华东交通大学2020-2021学年电子信息工程专业《复变函数》期末试卷及答案

华东交通大学2020-2021学年
复变函数与积分变换期中考试题
电子信息专业 2020 年 11 月
一．填空题（每小题 3 分，共计 15 分）
1的幅角是
； - π
2 3
+ 2k π ,k = 0,±1,±2
2. Ln (-1 + i ) 的主值是
； 1 ln 2 + 3π i
3.
f (z ) =
1 1+ z
2 ，
2 4
f (5) (0) = ；0 4.
以原点为中心，焦点在实轴上，长半轴短半轴分别为 a ，b 的椭圆曲线方程是
（用复数形式表示！！！）； z=acost+ibsint
t ∈[0,2π]
1+i
5.
⎰
z(e^ z )dz 1
= ；ie^(1+i)=ie(cos1+isin1)
二．选择题（每小题 3 分，共计 15 分）
1．解析函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 的导函数为（
）；B
（A ）
f '(z ) = u x + iu y ； （B ） f '(z ) = u x - iu y ；
（C ） f '(z ) = u x
+ iv y ； （D ） f '(z ) = u y + iv x .
2．C 是正向圆周 z = 3 ，如果函数 f (z ) = （
），则⎰C f (z )d z = 0 ；
D
（A ） 3 ； （B ） 3(z - 1) ； （C ） 3(z - 1) ； （D ） 3 .
z - 2 z - 2 (z - 2)2 (z - 2)2
得分
c
3.
若 c 为不经过 1 与-1 的正向曲线，则 ⎰（z z - 1)(z
+ 1)^2 dz 为（）；D
（A ）πi/2；
(B ）-πi/2；
（C ）0；
(D)以上的都可能.
４．下列结论正确的是(
)；B
（A ） 如果函数 f (z ) 在 z 0 点可导，则 f (z ) 在 z 0 点一定解析；
（B ） 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析，则 ⎰
C f (z )dz = 0 ；
（C ） 如果 ⎰
C
f (z )dz = 0 ，则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内一定解析；
（D ） 函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区
域内均为调和函数．
5．函数f (z )在 z 点可导是f (z )在点 z 解析的（）．B
(A) 充分不必要条件 ; (B) 必要不充分条件 ; (C) 充分必要条件 ;
(D) 即不充分也不必要条件 .
三．按要求完成下列各题（共计 40 分）
（1）设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2
) 是解析函数，求a ,b ,c ,d ;
解：因为 f (z ) 解析，由 C-R 条件
∂u = ∂v
∂x ∂y
∂u = - ∂v
∂y ∂x
2x + ay = dx + 2 y ax + 2by = -2cx - dy ,
a = 2, d = 2, ， a = -2c ,2
b = -d ,
c = -1, b = -1,
给出 C-R 条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。

e z （2）．计算 ⎰
C
z (z - 1)
2
d z 其中 C 是正向圆周： z = 2 ；
e z
因为函数 f (z ) = 在复平面内只有两个奇点 (z -1)2
z
z 1= 0,z 2 = 1
，分别以 z 1,z 2 为圆心画互不相交互 得分
e
不包含的小圆 c 1,c 2 且位于 c 内 ⎰C
e z (z - 1)2 z
d z = ⎰C
e z (z - 1)2 z
d z + ⎰C
e z z 2 (z - 1)
2 d z = 2πi (e z )' z =1
+ 2πi
sin π
z
z =0 = 2πi （3） 计算积分⎰ 4 d z ,其中|z|=2；
c z 2 - 1
z （4） 求积分⎰z =1
z p d z ，并证明⎰ cos （sin θ）d θ = p. 0
四、（本题 10 分）设复数 z1，z2，z3 对应等边三角形的三个顶点试求证： z1^2+z2^2+z3^2-z1z2-z2z3-z3z1=0.
1 z e z (z - 1)
2 得分
五．（本题 14 分）用解析函数与调和函数的关系解问题
验证 u(x,y) =
x^3 - 3xy^2 是调和函数，并求以u(x,y ）为实部的解析函数f (z
)，
使之适合f (0) = i .
得分
=
六、（本题 6 分）将一对二元实变函数
u 2x x^2 +
,v
y^2
= y x ^2 + y ^2 化为一个复变函数.
得分。