高二数学二项式系数的性质

- L +（-
1）nC
n n
= 2 0 Cn0
+
= (Cn0 + Cn2 + … =
Cn2 Cn1
+ +
… ) - (Cn1
C
3 n
+
…
+ nC-n31+
…
)
也就是说, (1+x)n的展开式中的各个
二项式系数的和为2n，且奇数项的二
项式系数和等于偶数的二项式系数和
赋值法
课堂练习:
1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式系数相同
即：r是自变量，二项式系数是函数值，
组合数公式就是相应函数的解析式。
①当n=6时，二项式系数
C
r
6（0≤r≤6）用图象表示：
1：对称性
f(r)
①与首末两端“等距离” 20
的两个二项式系数相等
7 个
孤
②关于r= 3对称
14
立
2：增减性与最大值
的 点
①先增后减
6
②r=3时取得最大值
O
36
r
f（r）
20
C C C 所以
=
k-1 n
•
n–k+1 k
k n
相对于
k-1 n
的增减情况由
n
–
k k
+
1
决定
由于
n
–
k k
+
1
>
1

k<
n+1 2
因而
当 k n + 1 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的 后半部是2逐渐减小的，且在中间取得最大值。
n
C 当n是偶数时，中间的一项 2 取得最大时 ；
n
11 121 1 33 1
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
1 4641
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C53
C54
C
5 5
1 5 10 10 5 1
1 C
0 6
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
6 15 20 15 6 1
C0n = 1
二项式系数表
《 杨辉 三角
详
解
九
章 算 法
杨 辉
C2
4
2 3
C2
5
3 3
1 5 1100 10 5 1
c c c + = C
0 4
C
41r-1C
2 4
r C 43r
C
4 4
n
n n+1
1 6 15 20 15 6 1
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
当n不大时，可用该表来C求60 二C 61项C式62系C数63
。
C
4 6
C
5 6
C
6 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
C
m n
=
C n-m n
先增后减
二项式系数与函数
函数定义：如果A、B都是非空数集，那A
到B的映射f ：A→B就叫做A到B的函数。
★ 对于二项式系数，r与
系，即：
C
r n
之间也有对应关
r 0 1 2 …r …n
C
1 5
+
C
2 5
+C
3 5
+
C
4 5
ห้องสมุดไป่ตู้
+C
5 5
=
例题讲解
例1、证明 (a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和
等于偶数项的二项式系数的和。
证明：在展开式
(a+b)n= Cn0an +Cn1an-1b1 +…+Cnran-rbr +…+Cnnbn
中
(1
-1)n令=aCn=0 -1C，n1
b +
由 1 得 a1 + a 2 + … + a 7 = -2 ( x=0 时, a0=1) … 2
由 ( 1 - 2 ) 2 得 a1 + a3 + a5 + a7 = -1094
由 ( 1 + 2 ) 2 得 a 0 + a 2 + a 4 + a 6 = 1093
求解二项式系数和时， 灵活运用赋值法可以使问 题简单化。通常选取赋值 时取－1，1，0。
则 a1 + a 2 + … + a 7 = -2 a1 + a3 + a5 + a7 = -1094
简解: a 0 + a 2 + a 4 + a 6 = 1093 令x=1,则 (1 - 2•1)7= -1= a0 + a1 + a2 +a3 +a4 +a5 +a6+a7
…1
令x= -1, 则 (1+2•1)7=37= a0 -a1 +a 2 -a3 +a4 -a5 +a6 -a7
二项式系数的性质
a).表中每行两端都是1。 b).除1外的每一个数都等
于它肩上两个数的和。
11
例如：2+1=3
1 22 11
4C+106C=1110
1 3 33 1 1 44 66 4 1
C +C 因为：C2120 C2221 = C C 2232 = 3
C +C =C = 10 C
0 3
C1
4
1 3
通项
二项式系数
Tr +1
=
C
r n
a
n-r
b
r
，C ， Cn0 , Cn1 , Cn2 ,
……
C
r n
,
……
C n-2
n
Cnn-1，
n n
二项式系数的性质
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5
(a+b)6
C10
C
1 1
C
0 2
C
1 2
C
2 2
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C33
C
r n
C
0 n
C
1 n
C
2 n
…
C
r n
…
C
n n
可看成是集合｛0，1，…，n｝到二项式系数的集合的映射。
二项式系数与函数
从映射、函数的观点看，二项式系数可 以看作是一个定义域为 {0，1，2，…，n} 的函数当自变量从小到大依次取值时对 应的一列函数值。
y = f (x)
函数值
C
r n
自变量
r
的项是(C ). A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项
C 2、在(a＋b)11展开式中，二项式系数最大的项( ).
A.第6项
B.第7项
C.第6项和第7项 D.第5项和第7项
n
18 3， 已知
x +4
1 x3

展开式中只有第10
项二项式系数最大，则n=______。
2 - 1 5 4，化简
15
6 1
O nn
2
n为偶数； 如n=6
f（r3）5
30
n - 1 20
2
10
n为奇数； 如n=7
n+1 2
O
3 n4
7
n
r
2
①关于r=n/2对称
②r=3和r=4时取得最大值
二项式系数的性质
C
m n
=
C n-m n
性质1：对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
性质2：增减性与最大值
先增后减
= -1，
Cn2
-
C
3 n
则得
+…
+
(-1 )nCnn
0 就是
=
( Cn0
+ Cn2 +
…
)
-
(Cn1
+
C
3 n
+
…
)
Cn0
+
Cn2
+
…
=
Cn1
+
C
3 n
+
…
即在 (a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和
等于偶数项系数的和。证毕。
上述证明过程中用到了什么方法？
变式练习：
已知(1 - 2 x) 7 = a0 + a1 x + a2 x 2 + … + a7 x 7
10.4 二 项 式 定 理
二项式系数的性质
1 11 12 1 13 31 14 6 41 1 5 10 10 5 1
C
r n
,
复习回顾:
cn0 , c1n , cn2 , cnr , cnn-1 , cnn
二项式定理及展开式:
（a+b）n =Cn0anb0 +Cn1an-1b1 +Cn2an-2b2 +L+Cnran-rbr +L+Cnna0bn
二项式系数的性质
第1行———
C
0 1
C
1 1
第2行——
C
0 2
C
1 2
C
2 2
第3行—-
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
对称
11 121 1 33 1
第4行—
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
1 46 41
第5行--
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
第6行-
C
0 6
C
1 6
C
2 6
； / 活动策划公司 活动策划
lgh35neh
对目标受众的吸引力大小是活动推广策划成功与否的根本。在一个活动推广策划中，要充分吸引用户的注意，就要捉住地点用户集体十分重视
的热门，对用户晓之以情，晓之以利，激起用户的热心，促进用户十分活跃的参加。提高活动的吸引力，需要有构思，策划主题的要可以满足
C C 当n是奇数时，中间的两项
n-1
n+1
2， 2 相等，且同时取得
最大值。
n
n
二项式系数的性质
性质3：各二项式系数的和
（1 + x）n =
C
0 n
+
C
1 n
x
+
C
2 n
x
2+
…+
C
n n
x
n
2 令x=1；
n
=
C
0 n
+
C
1 n
+
C
2 n
+
L
+
C
n n
0 令x=-1；
=
C
0 n
-
C
1 n
+
C
2 n
小结:
对称性
（1）二项式系数的三个性质 增减性与最大值
各二项式系数和 （2） 数学思想：函数思想
a 图象、图表； b 单调性； c 最值。
（3） 数学方法 ： 赋值法
活动策划得好坏，还要求有一定的可信度，在大多数情况下，可信度源自方案的执行力。特别是专业从事活动策划的公司，活动策划的再好，
没有足够的资源实施也是不行的，长年的活动举办经验，不但能为活动策划者提供丰富的经验，更重要的是能累积足够的执行资源。
用户的好奇心、价值表现、荣誉感、责任感、利益等各方面的需求，还给予恰当的许物质鼓励，这将会大大的提高目标受众的重视度以及参加
认识。
嬷嬷、宫女们鱼贯而入，净面、开脸、上妆，梳头，穿衣……，众人紧张有序、壹丝不苟地进行着所有的繁缛的程序。原本已经有宫里的嬷嬷 、宫女侍候，又有年府的丫环们，可是玉盈还是不放心，围在冰凝的周围，大事小事，亲力亲为。两人分别了五年，才好不容易团聚在壹起， 从今以后，又要长久地别离，长久到不知道什么时候才能再见面，玉盈壹想到这里就止不住地泪如雨下。当她看到妆扮成新嫁娘模样的妹妹， 头上戴着她爹娘留给她的嫁妆，不久就要与王爷手牵手共拜天地，她的心更是痛彻心扉，几欲站立不稳。冰凝就像壹个木人布偶，任凭别人在 她的脸上、头上、身上做着各种各样的妆扮，面无表情，心似刀割。按照规制，只有嫡福晋大婚可以用正红色，侧福晋的婚服颜色是桃红色。 也好，不至于红得这么刺目。早早起来，冰凝就像个木头人壹样，任由宫里的嬷嬷们里里外外地给她穿上壹层又壹层的新嫁衣。嫁衣是宫里按 照冰凝的身材，早早就订做好送来的。嬷嬷为冰凝开了脸，梳上小两把头，从今天开始，冰凝就算是嫁作他人妇。那高高的发髻上，插满了金 步摇、碧玉簪，翠珠花，可是，再多的荣华富贵，抵得上两心相悦、比翼双飞吗？第壹次梳旗头，本就不适应，又因为发丝连根狠狠地被揪起 ，又插了满头的金银首饰，连日做荷包也没有休息好，昨夜又是整夜未眠，此时此刻，冰凝的头，炸炸的、突突的，她痛得恨不能直接泼壹盆 冷水，去浇灭心中的满腔怨恨。第壹卷 第五十五章 嘱托头痛，还是抵不上心痛。是啊！身为女儿，这壹辈子就是要嫁人的，这世上又有几 个人能嫁得如意，过得幸福？既然嫁给谁都壹样，那现在还有什么可想的呢。明知道都是些个有的没的，似有似无，虚无缥缈的东西，根本就 是胡思乱想，可她就是止不住这些念头拼命地占据了心间。虽然道理她全都明白，可是心中的那份企盼牢牢地占据了她的心扉，她企盼那萧音 仙曲在耳畔再度响起，解救自己于水火。她不需要王府的锦衣玉食，也不需要王爷给予的荣华富贵，她只想与知音相伴壹生，朝饮晨露，晚看 夕阳，采菊东篱，手做羮汤。她是平凡的小诸人，不是贪慕虚荣的世俗女。可是，就是这么壹点点小小的梦想，已经那么真切地来到了自己的 眼前，为什么，壹步错过了，就再也无法追寻？玉盈心痛，冰凝心疼，此时此刻，还有壹个更心痛的，那就是在王府中等待成亲的王爷。冰凝 心痛，是对当侧福晋的失落与不甘，是对似有影似无踪的琴瑟合鸣、神仙眷属的无限向往。那根本就是还没有开始，就无疾而终的壹段虚幻的 感觉，连人影都没有见过呢！因此，即使是痛，也仅仅是隐隐而痛。玉盈心痛，是对那可望而遥不可及的爱之无奈的痛。但相对而言，毕竟是 壹段才刚刚萌芽
T 即 n +1 2
n
当n是偶数时，中间的一项
最大值 ；
的二项式系数
C
2 n
取得
C C n-1
n +1
当n是奇数时，中间的两项 二项式系数 2 和 2
n
n
相等，且 同时取得最大值。
即T T 和 n-1+1 2
n+1+1 2