超声场中空化泡对悬浮粒子微流的影响

超声场中空化泡对悬浮粒子微流的影响
武耀蓉;王成会;莫润阳;陈时
【摘要】An analytical theory has been developed to calculate microstreaming velocity around a suspended sphere caused by oscillating bubbles in an unbounded viscous liquid.It has been demonstrated that the interaction of a bubble and a rigidity sphere can affect the magnitude and direction of acoustic streaming, especially for tangential components around the rigidity sphere.When the θ1(a component of spherical coordinates originates at the center of the rigidity sphere) varies in a period of π, The magnitude of tangential velocity around the suspended particle reaches the maximum at θ1=π/2.The velocity around the rigidity sphere is related to the relative position of medium.The increment of neighboring bubble radius makes acoustic streaming stronger, while the increment of distance between a bubble and a rigidity sphere induce the acoustic while the increment of distance between a bubble and a rigidity sphere induce the acoustic streaming weaker.%对无界黏性液体中刚性粒子和空化泡间的相互作用进行理论分析,得到了悬浮粒子周围的微流分布.数值结果表明:空化泡和刚性粒子间的相互作用可以影响声流速度的大小和方向,尤悬浮粒子周围声流速度的切线分量.当θ1(以悬浮粒子中心为原点建立的球坐标系中的分量)从0到π变化时,悬浮粒子微流切向速度大小在θ1=π/2时趋于0;悬浮粒子周围声流速度的大小和方向与其处在介质中的相对位置密切相关.空化泡半径增大时,悬浮粒子周围微流速度增大,但是当空化泡和悬浮粒子间距离增加时,悬浮粒子周围声流速度变小.
【期刊名称】《陕西师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2017(045)004
【总页数】9页(P50-58)
【关键词】空化泡;刚性粒子;声流;空化
【作者】武耀蓉;王成会;莫润阳;陈时
【作者单位】陕西师范大学物理学与信息技术学院, 陕西省超声学重点实验室, 陕西西安 710119;陕西师范大学物理学与信息技术学院, 陕西省超声学重点实验室, 陕西西安 710119;陕西师范大学物理学与信息技术学院, 陕西省超声学重点实验室, 陕西西安 710119;陕西师范大学物理学与信息技术学院, 陕西省超声学重点实验室, 陕西西安 710119
【正文语种】中文
【中图分类】O426.4
PACS: 43.35.+d
超声空化是指存在于液体中的微气核空化泡在声波作用下振动，当声压达到一定值时发生的生长和崩溃的动力学过程。

空化泡在急剧崩溃时可释放出巨大的能量，并产生具有强大冲击力的微射流。

声波在液体中传播将导致流体体积非周期的运动，形成声流(空化微流)，其与声场中二阶量相关[1]。

稳定的微流通常伴随着在气泡周围产生稳态空化[2]，并且超声场中由振荡气泡产生的声流被认为是声孔效应的产生机制之一[3]。

空化泡和悬浮粒子间的相互作用对于侵蚀研究及药物输运具有重要的意义，空化泡的存在能够增强侵蚀效果。

当气泡膨胀和崩溃时将驱使气泡附近的悬浮粒子运动
[4]。

临近边界状态的性质对气泡动力学有显著的影响。

在空化泡溃灭时，刚性面
附近的空化泡将形成高速的液体射流，导致刚性面附近产生高压区域[5]。

当空化
泡和自由面相互作用时，将形成向下的Bjerknes射流[6]。

对于超声场中的微流运动，国内外学者已经进行了比较系统的理论研究，最早可追溯到1950年，大多数是无界液体内孤立气泡的分析[7-9]。

但是，对于气泡导致的悬浮粒子周围的微流
分布的变化及其空化影响，目前还不明确，具体机制仍在探索中。

Wang等[10-11]研究了超声场中一对气泡间的微流及速度场，发现气泡间的相互作用显著增强
了气泡周围的微流及一对气泡的非线性振动可以显著影响周围液体径向速度的分布。

Li等[12]运用边界积分法研究了气泡和悬浮粒子间的非线性相互作用，还用高速摄像机进行了实验观察，实验结果表明当气泡膨胀时悬浮粒子被排斥，而当气泡崩溃时悬浮粒子被吸引，这与数值模拟的结果一致；同时还研究了无量纲参量
γ(γ=d/Rm，其中d是气泡中心和球表面间的最小距离，Rm是气泡最大平衡半径)和θ(θ=Rs/Rm，其中Rs是悬浮粒子半径)对气泡和悬浮粒子间相互作用的影响。

本文采用Wang等[10-11]的研究方法分析超声场中悬浮粒子和气泡间的相互作用，基于悬浮粒子和空化泡附近一阶流速场得到声流表达式。

在分析过程中，我们假定悬浮粒子和空化泡的平衡半径(Rj,j=1,2)远小于声波波长(λ=2π/k)，且有kRj≪1，
忽略kRj有关的高阶小量。

1.1 一阶流速
为简化分析，我们在考虑悬浮粒子与气泡之间相互作用的过程中将粒子看作刚性球，分析声场中振动气泡对刚性球的微流影响，其模型如图1所示，悬浮粒子和气泡
处在各向同性的均匀液体中，其中心距离为D。

以悬浮粒子和气泡的中心为原点
分别建立球坐标系((rj,θj),j=1,2)。

平面声波沿着极轴的正方向而传播，在悬浮粒子和气泡与液体的接触面上形成与黏性有关的薄边界层。

气泡内部和外部边界层的厚度可以分别表示为和下标i和o分别表示气泡的内部和外部)，其中
βi=,βo=,vi=μi/ρi,vo=μo/ρo,μi和μo是泡内气体和液体中的切向黏度系数，ρi
和ρo分别为气泡内外介质密度，ω是声波圆频率。

在考虑悬浮粒子和气泡与液体的接触面上形成黏性薄边界层的情况下，假定悬浮粒子和气泡周围的液体是无黏性的。

因此，对于无黏性液体有ua=-φa，其中φa是液体中的速度势。

因此，一阶流速矢量u1=ua+ub，其中ua和ub分别是与散射相关和赫姆霍兹方程相关的速度场。

用球函数表达入射波的速度势，即
=φ0(2n+1)injn(krj)Pn(cos θj),
j=1,2。

其中分别代表球坐标系((rj,θj),j=1,2)中刚性球和气泡的速度势，φ0=u0/k,u0是声源的速度振幅，jn(·)是n阶第一类球贝塞尔函数。

声场中与时间相关的项可以简化为eiwt，因此，刚性球和气泡外部的散射波为=(2n+1)(ω)(krj)Pn(cos θj),
其中是n阶第二类球形汉克函数。

因此，气泡内部的速度势可表示为
=(2n+1)(ω)injn(kirj)Pn(cos θj),
其中波数ki=ω/ci(ci为声速)。

因此可以表示为
(2n+1)in[φ0jn(krj)+(ω)(krj)]Pn(cos θj)+ [(2m+1)(ω)]jn(krj)Pn(cos θj)。

其中分别代表球坐标系((rj,θj)(j=1,2))中刚性球和气泡的速度势，当j=1→3-j=2时，有
其中D是刚性球和气泡中心间的距离，为Clebsch-Gordan参数，其定义参见文
献[13]，q=(α+m+n)/2，由于
(mα00|n0)=，
当2q为奇数时，(mα00|n0)=0。

根据刚性球和气泡表面处的边界条件：(1)∂φa/∂r|R1=0和
∂φb/∂r|R2=∂φa/∂r|R2,(2)ρiφb|R2=ρoφa|R2,得到系数和的表达式
其中当kR2≪1和kiR2≪1时，系数简化为
其中χ=,Ω=ω/ωr,ωr=是气泡的圆频率[14]，δ是气泡的衰减系数。

根据声散射理论，当kRj≪1和kiRj≪1时，声散射影响后气泡内外和悬浮粒子外的一阶流速场分布为
其中分别是一阶流速ua的径向和切向分量。

因此，在计入液体黏性对声波传输的影响后[1]，u1的径向分量和切向分量分别为
其中hi=(1+i)βi,ho=(1+i)βo在气泡和悬浮粒子液体分界面rj=Rj处切向速度和剪应力连续，即故有
C1i≈,
C1o≈，
其中
1.2 声流
悬浮粒子外部的流速满足下列方程 [10]
其中
其中
其中
其中
求解方程(4)—(6)，可得悬浮粒子外侧和气泡内外侧介质流速的切向分量。

因此，悬浮粒子外侧微流切向分量可表示为
泡壁内侧气体微流切向分量可表示为
其中
为气泡内部n=0模式的切向微流，
为气泡内部n=1模式的切向微流。

同理，气泡外侧液体微流切向分量可表示为
其中
为气泡外部n=0模式的切向微流，
为气泡外部n=1模式的切向微流。

参数ao1—ao12是rj的函数，其表达式如下: ao1=2+βor1,
ai01=3(1-βir2)(3-βir2)+(3-(βir2)2),
ai02=3χ[3-(βir2)2]-(1-βir2)(3-βir2),
ai11=-10kR1+5kR1βir2-9βir2,
ao01=3(1+βor2)(3+βor2)-[3-(βor2)2],
ao02=3[3-(βor2)2]+(1+βor2)(3+βor2),
积分常数coθ—coθ1可由悬浮粒子和气泡表面出的边界条件确定，即当rj=Rj时，介质切向流速和剪应力连续，即
其中
将(17)、(19)、(20)、(22)、(23)式代入(33)式得到积分常数coθ—coθ1的表达式，即
coθ=[2+βoR1],
ciθ1=
coθ0=
coθ1=
悬浮粒子和气泡内部和外部的径向分量和满足·u2=0,且在rj=Rj时满足对悬浮粒子，
[bo1cos βo(r1-R1)]-2sin βo(r1-R1)-
对气泡，有
其中
为气泡内部n=0模式的径向微流，
为气泡内部n=1模式的径向微流，而且
其中
为气泡外部n=0模式的径向微流，
为气泡外部n=1模式的径向微流。

bo1(R1)—bo11(R2)是bo1(r1)—bo11(r2)在rj=Rj时的值,参数bo1—bo11是rj的函数，其表达式如下
bo1=2+2β0r1,
bi01=6χ[2βir2-(βir2)2]+[-6+4βir2],
bi02=6χ[3-2βir2]+[4βir2-2(βir2)2],
bi11=18+10kR1(1-βir2),
bi12=18(1-βir2)-10kR1,
bo01=6[(βor2)2+2βor2]-[4βor2+6],
bo02=-6[3+2βor2]-[4βor2+2(βor2)2],
基于方程(17)—(23)，(39)—(45)可以计算空化泡影响下悬浮粒子外部的流速。

假定声强为1 000 W/m2，驱动声频率为f=100 kHz，R1=20 μm，除了R2和D 的值，其他参数的值我们可以参考Wu等[1]考虑的例子。

图2展示了在空化泡影响下刚性粒子周围径向和切向的声流速度，其中实线对应于径向声流速度的变化，虚线对应于切向声流速度。

对于刚性粒子外部的流速满足r1/R1=1+2(βoR1)-1。

在一个周期π内悬浮粒子的微流切向速度大小在θ1=π/2时趋于0，而悬浮粒子的微流径向速度在θ1=π/2时达到最大值。

由于悬浮粒子和气泡间的相互作用使
悬浮粒子周围微流速度的切线部分显著增大，与Wang等[10-11]的研究结果相比，我们发现一对气泡间的相互作用强于气泡和悬浮粒子间的相互作用。

从图3可以看出悬浮粒子周围微流流速度的大小和方向与处在介质中的相对位置
密切相关，当r1/R1小于1.2时切向声流速度的大小急剧减小。

因此，悬浮粒子
周围声流速度处于一个有限的范围内。

空化泡半径变化对悬浮粒子周围声流速度的影响如图4所示。

当空化泡半径小于
悬浮粒子半径时，刚性粒子周围声流速度较小，但是，当空化泡半径大于刚性粒子半径时，悬浮粒子周围声流速度会急剧增大，尤其是切向声流速度。

上述现象可能是由于气泡散射截面的增加。

当气泡半径接近共振半径(大约33 μm)时，悬浮粒子周围的声流速度将会达到最大值。

Li等[12]的研究结果表明悬浮粒子半径与气泡平衡半径的比值为θ时，随着θ的变化，气泡对悬浮粒子射流冲击作用的压力不断
变化，当θ=2时，气泡对悬浮粒子的冲击作用达到最大，这表明气泡和悬浮粒子
的尺寸比可以影响悬浮粒子的运动情况，与本文的研究结果一致。

气泡和悬浮粒子之间距离对悬浮粒子周围声流速度的影响如图5所示。

从图中我
们可以看出当气泡和刚性球之间的距离增加时，悬浮粒子周围声流速度将减小，而且切向分量比径向分量减小的快。

随着气泡和悬浮粒子之间距离的增加，悬浮粒子周围声流速度将减小到悬浮粒子单独存在时的值。

Li等[12]的研究结果表明当悬浮粒子和气泡间的间隙距离与气泡平衡半径的比值为γ时，悬浮粒子的速度随着γ
的增加而线性减少，这与本文的研究结果一致。

图6为悬浮粒子外部和气泡内外部的声流速度矢量分布。

从图中我们可以看出在
空化泡的影响下，悬浮粒子周围的微流速度在θ1=0和θ1=π/2时趋于0。

由于
悬浮粒子表面的法向速度连续，从图中可以发现悬浮粒子表面的微流速度为0。

观察气泡声流速度矢量分布图，我们发现气泡微流速度在θ2=0时趋于0。

从悬浮粒子和气泡外部的声流分布，我们发现悬浮粒子和气泡外侧表面附近，微流速度方向
向外。

由于悬浮粒子和气泡周围的切向微流明强于径向微流，当离悬浮粒子和气泡中心越来越远时只观察到切向微流。

本文利用空化泡的微流散射理论对黏性液体中超声波作用下空化泡和刚性粒子周围的微流速度进行了研究，得到了微流速度的表达式，且精确到二阶关系。

利用Matlab软件模拟出不同条件下空化泡对刚性粒子周围微流速度的影响。

研究结果表明空化泡和刚性粒子间的相互作用能增强悬浮粒子周围微流速度，尤其是切向分量。

空化泡的尺寸和空化泡与悬浮粒子间的距离能够影响刚性粒子周围的微流速度。

当空化泡半径接近共振半径(大约33 μm)时，悬浮粒子周围的声流速度将会达到最大值。

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