深圳南开大学附中福田分校初中部九年级数学上册第三单元《旋转》测试卷(有答案解析)

一、选择题
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 2．如图，把ABC 绕点C 顺时针旋转35︒，得到A B C '''，A B ''交AC 于点D ，若105A CB '∠=︒，则ACB '∠度数为（ ）
A ．45︒
B ．30
C ．35︒
D ．70︒
3．如图，正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 旋转，得到正方形CEFG ，在旋转过程中，则线段AE 的最小值为（ ）
A ．32-
B ．2-1
C ．0．5
D ．51- 4．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到A B C ∆''，M 是BC 的中点，P 是A B ''的中点，连接PM ．若2BC =，30A ∠=︒，则线段PM 长的最大值是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
5．如图，在等边ABC 中，点О在AC 上，且3,6AO CO ==，点P 是AB 上一动点，连接,OP 将线段OP 绕点О逆时针旋转60︒得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC
上，则AP的长是（）
A．4B．5C．6D．8
6．下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、直角梯形，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕
A B C，那么点A的对应点'A的坐标是（）．
点C按逆时针方向旋转90°，得到△''
A．（－3，3）B．（3，－3）C．（－2，4）D．（1，4）
8．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是（）
A．不是平行四边形B．不是中心对称图形
C．一定是中心对称图形D．当AC＝BD时，它为矩形
9．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．菱形
10．如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有（）
A ．4种
B ．5种
C ．6种
D ．7种
11．如图，在△ABC 中，AB ＝2.2，BC ＝3.6，∠B ＝60°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转得到△ADE ，若点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为（ ）
A ．1.5
B ．1.4
C ．1.3
D ．1.2 12．已知点A （1，a ）、点B （b ，2）关于原点对称，则a+b 的值为（ ）
A ．3
B ．-3
C ．-1
D ．1 二、填空题
13．如图．面积为8的正方形ABCD 的顶点A 在数轴上，点A 表示实数2-，正方形ABCD 绕点A 旋转时，顶点B 的运动轨迹与数轴的交点表示的数为______________
14．如图，将AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到COD △，若15AOB ∠=︒，则BOC ∠=______度．
15．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 在边CD 上．以点A 为中心，把ADE 顺时针旋转90︒至ABF 的位置，若2DE =，则FC =________．
16．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕顶点C 顺时针旋转得到A B C ''，点M 是BC 的中点，点P 是A B ''的中点，连接PM ．若4BC =，30A ∠=︒，则在旋转一周的过程中线段PM 长度的最大值等于_____．
17．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2cm ，AB ＝3cm ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△FBE ，则点E 与点C 之间的距离是_________cm ．
18．如图，在边长为1的正方形网格中，()1,7A ，()5,5B ，()7,5C ，()5,1D .线段AB 与线段CD 存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为______.
19．如图，在Rt △ABC 中，已知∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm ，以斜边AB 的中点P 为旋转
中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt △A′B′C′，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为______________．
20．如图，O 是正△ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，下列结论正确有______．(请填序号)
①点O 与O '的距离为4；②150AOB ∠=︒；③633AOBO S '=+四边形；
④9634
AOC AOB S S +=+△△．
三、解答题
21．如图，ABC ∆和ECD ∆都是等边三角形，直线AE ，BD 交于点F ．
（1）如图1，当A ，C ，D 三点在同一直线上时，AFB ∠的度数为_____，线段AE 与BD 的数量关系为_____．
（2）如图2，当ECD ∆绕点C 顺时针旋转α()0360α︒≤<︒时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明．
（3）若4AC =，3CD =，当ECD ∆绕点C 顺时针旋转一周时，请直接写出BD 长的取值范围．
22．如图，已知，点E 在正方形ABCD 的BC 边上（不与点B ，C 重合），AC 是对角线，过点E 作AC 的垂线，垂足为G ，连接BG ，DG ．把线段DG 绕着G 点顺时针旋转，使D 点的对应点F 点刚好落在BC 延长线上，根据题意补全图形．
（1）证明：GC GE =；
（2）连接DF ，用等式表示线段BG 与DF 的数量关系，并证明．
23．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，以点A 为中心，把△ABE 逆时针旋转90°，设点E 的对应点为F ．
（1）画出旋转后的三角形和点E 经过的路径；
（2）若正方形ABCD 的边长为2，求线段EF 的长．
24．如图1，在菱形ABCD 和菱形AEFG 中，60DAB GAE ∠=∠=︒，且4AE =，连接DG 和BE ．
（1）求证：DG BE =；
（2）如图2，将菱形AEFG 绕着点A 旋转，当菱形AEFG 旋转到使点C 落在线段AE 上时（AC AE <），求点F 到AB 的距离．
25．如图，在正方形网格中，△ABC 的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）将△ABC 以x 轴为对称轴，画出对称后的△A 1B 1C 1；
（2）将△ABC 绕点C 逆时针旋转90°，画出旋转后的△A 2B 2C 2.
26．在6×6方格中，每个小正方形的边长为1，点A，B在小正方形的格点上，请按下列要求画一个以AB为一边的四边形，且四边形的四个顶点都在格点上．
（1）在图甲中画一个是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在图乙中画一个既是中心对称图形又是轴对称图形．
参考答案
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2．C
解析：C
【分析】
先根据旋转的定义可得35BCB ACA ''∠=∠=︒，再根据角的和差即可得．
【详解】
由旋转的定义得：BCB '∠和ACA '∠均为旋转角，
35BCB ACA ''∴∠=∠=︒，
105A CB '∠=︒，
35ACB BCB A A CB CA '''∠=∠-∠'∴∠-=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了旋转的定义，熟练掌握旋转的概念是解题关键．
3．B
解析：B
【分析】
分析题易可知点E 的运动轨迹是以DC 为半径以C 为圆心的圆，当A ，E ，C 三点共线且E 在正方形ABCD 内部的时候AE 值最小．
【详解】
解：如图所示，连接AC
∵正方形边长为1
∴2
当A ，E ，C 三点共线且E 在正方形ABCD 内部的时候AE 值最小
∴2-1
故选：B
4．B
解析：B
【分析】
连接PC ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出PC ，利用中点求出CM ，再根据三角形两边之和大于第三边即可求得PM 的最大值．
【详解】
解：如图连接PC ．
在Rt △ABC 中，∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，
根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，''90A CB ACB ∠=∠=︒，
∵P 是A B ''的中点，M 是BC 的中点，
∴CM=BM=1，PC=12
A′B′=2 又∵PM≤PC+CM ，即PM≤3，
∴PM 的最大值为3（此时P 、C 、M 共线）．
故选：B ．
【点睛】
本题考查旋转变换、直角三角形30度角的性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．
5．C
解析：C
【分析】
由于将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ，当点D 恰好落在BC 上时，易得：△ODP 是等边三角形，根据旋转的性质可以得到△AOP ≌△CDO ，由此可以求出AP 的长．
【详解】
解：当点D 恰好落在BC 上时，OP=OD ，∠A=∠C=60°，如图．
∵∠POD=60°
∴∠AOP+∠COD=∠COD+∠CDO=120°，
∴∠AOP=∠CDO ，
∴△AOP ≌△CDO ，
∴AP=CO=6．
故选：C ．
【点睛】
此题要把旋转的性质和等边三角形的性质结合求解．属探索性问题，难度较大，近年来，探索性问题倍受中考命题者青睐，因为它所强化的数学素养，对学生的后续学习意义深远．
6．C
解析：C
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的定义解答即可．
【详解】
解：线段，既是中心对称图形，又是轴对称图形；
等边三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形；
平行四边形，是中心对称图形，不是轴对称图形；
矩形，既是中心对称图形，又是轴对称图形；
菱形，既是中心对称图形，又是轴对称图形；
正方形，既是中心对称图形，又是轴对称图形；
直角梯形，既不是中心对称图形，又不是轴对称图形；
所以，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有：线段，矩形，菱形，正方形共4个．故选C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7．A
解析：A
【解析】
解：△A′B′C的位置如图．
A′（-3，3）．故选A．
8．C
解析：C
【分析】
先连接AC，BD，根据EF=HG=1
2
AC，EH=FG=
1
2
BD，可得四边形EFGH是平行四边形，当
AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形；当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，据此进行判断即可．
【详解】
连接AC，BD，如图：
∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=HG=1
2AC，EH=FG=
1
2
BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，故选项A错误；
∴四边形EFGH一定是中心对称图形，故选项B错误；
当AC⊥BD时，∠EFG=90°，此时四边形EFGH是矩形，
当AC=BD时，EF=FG=GH=HE，此时四边形EFGH是菱形，故选项D错误；
∴四边形EFGH可能是轴对称图形，
∴四边形EFGH是平行四边形，四边形EFGH一定是中心对称图形．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：平行四边形是中心对称图形．解决问题的关键是掌握三角形中位线定理．
9．D
解析：D
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
10．B
解析：B
【解析】
分析：根据轴对称的定义及题意要求画出所有图案后即可得出答案：
得到的不同图案有：
共5个．故选B．
11．B
解析：B
【分析】
运用旋转变换的性质得到AD＝AB，进而得到△ABD为等边三角形，求出BD即可解决问题．
【详解】
解：如图，由题意得：AD＝AB，且∠B＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∴CD＝3.6﹣2.2＝1.4．
故选：B．
【点睛】
该题主要考查了旋转变换的性质、等边三角形的判定等几何知识点及其应用问题；牢固掌握旋转变换的性质是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出a、b的值即可.
【详解】
∵点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，
∴a=﹣2，b=﹣1，
∴a+b=﹣3.
故选B.
【点睛】
关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.
二、填空题
13．或﹣【分析】先由正方形的面积公式求出AB=再根据点A表示实数即可求出顶点B的运动轨迹与数轴的交点表示的数【详解】解：∵正方形ABCD的面积为8∴AB=∵点A表示实数∴顶点B的运动轨迹与数轴的交点表示
或﹣
【分析】
先由正方形的面积公式求出AB=A表示实数，即可求出顶点B的运动轨迹与数轴的交点表示的数．
【详解】
解：∵正方形ABCD的面积为8，
∴AB=
∵点A表示实数
，
∴顶点B的运动轨迹与数轴的交点表示的数为
+或﹣﹣
【点睛】
本题考查了正方形的面积、实数和数轴、旋转的性质、算术平方根、二次根式的加减运算，理解实数与数轴的关系是解答的关键．
14．60【分析】根据旋转的性质得到∠BOD=45°且∠COD=∠AOB再用∠BOD加∠COD即可【详解】∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到
△COD∴∠BOD=45°∠COD=∠AOB又∵∠A
解析：60
【分析】
根据旋转的性质得到∠BOD=45°，且∠COD=∠AOB，再用∠BOD加∠COD即可．
【详解】
∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后，得到△COD，
∴∠BOD=45°，∠COD=∠AOB，
又∵∠AOB=15°，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=45°+15°=60°，
故答案为60°．
【点睛】
本题考查了旋转的定义和性质，解题的关键是找准旋转角以及对应的边．
15．8【分析】先根据旋转的性质和正方形的性质证明CBF三点在一条直线上又知BF＝DE＝2可得FC的长【详解】∵四边形ABCD是正方形∴∠ABC＝∠D＝90°AD＝AB由旋转得：∠ABF＝∠D＝90°BF
解析：8
【分析】
先根据旋转的性质和正方形的性质证明C、B、F三点在一条直线上，又知BF＝DE＝2，可得FC的长．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝90°，AD＝AB，
由旋转得：∠ABF ＝∠D ＝90°，BF ＝DE ＝2，
∴∠ABF ＋∠ABC ＝180°，
∴C 、B 、F 三点在一条直线上，
∴CF ＝BC ＋BF ＝6＋2＝8，
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质、旋转变换的性质，难度适中．由旋转的性质得出BF ＝DE 是解答本题的关键．
16．6【分析】连接PC 由直角三角形的性质及旋转的性质可得根据可进行求解
【详解】解：连接PC 如图所示：在Rt △ABC 中∵∠A=30°BC=4∴AB=8根据旋转的性质可得：∴∴PC=4∵CM=BM=2又∵即
解析：6
【分析】
连接PC ，由直角三角形的性质及旋转的性质可得8A B AB ''==，4PC =，根据PM PC CM ≤+，可进行求解．
【详解】
解：连接PC ，如图所示：
在Rt △ABC 中，∵∠A=30°，BC=4，
∴AB=8，
根据旋转的性质可得：8A B AB ''==，
∴A P B P PC ''==，
∴PC=4，
∵CM=BM=2，
又∵PM PC CM ≤+，即6PM ≤，
∴PM 的最大值为6（此时P 、C 、M 共线）；
故答案为6．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质及直角三角形的斜边中线定理，熟练掌握旋转的性质及直角三角形的斜边中线定理是解题的关键．
17．【解析】试题 5
【解析】
试题
连接EC ，即线段EC 的长是点E 与点C 之间的距离，
在Rt △ACB 中，由勾股定理得：BC=2222325AB AC -=-=（cm ）， ∵将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°得到△FBE ，
∴BC=BE ，∠CBE=60°，
∴△BEC 是等边三角形，
∴EC=BE=BC=5cm. 18．或【分析】连接两对对应点分别作出连线的垂直平分线其交点即为所求
【详解】解：如图所示旋转中心P 的坐标为（33）或（66）故答案为（33）或（66）【点睛】本题主要考查了利用旋转变换进行作图根据旋转的性 解析：()3,3或()6,6
【分析】
连接两对对应点，分别作出连线的垂直平分线，其交点即为所求．
【详解】
解：如图所示，旋转中心P 的坐标为（3，3）或（6，6）．
故答案为（3，3）或（6，6）．
【点睛】
本题主要考查了利用旋转变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
19．【分析】由点P 是AB 的中点∠A=60°AC=3cm 可得BP 的长再由逆时针旋转90°根据旋转的性质和30°直角三角形的三边比值就可求出BMMP 的长在Rt △B′MN 和Rt △BNG 中根据30°直角三角形的 解析：94
【分析】
由点P 是AB 的中点，∠A=60°，AC=3cm 可得BP 的长，再由逆时针旋转90°，根据旋转的性质和30°直角三角形的三边比值，就可求出BM ，MP 的长，在Rt △B ′MN 和Rt △BNG 中根据30°直角三角形的三边比值同样可以求出相应线段长，然后利用S 阴影部分=BNG BPM S S ∆∆-进行计算即可．
【详解】
如图，
∵∠C =90°，∠A =60°，AC =6，∴AB =2AC =6，∠B =30°，
∵点P 为AB 的中点，∴BP =3，
∵△ABC 绕点P 按逆时针方向旋转90︒得到Rt △A′B′C′，
∴B 'P =BP =3，
在Rt △BPM 中，∠B =30°，∠BPM =90°，∴BM =2PM ，∴PM 3BM 3 ∴B ′M =B ′P -PM 3
在Rt △B ′MN 中，∠B ′=30°，∴MN =12B ′M =3322
-，∴BN =BM +MN =33322+ 在Rt △BNG 中，BG =2NG ，BG 2=NG 2+BN 2，∴NG =3322
+， ∴S 阴影=S △BNG -S △BMP =13333193332222224⎛⎫⎛⨯+⨯+-= ⎪ ⎪⎝⎝⎭
， 故答案为：
94
． 【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和三角形面积公式．
20．①②④【分析】连接根据旋转的性质即可得到为等边三角形进而可求证①②③的正确性然后将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°至连接OD 易得△ACD 也为等边三角形由此可求解【详解】解：连接如图所示：∵线段BO 以点 解析：①②④
【分析】
连接OO '，根据旋转的性质即可得到OBO '△为等边三角形，进而可求证①②③的正确性，然后将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°至ACD △，连接OD ，易得△ACD 也为等边三角形，由此可求解．
【详解】
解：连接OO '，如图所示：
∵线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，
∴,60BO OB O BO ''=∠=︒，O A OC '=，
∴OBO '△为等边三角形，
∵3OA =，4OB =，5OC =，
∴4BO OB '==，5O A OC '==，故①正确；
∴22225O O AO O A ''+==，
∴90AOO '∠=︒，
∴150AOB AOO O OB ''∠=∠+∠=︒，故②正确；
过点B 作BE ⊥OO '于点E ，如图所示，
∴2OE EO '==， ∴2223BE OB EO =-=，
∴2134324
BOO S OO BE O O '''=⋅==， ∴134436432
O OB AOO AOBO S S
S '''=+=⨯⨯+=+四边形，故③错误； 将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°至ACD △，连接OD ，如图所示：
同理易得△AOD 为等边三角形，OD=OA=3，OB=DC=4，∠ODC=90°，
∴21=34362AOC AOB AOD ODC AOCD S S S S
S +=+=⨯⨯=四边形△△④正确； ∴正确的有①②④；
故答案为①②④．
【点睛】 本题主要考查勾股定理逆定理、等边三角形的性质与判定及旋转的性质，熟练掌握勾股定理逆定理、等边三角形的性质与判定及旋转的性质是解题的关键．
三、解答题
21．（1）60︒，AE BD =；（2）（1）中结论仍成立；证明见解析；（3）
17BD ≤≤．
【分析】
（1）利用等边三角形的性质证明△ACE ≌△BCD ，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明△ACE ≌△BCD ，得出AE BD =，23∠∠=，再根据三角形的内角和得出60AFB ∠=︒
（3）当B 、C 、D 三点共线时得出BD 的最大和最小值，即可得出结论
【详解】
解：（1）ABC ∆是等边三角形，
AC BC ∴=，60ACB ∠=︒，
ECD ∆是等边三角形，
CE CD ∴=，60DCE ∠=︒，
60ACB DCE ∴∠=∠=︒
∴∠+∠=∠+∠ACB BCE DCE BCE ，
即ACE BCD ∠=∠，
在ACE ∆和BCD ∆中，
AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
ACE BCD ∴∆≅∆，
AE BD ∴=，CAE CBD ∠=∠，
∠=∠+∠AFB CAE BDC ，且60ACB ∠=︒
60∴∠=∠+∠=∠=AFB CBD BDC ACB
（2）（1）中结论仍成立
证明：ABC ∆是等边三角形，
AC BC ∴=，60ACB ∠=︒，
ECD ∆是等边三角形，
CE CD ∴=，60DCE ∠=︒，
60ACB DCE ∴∠=∠=︒
11ACB DCE ∴∠+∠=∠+∠，
即ACE BCD ∠=∠，
在ACE ∆和BCD ∆中，
AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
ACE BCD ∴∆≅∆，
AE BD ∴=，23∠∠=，
32AFB ACB ∠+∠=∠+∠，且60ACB ∠=︒
60AFB ∴∠=︒
（3）ABC ∆是等边三角形，
4AC BC ∴==，
当旋转α=60︒时，B 、C 、D 三点共线，此时BD=BC+CD=7
当旋转α=240︒时，B 、C 、D 三点共线，此时BD=BC-CD=1
∴17BD ≤≤．
【点睛】
本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键．
22．补图见解析；（1）见解析；（2）2DF
BG =
，理由见解析
【分析】
（1）证明△EGC 是等腰直角三角形即可得出结论；
（2）连接DG 、FG ，由“SAS”可证△BEG ≌△FCG ，得出BG=GF ，得出EF=BC=DC ，由“SAS”可证△GEF ≌△GCD ，得出∠EGC=∠DGF=90°，FG=GD ，则△DGF 是等腰直角三角形，从而得出DF=2BG ．
【详解】
解：补全图形如图所示，
（1）∵四边形 ABCD 是正方形，AC 是对角线，
∴∠ACB ＝45°，
∵EG ⊥AC ，∴∠EGC=90 °
∴∠ GEC= ∠ ACB=45 °
∴GC ＝GE ；
（2
）DF =．理由如下：
证明：∵△EGC 是等腰直角三角形，
∴EG ＝GC ，∠GEC ＝∠ACB ＝45°，
∴∠BEG ＝∠GCF ＝135°，
由旋转得：DG ＝GF ，
正方形 ABCD 中，AB=AD ，∠BCA=∠DCA=45°，CG=CG
∴△CBG ≌△CDG （SAS ），
∴∠CGB=∠CGD ， BG ＝DG ，
∴BG=GF ∴∠GBC=∠GFB
又∠BEG ＝∠GCF
∴△BEG ≌△FCG （AAS ），
∴∠BGE ＝∠CGF ，
∴∠CGB ﹣∠BGE ＝∠CGD ﹣∠CGF ，
即∠EGC ＝∠DGF ＝90°，
∴△DGF 是等腰直角三角形，
DF ∴====
即DF =
． 【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
23．（1）见解析；（2
【分析】
（1）根据旋转的性质即可画出△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后的图形以及E 的轨迹； （2）利用勾股定理求出AE ，再利用等腰直角三角形的性质求出EF 即可．
【详解】
解：（1）旋转后的△ADF 如图所示，点E 的运动路径如图所示：
（2）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC=2，∠B=90°，
∵BE=EC=1，
∴22AB BE +2221+5
∵△EAF 是等腰直角三角形，∠EAF=90°，AE=AF ，
∴210．
【点睛】
本题考查作图-旋转变换，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（1）见解析；（2）6．
【分析】
（1）根据菱形性质，证明△GAD ≌△EAB ，然后得到边相等；
（2）延长FE 交AB 于点H ，根据题意可分析得到△AEH 和△AFH 均为含30°的直角三角形，然后计算EH 即可．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 和四边形AEFG 为菱形
∴GA=EA ，OA=BA
∵∠DAB=∠GAE=60°
∴∠GAD+∠DAE=60°
∠DAE+∠EAB=60°
∴∠GAD=∠EAB
∴△GAD ≌△EAB （SAS ）
∴DG=BE
（2）延长FE ，AB 交于点H
∵AC是菱形ABCD对角线
∠DAB=30°
∴∠CAB=1
2
∵∠GAE=60°且四边形AEGF是菱形
∴GA∥FE
∴∠FEA=180°-60°=120°
∴∠AEH=180°-120°=60°
∵∠EAB=30°
∴∠H=90°
∵AE=4，在Rt△EAH=30°
∴EH=2
∴F到AB的距离为4+2=6
【点睛】
本题主要考查菱形的性质，结合旋转和三角形相关性质是解题的关键．25．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）依据轴对称的性质，即可画出对称后的△A1B1C1；
（2）依据旋转变换，即可画出旋转后的△A2B2C2．
【详解】
解：（1）如图，△A1B1C1为所求的三角形；
（2）如图，△A2B2C2为所求的三角形；
【点睛】
本题考查了利用轴对称变换和旋转变换作图以及勾股定理的运用，解答本题的关键是掌握旋转的性质及轴对称的性质．
26．(1) (2)
【分析】
(1)根据是中心对称图形但不是轴对称图形可以确定是平行四边形；
（2）根据是中心对称图形又是轴对称图形可以确定是菱形或者正方形；
【详解】
（1）根据是中心对称图形但不是轴对称图形可以确定是平行四边形
画图如下：
（2）根据是中心对称图形又是轴对称图形可以确定是正方形
画图如下：
【点睛】
本题考查了作图应用设计，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形是解题关键.。