2024届云南省昆明市一中高三新课标第四次一轮复习检测数学试题及答案

昆明市第一中学2024届高中新课标高三第四次一轮复习检测
数学试卷
本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数z 满足()2i i
z +=-，则z 在复平面内对应点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2. 若{}{}()2
410
,R b x ax x a b =-+=∈，则a b +等于（ ）
A.
92
B.
92或14
C.
85
D.
85或14
3. 直线530x y -=是双曲线22
21(0)25
x y a a -=>的一条渐近线，则=a （ ）
A. 9
B. 5
C. 4
D. 3
4. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面边长分别为8cm,6cm 的正四棱台，若棱台的高为3cm ，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（ ）
的
图1 图2A.
3
148cm 3
B. 3
74cm C. 3
148cm D. 3
298cm 5. 某校高三年级有500人，一次数学考试的成绩X 服从正态分布()110,100N ．估计该校高三年级本次考试学生数学成绩在120分以上的有（ ）参考数据：若(
)2
~,X N μσ
，则()0.6827,(22)0.9545P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=，
3309().973P X μσμσ-<≤+=．
A. 75人
B. 77人
C. 79人
D. 81人
6. 埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长：如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为
7.2°.因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的．已知骆驼一天走100个视距段，从亚历山大城到赛伊尼须走50天．一般认为一个视距段等于157米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（ ）
A. 37680千米
B. 39250千米
C. 41200千米
D. 42192千米
7. 已知235log 6,log 7,log 9a b c ===，则下列判断正确是（ ）A. c b a
<< B. b c a
<< C. a b c
<< D. a c b
<<8. 已知定义在R 上的函数11()e e x x f x x --=-+，则不等式(1)(22)2f x f x -+-≥的解集为（ ）A. (,1]
-∞- B. (,1]
-∞ C. [1,1]
- D. [1,)
+∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分）
，成绩的频率分布直方
的
图如图所示，则（ ）
A. 频率分布直方图中a 的值为0.005
B. 估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为
75
C. 估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80
D. 估计总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为225
10. 如图，点A ，B ，C ，M ，N 是正方体顶点或所在棱的中点，则满足MN ∥平面ABC 的有（ ）
A. B.
C
D.
11. 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P
在曲线:C y =上，则ABP
的面积可能是（ ）
A.
B. 2
C. 5
D. 9
12. 已知数列{}n a 满足()1
11134n n n a a n -+-+-⋅=-（2n ≥且*n ∈N ）
，则下列说法正确的是（ ）A. 245a a +=，且312
a a -=B. 若数列{}n a 的前16项和为540，则16a =C. 数列{}n a 的前(
)*
4k k ∈N
项中的所有偶数项之和为2
6k
k
-
的
.
D. 当n 是奇数时，()()21
1314
n n n a a
+++=
+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知点F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，O 为坐标原点，若以F 为圆心，||FO 为半径的圆与
60y -+=相切，则抛物线C 的方程为_______．
14. 已知定义在[21,4]m m -+上的奇函数()f x ，当0x >时，()31x f x =-，则()f m 的值为_____________．
15. 已知,a b 是非零向量，1a = ，()
a b a +⊥ ，a 在b
方向上的投影向量为||a b -= _____________．16. 定义在ππ,00,22⎛⎫⎛⎫-
⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，且当π0,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()tan ()0f x x f x '->，则不等式π ()2sin 6f x f x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
的解集为_____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 某同学进行投篮训练，已知该同学每次投篮投中的概率均为12
．（1（2）若该同学进行三次投篮，第一次投中得1分，第二次投中得1分，第三次投中得2分，记X 为三次总得分，求X 的分布列及数学期望．
18. 在单位圆上的三点A ，B ，C 构成的锐角ABC 中，内角A ，B ，C
所对的边分别为
22,,,sin sin sin )sin a b c c A C B B -=-．
（1）求a ；
（2
c -的取值范围．
19. 设各项均不为零数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =
，且)*n =∈N ．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令910n
n n b a ⎛⎫
=⋅ ⎪⎝⎭
，当n b 最大时，求n 的值．
20. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，点D ，E 分别为棱111A B CC 、的中点，
的
111,4AE A B AB AC AA ⊥===．
（1）设过A ，D ，E 三点的平面交11B C 于F ，求
11
B F
FC 的值；（2）设H 在线段BC 上，当DH 的长度最小时，求点H 到平面ADE 的距离．
21. 已知二元关系222(,)(2)(2)f x y x y x y ay b =+-+++，曲线:(,)0E f x y =，曲线E 过点
(2,0),(4,6)C D ，直线:1l x =，若Q 为l 上的动点，A ，B 为E 与x 轴的交点，且点A 在点B 的左侧，
QA 与E 的另一个交点为,M QB 与E 的另一个交点为N ．
（1）求a ，b ；
（2）求证：直线MN 过定点．
22. 已知函数2()(ln )2ln 2,0f x a x x x x b a =-++>．（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若2
1e ,20a a b <≤+<，证明：()f x
只有一个零点．
昆明市第一中学2024届高中新课标高三第四次一轮复习检测
数学试卷
本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数z 满足()2i i
z +=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】C 【解析】
【分析】本题可根据复数的除法法则得出12
i 55
z =--，即可得出结果.【详解】因为()2i i z +=-，所以()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 55
z ---=
==--++-，则z 对应的点为1
2,55⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，在第三象限，故选：C .
2. 若{}{}()2
410
,R b x ax x a b =-+=∈，则a b +等于（ ）
A.
92
B.
92或14
C.
85
D.
85或14
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知2410ax x -+=只有一个实数根，讨论0a =和0a ≠，由根的判别式可得答案.
详解】∵{}{}()2
410
,R b x ax x a b =-+=∈，∴2
410ax
x -+=只有一个实数根.
当0a =时，{}14b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
，此时14
a b +=
；当0a ≠时，1640a ∆=-=，所以4a =，此时12
b =.∴19422a b +=+=.故1
4a b +=或92
a b +=.故选：B .
3. 直线530x y -=是双曲线22
21(0)25
x y a a -=>的一条渐近线，则=a （ ）
A. 9
B. 5
C. 4
D. 3
【答案】D 【解析】
【分析】由双曲线的一条渐近线，列方程求a 的值.
【详解】直线530x y -=是双曲线22
21(0)25
x y a a -=>的一条渐近线，
由直线530x y -=的斜率为5
3
53
=，所以3a =.故选：D ．
4. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面边长分别为8cm,6cm 的正四棱台，若棱台的高为3cm ，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（ ）
图1 图2A.
3
148cm 3
B. 3
74cm C. 3
148cm D. 3
298cm 【答案】C 【解析】
【
【分析】根据棱台的体积公式，计算求值，即得答案.
【详解】由题意可知，该香料收纳罐的容积为(
2231386148cm 3
⨯⨯+=．
故选：C ．
5. 某校高三年级有500人，一次数学考试的成绩X 服从正态分布()110,100N ．估计该校高三年级本次考试学生数学成绩在120分以上的有（ ）参考数据：若(
)2
~,X N μσ
，则()0.6827,(22)0.9545P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=，
3309().973P X μσμσ-<≤+=．
A. 75人
B. 77人
C. 79人
D. 81人
【答案】C 【解析】
【分析】()110,100X N ，1(1101011010)
(120)2
P X P X --≤≤+>=
，由概率计算人数即可.
【详解】()110,100X N ，110μ=，10σ=，因为()P =0.6827X μσμσ-<≤+，所以1(1101011010)10.6827
(120)0.158622
P X P X --≤≤+->=
=≈，
所以数学成绩在1205000.158679⨯≈人.故选：C ．
6. 埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长：如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为
7.2°.因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的．已知骆驼一天走100个视距段，从亚历山大城到赛伊尼须走50天．一般认为一个视距段等于157米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（ ）
A. 37680千米
B. 39250千米
C. 41200千米
D. 42192千米
【答案】B 【解析】
【分析】首先读懂题意，根据比例关系，即可求解地球周长.
【详解】由亚历山大城到赛伊尼走100505000⨯=，则地球大圆周长的视距段为x ，则
7.25000
360x
=，得250000x =个视距段，则地球的周长为25000015739250000⨯=米39250=千米.故选：B
7. 已知235log 6,log 7,log 9a b c ===，则下列判断正确的是（ ）A. c b a << B. b c a
<< C. a b c
<< D. a c b
<<【答案】A 【解析】【分析】取中间值
3
,22
，利用对数函数单调性比较可得.【详解】因为22log 6log 42a =>=，
32
333
log 7log 32b =>=
，且33log 7log 92b =<=，32
553log 9log 52
c =<=
，所以c b a <<.故选：A .
8. 已知定义在R 上的函数11()e e x x f x x --=-+，则不等式(1)(22)2f x f x -+-≥的解集为（ ）
A. (,1]-∞-
B. (,1]-∞
C. [1,1]-
D. [1,)
+∞【答案】A 【解析】
【分析】分析得到函数()f x 关于点(1,1)中心对称，且在R 上单调递增，列不等式求解集即可.【详解】由于1
1()e
e 11x x
f x x --=-+-+，
令1t x =-，则()e e t
t
g t t -=-+，
因为e t y =在R 上单调递增，e t y -=在R 上单调递减，
e t y -=-在R 上单调递增，y t =在R 上单调递增，
所以()e e t t
g t t -=-+在R 上单调递增，
又因为()e e t t
g t t -=-+定义域为R ，关于原点对称，又()
()()e e e e t
t
t
t
g t t t g t ---=--=--+=-，
所以()g t 为奇函数，关于()0,0对称，
所以()f x 关于点(1,1)中心对称，且在R 上单调递增，即(2)()2f m f m -+=，
由(1)(22)2f x f x -+-≥可得(1)2(22)(2)f x f x f x -≥--=，则12x x -≥，得1x ≤-，故选：A.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用函数的对称性和单调性求解不等式，解题的关键是函数性质的灵活应用.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（ ）
A. 频率分布直方图中a 的值为0.005
B. 估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为
75
C. 估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80
D. 估计总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为225
【答案】AD 【解析】
【分析】先根据频率之和为1可得0.005a =，进而可求每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断即可.
详解】由10(23762)1a a a a a ⨯++++=，可得0.005a =，故A 正确；前三个矩形的面积和为10(237)0.6a a a ⨯++=，
所以这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为80，故B 错误；
40名学生的竞赛成绩的众数为75，故C 错误；总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为3101500225a ⨯⨯=，故D 正确.故选：AD
10. 如图，点A ，B ，C ，M ，N 是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN ∥平面ABC 的有（ ）
A. B.
C. D.
【
【答案】AD 【解析】
【分析】结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理确定正确选项．
【详解】对于A ，连接ED ,由下图可知////MN DE AC ，MN ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以
//MN 平面ABC ，A 正确．
对于B ，设H 是EG 的中点，A 是DF 的中点，由下图，结合正方体的性质可知，//AB NH ，////MN AH BC ，//AM CH ，故六边形MNHCBA 为正六边形，所以A ，B ，C ，H ，N ，M 六点共面，
B 错误．
对于C ，如下图所示，根据正方体的性质可知//MN AD ，由于AD ⊂平面ABC ，所以MN ⊂平面
ABC ，所以C 错误．
对于D ，设AC NE D = ，由于四边形AECN 是矩形，所以D 是NE 中点，由于B 是ME 中点，所以
//MN BD ，
由于MN ⊂平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以//MN 平面ABC ，D 正确．
故选：AD ．
11. 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在曲线:C y =上，则ABP
的面积可能是（ ）
A.
B. 2
C. 5
D. 9
【答案】BC 【解析】
【分析】化简C 的方程并确定出对应图象，然后根据,O C 到直线的距离结合AB 求解出ABP 面积的取值范围，由此可判断出正确选项.
【详解】因为直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，
所以()2,0A -，()0,2B -，则AB =，
又因为点P 在曲线C ：y =
所以点P 在半圆(2
22(0)x y y +=≥上，
圆心)
C
到直线20x y ++=的距离为1
1d ，
点()0,0到直线20x y ++=的距离为2d =
=，
所以点P 到直线20x y ++=
的距离的范围是+，
所以△ABP
的面积取值范围是
即2,4⎡+⎣，所以BC 正确，故选：BC ．
12. 已知数列{}n a 满足()1
11134n n n a a n -+-+-⋅=-（2n ≥且*n ∈N ）
，则下列说法正确的是（ ）A. 245a a +=，且312
a a -=B. 若数列{}n a 的前16项和为540，则16a =C. 数列{}n a 的前(
)*
4k k ∈N 项中的所有偶数项之和为2
6k
k
-D. 当n 是奇数时，()()21
1314
n n n a a
+++=+【答案】ACD 【解析】
【分析】A 选项，赋值法求解即可；B 选项，先得到()222321461k k a a k k ++=+-=-，求出数列{}n a 的
前16项和中偶数项之和，从而得到前16项和中奇数项之和，赋值法得到2
2113k k a k a +=-+，从而得到
1513119753113928448a a a a a a a a a +++++++=+=，求出答案；C 选项，在B 选项的基础上得到
22261m m a a m ++=-，从而利用等差数列求和公式求解；D 选项，在B 选项基础上得到22113k k a k a +=-+，
令21n k =-可得答案.【详解】A 选项，()
1
11134n n n a a n -+-+-⋅=-中，令2n =得133242a a =⨯--=，
令3n =得423345a a +=⨯-=，A 正确；B 选项，()
1
11134n n n a a n -+-+-⋅=-中，令21n k =+得()222321461k k a a k k ++=+-=-，
所以426115a a +=⨯-=，8663117a a +=⨯-=，121065129a a +=⨯-=，
161467141a a +=⨯-=，
相加得246810121416517294192a a a a a a a a +++++++=+++=，
因为数列{}n a 的前16项和为540，所以前16项和中奇数项之和为54092448-=，
()
1
11134n n n a a n -+-+-⋅=-中，令2n k =得212132464k k a a k k +-=⨯-=--，
所以()()2121231
646461464614614k k k a k a k k a k k a +--=-+-+--+-++===--+⨯-+ ()21116342
k k k k a a k -++=⨯
=-+，
故2
2
2
151311975311111
377366311a a a a a a a a a a a a +++++++=⨯-++⨯-+++⨯-++ 13928448a =+=，
解得17a =，B 错误；
C 选项，由B 选项可知22261m m a a m ++=-，
{}n a 的前()*4k k ∈N 项中的共有偶数项2k 项，故最后两项之和为()4246211k k a a k -+=--，
所以数列{}n a 的前(
)*
4k k ∈N
项中的所有偶数项之和为
()()
2244245127511621162
k k k k a a a a k k k -+-++++=+++--=
=- ，C 正确；
D 选项，由B 选项可知2
2113k k a k a +=-+，令21n k =-，则1
2
n k +=
，故()()()12
2
111
34
21314
n n n a n a n a +++==+-
+++⨯
故当n 是奇数时，()()21
1314
n n n a a +++=+，D 正确.
故选：ACD
【点睛】当遇到()2n n a a f n +-=时，数列求通项公式或者求和时，往往要分奇数项和偶数项，这类题目的处理思路可分别令21n k =-和2n k =，用累加法进行求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知点F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，O 为坐标原点，若以F 为圆心，||FO 为半径的圆与
60y -+=相切，则抛物线C 的方程为_______．【答案】2
8x y =【解析】
【分析】根据题意知抛物线方程C ：22(0)x py p =>的焦点0,
2p F ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，利用点F 到直线
60y -+=的距离为FO 列出方程，解得4p =，从而求解.
【详解】由题意知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，又因为点F
60y -+=的距离为FO ，
所以：
2p d ，又因为：0p >，解得：4p =，则抛物线C 的方程为：28x y =.故答案为：28x y =.
14. 已知定义在[21,4]m m -+上的奇函数()f x ，当0x >时，()31x f x =-，则()f m 的值为_____________．【答案】2-【解析】
【分析】根据奇函数定义域关于原点对称，结合奇函数的性，质运用代入法进行求解即可.【详解】因为函数()f x 是定义在[21,4]m m -+上的奇函数，所以有(21)(4)0m m -++=，得1m =-，所以()(1)(1)312f f -=-=--=-．故答案为：2
-15. 已知,a b 是非零向量，1a = ，()
a b a +⊥ ，a 在b
方向上的投影向量为||a b -= _____________．
【解析】
【分析】1a = ，由()
a b a +⊥ ，得1a b ⋅=- ，a 在b
方向上的投影向量为
由2
a b - ，得a b - .
【详解】已知,a b
是非零向量，1a =
，
由()
a b a +⊥r r r ，有()
20a a b a a b ⋅+=⋅+= ，可得1a b ⋅=- ，
a 在b
方向上的投影向量为
，则有a b b
⋅=
由22225a b a b a b -=+-⋅=
，所以a b -=
16. 定义在ππ,00,22⎛⎫⎛⎫-
⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，且当π0,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()tan ()0f x x f x '->，则不等式π ()2sin 6f x f x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭的解集为_____________．
【答案】πππ,0,266⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
【解析】
【分析】构造函数()
()sin f x F x x
=，通过研究()F x 的奇偶性与单调性求解不等式.【详解】令()()sin f x F x x =
，因为()f x 是定义在ππ,00,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
上的奇函数，
则()()()()sin()sin f x f x F x F x x x ---=
===--，
所以()F x 为偶函数.当π0,
2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，sin 0x >，cos 0x >，由已知()tan ()0f x x f x '->，所以()22
()sin ()cos cos ()()tan ()0sin sin f x x f x x x
F x f x x f x x x
'-''=
=->，则()F x 在π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，
由π
()2()sin 6
f x f x <可化为
π()
()6πsin sin 6
f f x x <，即π
()()6F x F <，得π06
x <<；
当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，sin 0x <，则
π()
()6πsin sin()
6
f f x x ->-，即π
()()6
F x F >-，
由()F x 为偶函数，则()F x 在π,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单调递减，
得ππ26
x -
<<-，所以不等式π()2sin 6f x f x ⎛⎫<
⎪⎝⎭
的解集为πππ,0,266⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．故答案为：πππ,0,266⎛⎫⎛⎫-
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是构造函数()
()sin f x F x x
=
并发现()F x 是偶函数，通过研究其单调性来解不等式，特别要注意分段讨论，因为sin x 的符号不能确定.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 某同学进行投篮训练，已知该同学每次投篮投中的概率均为12
．（1）求该同学进行三次投篮恰好有两次投中的概率；
（2）若该同学进行三次投篮，第一次投中得1分，第二次投中得1分，第三次投中得2分，记X 为三次总得分，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）3
8
（2）分布列见解析，2【解析】
【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算即可；
（2）应用独立事件概率乘积公式结合对立事件的概率公式计算概率，写出分布列计算数学期望即得；【小问1详解】
记该同学进行三次投篮恰好有两次投中为事件“B ”，则()11111111132222222228
P B =
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.【小问2详解】
设事件123,,A A A 分别表示第一次投中，第二次投中，第三次投中，
根据题意可知0,1,2,3,4X =.
故()()()
1231(0)8
P X P A P A P A ===
.()()()()()()1231231(1)4P X P A P A P A P A P A P A ==+=，()()()()()()1231231(2)4P X P A P A P A P A P A P A ==+=()()()()()()1231231(3)4
P X P A P A P A P A P A P A ==+=，()()()()1231111
42228
P X P A P A P A ===⨯⨯=.
所以于X 的分布列为：
X 的数学期望11111
()01234284448
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
18. 在单位圆上的三点A ，B ，C 构成的锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为
22,,,sin sin sin )sin a b c c A C B B -=-．
（1）求a ；
（2c -的取值范围．【答案】（1 （2）(【解析】
分析】（1）根据条件，利用正弦定理，角转边得到222c b a +-=，再结合余弦定理，即可得到
π
4
A =
，由外接圆半径及正弦定理求出结果.（2）根据条件，利用正弦定理边化为角，根据两角差的正弦公式，利用余弦函数的性质及角的范围，可求出结果.【小问1详解】
【
由
22sin sin sin )sin C C A B B -=-
及正弦定理得：222c a b -=-，
由余弦定理得：2222cos A b c a bc +-===
， 又因为0πA <<，所以π4
A =
，因为ABC 外接圆半径为1
，2sin a A ∴==.
【小问2详解】
因为ABC 的外接圆半径1R =，所以
,2sin sin b c B C
==所以2sin ,2sin b B c C ==，
2sin c B C -=
-3π
)2sin 4
C C =--2cos 2sin 2sin 2cos C C C C =+-=， 又因为ABC 为锐角三角形，即π02
3ππ
042C B C ⎧
<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩
，故ππ42C <<，
所以0cos C <<
，所以02cos C <<，
所以0c <
-<
c -
的取值范围是(.
19. 设各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =
，且)*n =∈N ．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令910n
n n b a ⎛⎫
=⋅ ⎪⎝⎭
，当n b 最大时，求n 的值．
【答案】（1）2n a n = （2）9或10【解析】
【分析】（1）利用公式1n n n a S S -=-，求得数列21{}n a -是首项为2，公差为4的等差数列，数列2{}n a 是首项为4，公差为4的等差数列，可求数列{}n a 的通项公式； （2）n b 最大时，则1
1n n n
n b b b b -+≥⎧⎨
≥⎩，列不等式求n 的值．
【小问1详解】
12a =
，且)*n =∈N ．
则有0n a >，14n n n S a a +=⋅，
当1n =时，12114
a a a S ==
，所以24a =，当2n ≥时，11144n n n n n n n a a a a a S S +--⋅⋅=-=-，所以114n n a a +--=，则数列21{}n a -是首项为2，公差为4的等差数列，所以2124(1)2(21)n a n n -=+-=-，
数列2{}n a 是首项为4，公差为4的等差数列，所以244(1)2(2)n a n n =+-=，
所以2n a n =.
【小问2详解】由已知得：9921010n n
n n b a n ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，195b =，28125b =，12<b b ，1b 不是最大项，设数列{}n b 的最大项为()2n b n ≥，则：11n n n
n b b b b -+≥⎧⎨≥⎩，即：19922(1)1010n n n n -⎛⎫⎛⎫⋅≥-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且19922(1)1010n n n n +⎛⎫⎛⎫⋅≥+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得910n ≤≤，
所以n b 最大时，n 的值为9或10.
20. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，点D ，E 分别为棱111A B CC 、的中点，
111,4AE A B AB AC AA ⊥===
．
（1）设过A ，D ，E 三点的平面交11B C 于F ，求11
B F F
C 的值；（2）设H 在线段BC 上，当DH 长度最小时，求点H 到平面ADE 的距离．
【答案】（1）2
（2
【解析】
【分析】（1）先将平面ADE 延展，在图中表示出1B F 和1FC ，根据三角形相似即可求出11
B F F
C 的值；（2）由题意可以建立空间直角坐标系，根据垂线段最短，确定H 的位置，由点到平面的距离的向量表示公式DH n d n
×= 即可求出点H 到平面ADE 的距离.【小问1详解】
如图延长AD 交1BB 于P ，连接PE 交11B C 于F ，
如图所示：
因为D 为棱11A B 的中点，1DB AB ，且112DB AB =
，所以1B 是PB 的中点，即1112PB BB C E ==，
因为11PB C E ，
所以1PB F △∽1EC F △，所以
1111
2PB B F C E FC ==.【小问2详解】
的
由题知1AA ⊥平面ABC ，则1AA AB ⊥，
因为11∥A B AB ，且11AE A B ⊥，所以AB AE ⊥，所以AB ⊥平面11ACC A ，
所以AB AC ⊥，如图所示，以A 为原点，AC ，AB ，1AA 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，
所以()0,0,0A ，()0,2,4D ，()4,0,2E ， ()0,4,0B ，()4,0,0C ，设(),4,0H x x -，()04x ≤≤，()0,2,4AD = ，()4,0,2AE = ，
因为DH 最短，所以DH BC ⊥，
所以()(),2,44,4,0880DH BC x x x ⋅=--⋅-=-= ，解得1x =，
所以()1,3,0H ，则(1,1,4DH =- ，
设平面ADE 的法向量(),,n x y z = ，则00
n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即240420y z x z +=⎧⎨+=⎩，所以()1,4,2n =- ，
所以点H 到平面ADE 的距离
d 21. 已知二元关系222(,)(2)(2)f x y x y x y ay b =+-+++，曲线:(,)0E f x y =，曲线E 过点(2,0),(4,6)C D ，直线:1l x =，若Q 为l 上的动点，A ，B 为E 与x 轴的交点，且点A 在点B 的左侧，QA 与E 的另一个交点为,M QB 与E 的另一个交点为N ．（1）求a ，b ；
（2）求证：直线MN 过定点．
【答案】（1）2,12a b ==-
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意将(2,0)0f =，(4,6)0f =代入方程(),0f x y =运算可得解；
（2）设:MN l my x t =+，与曲线E 方程联立，由韦达定理可得122631mt y y m +=-，212231231t y y m -=-，由A ，Q ，M 三点共线，由B ，Q ，N 三点共线，列式消元运算可求得t 的值，得证.
【小问1详解】
由题意知，(2,0)0f =，(4,6)0f =，代入方程()()22
2220x y x y ay b +-+++=，
可得()()222440246426360b a b ⎧-+=⎪⎨⨯+-+⨯++=⎪⎩，解得2a =，12b =-.
【小问2详解】
由（1）可知222
(2)(2)2120x y x y y +-++-=，整理得曲线E ：22
1412x y -=，设:MN l my x t =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，0(1,)Q y ，
由题意知(2,0),(2,0)A B -，联立22312
my x t x y =+⎧⎨-=⎩，得()2223163120m y mty t --+-=，所以2310m -≠，0∆>即22
1240m t +->，21212226312,.3131mt t y y y y m m -+==--由A ，Q ，M 三点共线知011122
y y x =++①，由B ，Q ，N 三点共线知022122
y y x =--②，由①②两式得1212322
y y x x -=+-③.又因为22111412
x y -=，即11113(2)2y x x y -=+，代入③式得12129(2)2x y y x --=-，
即12129(2)2
my t y y my t ---=--，整理得()221212919(2)()9(2)0m y y m t y y t +-++++=，即()22
2223126919(2)9(2)03131t mt m m t t m m -+-+++=--，化简得(2)(4)0.t t ++=当2t =-时，:2MN l my x =-，直线过定点(2,0)，不符合题意，舍去.
当4t =-时，:4MN l my x =-，直线过定点(4,0).
所以直线MN 过定点(4,0).
.
【点睛】思路点睛：本题第二问考查圆锥曲线中的直线过定点问题. 设出:MN l my x t =+，于曲线E 方程联立，根据韦达定理可得12y y +，12y y ，由A ，Q ，M 三点共线，由B ，Q ，N 三点共线从斜率关系列式并结合M ，N 在曲线E t 的值，从而得证问题.
22. 已知函数2()(ln )2ln 2,0f x a x x x x b a =-++>．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若21e ,20a a b <≤+<，证明：()f x 只有一个零点．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）依题意用导数对a 分类讨论即可；
（2）结合第一问的单调性，运用零点存在性定理即可求解.
【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()ln ()2x f x a x x
'=-，i 若1a >，则当()0,1x ∈时，ln 0x <，0a x ->，故()0f x '<，当()1,x a ∈时，ln 0x >，0a x ->，故()0f x '>，.
当(),x a ∈+∞时，ln 0x >，0a x -<，故()0f x '<，
此时()f x 在()0,1内单调递减，在()1,a 内单调递增，在(),a +∞内单调递减；
ii.若1a =，()ln ()210x
f x x x '=-≤，此时()f x 在()0,+∞内单调递减；
iii.若01a <<，则当()0,x a ∈时，ln 0x <，0a x ->，故()0f x '<，
当(),1x a ∈时，ln 0x <，0a x -<，故()0f x '>，
当()1,x ∈+∞时，ln 0x >，0a x ->，故()0
f x '<此时()f x 在()0,a 内单调递减，在(),1a 内单调递增，在()1,+∞内单调递减；
（2）当21e a <≤，20a b +<时，()1220f b a b =+<+<，且2b a ->，故0e 1<<，
故e 2e 10f ⎛⎫⎛=> ⎪ ⎪⎝⎝⎭，即()e 10f f ⎛⎫
⋅< ⎪ ⎪⎝⎭
，
由（1）可知()f x 在()0,1内单调递减，故()f x 在区间()0,1内有且仅有一个零点，
由21e a <≤知0ln 2a <≤，则
()()()()22ln 2ln 2ln 2ln ln ln 20f a a a a a a b a a a a a a a =-++<-=-≤，
()f x 在()1,a 内单调递增，在(),a +∞内单调递减，
故对任意()1,x ∈+∞，()()0f x f a ≤<，故函数()f x 在区间()1,+∞内没有零点，
综上可得，()f x 只有一个零点．。