](1 pz1 ) h(k )z k
z
z
z]
T 1
(z 1)2 z 1 z e 1
1 1 z 1 0.368z 0.264
z 1
z e 1 (z 1)(z 0.368)
0.368z 0.264 (2)求H (z) Gd (z) (z 1)(z 0.368)
z 2 z 0.632 z 1 长 除 法 0.368z 1 z 2 1.3994z 3 1.3994z 4
(4)求采样点之间的响应, 采用超前改进Z变换
1 Y (z, ) Gd (z, )E(z) Gd (z, ) 1 Gd (z) R(z)
Gd(z)
r(t) e(t) b(t )
数字 控制器
D(z)
保持器 Gh0(s)
连续 y(t) 对象
G(s)
1 求带零阶保持器的连续对象的Z传递函数Gd (z)；
2 3
求前向通道Z传递函数为Y (z)
求 误 差 的Z传 递 函 数
E(z)

D(z)Gd (z)；
He (z)
E(z) R(z)

R(z) Y (z) R(z)
例 带零保的连续对象在单位阶跃序列u * (t) 1* (t)
作用下的输出。
Y
(
z
)

Gd
(
z
)U
(
z
)

(1

z
1
)Z[
G(s) s
]
1
1 z
1

Z[ G(s) ] s
— 说明带零保的连续对象在单位阶跃序列u * (t) 1* (t)
作用下的输出，等于连续对象在单位阶跃信号 （1 t）作用
1 e aT z e aT
例4 3 2
已知G(s)
a e s (0
sa
T ),求Gd (z)。
Gd
(z)

(1

z
1
)Z[
G(s) s
]
(1 z 1 )Z[ a e s ] s(s a)
(1 z 1 )Z[ 1 e s 1 e s ]