2020年重庆第七中学校高三数学文上学期期末试卷含解析

2020年重庆第七中学校高三数学文上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （5分）80﹣lg100的值为（）
A． 2 B．﹣2 C．﹣1 D．
参考答案：
C
考点：对数的运算性质．
专题：计算题．
分析：根据指数幂的性质以及对数的运算性质进行计算即可．
解答：解；80﹣lg100=1﹣2=﹣1，
故选：C．
点评：本题考查了对数的运算性质，是一道基础题．
2. （5分）（2015?陕西校级二模）已知集合M={x||x﹣3|＜4}，集合N={x|≤0，x∈Z}，那么M∩N=（）
A． {x|﹣1＜x≤1} B． {﹣1，0} C． {0} D． {0，1}
参考答案：
C
【考点】：交集及其运算．
【专题】：集合．
【分析】：分别求出关于集合M、N的x的范围，从而求出M∩N．
解：∵集合M={x||x﹣3|＜4}={x|﹣1＜x＜7}，
集合N={x|≤0，x∈Z}={x|﹣2≤x＜1，x∈Z}={﹣2，﹣1，0}，那么M∩N={0}，
故选：C．
【点评】：本题考查了集合的运算，是一道基础题．
3. 阅读下面程序框图，则输出结果的值为( )
A．B．C．D．
参考答案：
B
略
4. 已知函数满足，，则的零点个数最多有
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
5. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行，若数列的前n项和为，则的值为（）
A、B、C、D、
参考答案：
A
6. 我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）．若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为（）
A．3.119 B．3.126 C．3.132 D．3.151
参考答案：
B
【考点】EF：程序框图．
【分析】我们可分析出程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取（0，1）上的x，y，z，求
x2+y2+z2＜1的概率，计算x2+y2+z2＜1发生的概率为=，代入几何概型公式，即可得到答案．
【解答】解：x2+y2+z2＜1发生的概率为=，当输出结果为521时，i=1001，m=521，
x2+y2+z2＜1发生的概率为P=，∴=，即π=3.126，
故选B．
7. 函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
参考答案：D
考点：奇偶函数图象的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．
专题：压轴题；数形结合．
分析：的图象由奇函数的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．
解答：解：函数，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图
当1＜x≤4时，y1＜0
而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，
在和上是减函数；
在和上是增函数．
∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H
相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D
且：x A+x H=x B+x G═x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8
故选D
点评：发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y2=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．
8. 函数的定义域为R，，对任意R，>3，则>3x+4的解集为
A．(-l，1)
B．(-1，+∞)
C．(-∞，-l)
D．(-∞，+∞)
参考答案：
B
9. 已知向量与的夹角为60°，||=2，||=5，则2﹣在方向上的投影为（）
A．B．2 C．D．3
参考答案：
A
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．
【解答】解：∵向量与的夹角为60°，且||=2，||=5，
∴（2﹣）?=2﹣?=2×22﹣5×2×cos60°=3，
∴向量2﹣在方向上的投影为=．
故选：A．
10. 已知，则（）
A．18 B．24 C．36 D．56
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数的图像向左平移个单位长度后关于原点对称，则的值等于．
参考答案：
1
12. 数列的通项公式，其前项和为，则= ▲．
参考答案：
－1008
13. 对实数a 和b ，定义运算“?”：a?b＝设函数f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c 的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是_________.
参考答案：
略
14. 如果（m+4）﹣＜（3﹣2m）﹣，则m的取值范围是．
参考答案：
【考点】幂函数的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由（m+4）﹣＜（3﹣2m）﹣，可得m+4＞3﹣2m＞0，解出即可得出．
【解答】解：∵（m+4）﹣＜（3﹣2m）﹣，
∴m+4＞3﹣2m＞0，
解得．
故m的取值范围为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15.
已知是单位向量，，则在方向上的投影是_______。

参考答案：
答案：
16. 方程：sinx+cosx =1在[0，π]上的解是▲．
参考答案：
或0．
17. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点, 且左、右焦点分别为F1、 F2, 这两条曲线在第一象限的交点为P, △P F1F2是以P F1为底边的等腰三角形。

若| P F1|=1 0, 椭圆与双曲线的离心率分别为e1、 e2, 则e1·e2的取值范围为。

参考答案：
【知识点】单元综合H10
设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．
由题意知r1=10，r2=2c，且r1＞r2，2r2＞r1，
∴2c＜10，2c+2c＞10，?．?1＜＜4，
∴e2= ；
e1= ．
∴e1?e2= = 。

【思路点拨】设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2．利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出e1?e2的取值范围是．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2CD=4，AD=2，过点C作CO⊥AB，垂足为O，将△OBC沿CO折起，如图2使得平面CBO与平面AOCD所成的二面角的大小为θ（0＜θ＜π），E，F分别为BC，AO的中点
（1）求证：EF∥平面ABD
（2）若θ=，求二面角F﹣BD﹣O的余弦值．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）过点E作EH∥BD，交CD于点H，连结HF，推导出平面EHF∥平面ABD，由此能证明EF∥平面ABD．
（2）由题得平面CBO与平面AOCD所成二面角的平面角为∠BOA=θ，连结BF，以点F为坐标原点，以FO，FH，FB分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BD﹣O 的余弦值．
【解答】证明：（1）过点E作EH∥BD，交CD于点H，连结HF，
则H为CD中点，∴HF∥AD
∵AD?平面ABD，HF?平面ABD，
∴HF∥平面ABD，
同理，EH∥平面ABD，
∵EH∩HF=H，∴平面EHF∥平面ABD，
∵EF?平面EHF，∴EF∥平面ABD．
解：（2）由题得平面CBO与平面AOCD所成二面角的平面角为∠BOA=θ，
连结BF，∵θ=，OB=2，OF=1，∴BF⊥AO，
以点F为坐标原点，以FO，FH，FB分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则F（0，0，0），B（0，0，），D（﹣1，2，0），O（1，0，0），
设平面FBD的法向量=（x，y，z），
则，取x=2，解得=（2，﹣1，0）
同理得平面BDO的一个法向量=（，1），
设二面角F﹣BD﹣O的平面角为α，
cosα===，
∴二面角F﹣BD﹣O的余弦值为．
【点评】本题考查空间直线与增面的位置关系、空间角、数学建模，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．
19. （本小题满分12分）
已知函数在区间上有最小值1和最大值4，设.（I）求的值；
（II）若不等式在区间上有解，求实数k的取值范围.
参考答案：
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；函数的零点与方程根的关系．B5 B9
（Ⅰ）（Ⅱ）
解析：（Ⅰ），因为，所以在区间上是增函数，故，解得
．…………………………6分（Ⅱ）由已知可得，所以,可化为，
化为，令，则，因，故，
记，因为，故，
所以的取值范围是
. ……………………12分【思路点拨】（Ⅰ）由函数，，所以在区间上是增函
数，故，由此解得a、b的值．（Ⅱ）不等式可化为，故有，，进而求出的最大值，从而求得k的取值范围．
20. 等差数列{am}的前m项和为Sm，已知S3=，且S1，S2，S4成等比数列，
（1）求数列{am}的通项公式.
（2）若{am}又是等比数列，令bm=，求数列{bm}的前m项和Tm.
参考答案：
（1）设数列{am}的公差为d，由S3=，可得3a2=，解得a2=0或a2=3.
由S1，S2，S4成等比数列，可得 ,由，故 .
若a2=0，则，解得d=0.此时Sm=0.不合题意；
若a2=3，则，解得d=0或d=2，此时am=3或am=2m-1.
（2）若{am}又是等比数列，则Sm=3m，所以bm===，
故Tm=（1－）+（－）+（－）+…+（）=1－=
略
21. （a＞b＞0）如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点A是椭圆上任一点，△AF1F2的周长为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（﹣4，0）任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记，若在线段MN上取一点R，使得，则当直线l转动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的方程．
参考答案：
【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的简单性质．
【分析】（I）利用椭圆的定义、及b2=a2﹣c2即可解出；
（II）由题意知，直线l的斜率必存在，设其方程为y=k（x+4），M（x1，y1），N（x2，y2）．把直线l的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，再利用向量，，即可得出坐标之间的关系，消去λ及k即可得出结论．
【解答】解（Ⅰ）∵△AF1F2的周长为，
∴2a+2c=，即．
又，解得a=2，，b2=a2﹣c2=1．
∴椭圆C的方程为．
（Ⅱ）由题意知，直线l的斜率必存在，
设其方程为y=k（x+4），M（x1，y1），N（x2，y2）．
由得（1+4k2）x2+32k2x+64k2﹣4=0．
由题意△=（32k2）2﹣4（1+4k2）（64k2﹣4）＞0，即12k2﹣1＜0．
则，．
由，得（﹣4﹣x1，﹣y1）=（x2+4，y2），
∴﹣4﹣x1=λ（x2+4），∴．
设点R的坐标为（x0，y0），由，
得（x0﹣x1，y0﹣y1）=﹣λ（x2﹣x0，y2﹣y0），
∴x0﹣x1=﹣λ（x2﹣x0），
解得==，
而2x1x2+4（x1+x2）==﹣，
，
∴，
故点R在定直线x=﹣1上．
22. （本题满分12分）
已知，，是否存在实数，使同时满足下列条件：
①在（0，1）上是减函数，在上是增函数；②的最小值是1若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案：。