江苏南京外国语学校2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷(解析版)

南京外国语学校2018—2019 学年度第一学期期中高一年级数学试题（A 卷）一、填空题（本大题共14 小题，每小题3 分，共42 分．请把答案写在答．卷．纸．相．应．位．置．上．）1.已知集合A ={-1, 2, 3, 6}, B ={x | -2 <x < 3}，则A B= （）【答案】{-1,2}【解析】【分析】直接利用交集的定义解答.【详解】因为A ={-1, 2, 3, 6}, B ={x | -2 < x < 3}，所以A B= {-1,2}。

故答案为：{-1,2}【点睛】本题主要考查交集的定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2.幂函数y =的图象是_____（填序号）．①. ②. ③. ④.【答案】③【解析】【分析】利用幂函数的图像和性质解答.【详解】因为,在(0,+∞)单调递增,比y=x增长的慢则选③.故答案为：③【点睛】本题主要考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.3.把函数y＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是________．【答案】【解析】【分析】直接根据函数图象的“平移法则”求解即可.【详解】把函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，即把其中x换成x＋1，于是得y＝[(x＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3，故答案为.【点睛】本题主要考查函数图象的“平移法则”：上加下减，左加右减，属于简单题.4.偶函数y =f (x )的图象关于直线x = 2 对称，f (3)= 3 ，则f(-1)=（）【答案】3【解析】【分析】由偶函数可得f(-1)=f(1),f(1)=f(3)则f(-1)=3.【详解】由偶函数可得f(-1)=f(1),f(1)=f(3)则f(-1)=3.故答案为：3【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.5.集合U =R ，A =(-1, 2)，B ={x | y = ln (1 -x )}，则图中阴影部分所代表的集合为_____（结果用区间的形式表示）．【答案】[1,2)【解析】【分析】先化简集合B,再求得得解.【详解】由题得B=(-∞,1)，图像中阴影部分为.故答案为：[1,2)【点睛】本题主要考查韦恩图和集合的化简运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.6.若函数f的单调递增区间是[3, +∞)，则a 的值为_____．【答案】-6【解析】【分析】先求出函数的单调区间，再得到，解之即得解.【详解】由题得y=f(x)在函数在单调递减,在单调递增,则.故答案为：-6【点睛】本题主要考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.7.已知函数，如果以，为端点的线段的中点在y 轴上，那=（）【答案】1【解析】【分析】由题得再求的值.【详解】由题得,所以.故答案为：1【点睛】本题主要考查指数的运算，考查指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8.函数f (x )= 3x - 7 + ln x 的零点位于区间(n, n + 1)(n ∈N)内，则n= （）【答案】2【解析】【分析】先判断函数y=f(x)的单调性，再根据函数的零点定理求解.【详解】由题得函数在(0,+∞)单调递增,f(2)=-1+ln2<0,f(3)=2+ln3>0则零点在(2,3)之间,所以n=2.故答案为：2【点睛】本题主要考查函数的单调性和零点定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.9.若关于x 的方程在区间(1, 4)内有解，则实数a 的取值范围是_____．【答案】[-6,-2)【解析】【分析】转化成有交点, 再利用二次函数的图像求解.【详解】由题得，令f(x)=,所以，故答案为：[-6,-2)【点睛】本题主要考查二次方程的有解问题，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.10.若函数是奇函数，则使成立的x 的取值范围为_____．【答案】(1,+∞)【解析】【分析】先求出a的值，再解不等式得解.【详解】由题得. 经检验，a=1时，符合题意.所以即,所以.故答案为：(1,+∞)11.某商品在近30 天内每件的销售价格P （单位：元）与销售时间t （单位：天）的函数关系为，t ∈N ，且该商品的日销售量Q （单位:件）与销售时间t （单位：天）的函数关系为Q = -t + 40 (0 ≤t ≤ 30, t ∈N)，则这种商品的日销售量金额最大的一天是30 天中的第_____天．【答案】25【解析】【分析】分情况讨论即可获得日销售金额y关于时间t的函数关系式，根据分段函数不同段上的表达式，分别求最大值最终取较大者分析即可获得问题解答．【详解】由题意得：y=．当0＜t＜25，t∈N*时，y=（t+20）（40﹣t）=﹣t2+20t+800=﹣（t﹣10）2+900．∴t=10（天）时，y max=900（元），当25≤t≤30，t∈N*时，y=（﹣t+100）（40﹣t）=t2﹣140t+4000=（t﹣70）2﹣900，而y=（t﹣70）2﹣900，在t∈[25，30]时，函数递减．∴t=25（天）时，y max=1125（元）．∵1125＞900，∴第25天日销售额最大为1125元．【点睛】本题考查分段函数的应，考查分类讨论的思想、二次函数求最值得方法以及问题转化的能力，属于中档题．12.已知函数且关于x 的方程有且只有一个实根，且实数a 的取值范围是_____. 【答案】a≤-1【解析】【分析】关于x的方程f（x）+x+a=0有且只有一个实根⇔y=f（x）与y=﹣x-a的图象只有一个交点，结合图象即可求得．【详解】关于x的方程f（x）+x+a=0有且只有一个实根⇔y=f（x）与y=﹣x-a的图象只有一个交点，画出函数的图象如右图，观察函数的图象可知当-a≥1时，y=f（x）与y=﹣x-a的图象只有一个交点，即有a≤-1．故答案为：a≤-1【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的图象性质，但要注意函数的图象的分界点，考查利用图象综合解决方程根的个数问题．13.已知f(x)＝满足对任意x1≠x2都有>0成立，那么a的取值范围是____________．【答案】【解析】∵>0，∴ f(x)是增函数，∴解得≤a＜2.点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.14.已知函数，若f (f (x ))的最小值与f (x)的最小值相等，则实数b 的取值范围是__．【答案】【解析】【分析】首先这个函数f（x）的图象是一个开口向上的抛物线，也就是说它的值域就是大于等于它的最小值．y=f（f（x））它的图象只能是函数f（x）上的一段，而要这两个函数的值域相同，则函数y必须要能够取到最小值，这样问题就简单了，就只需要f（x）的最小值小于﹣.【详解】由于f（x）=x2+bx+2，x∈R．则当x=﹣时，f（x）min=﹣，又函数y=f（f（x））的最小值与函数y=f（x）的最小值相等，则函数y必须要能够取到最小值，即﹣≤﹣，得到b≤0或b≥2，所以b的取值范围为{b|b≥2或b≤0}．故答案为：【点睛】本题考查函数值域的简单应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、解答题（本大题共6 小题，共计58 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.已知幂函数的图象经过点(2,8)．⑴试确定m 的值；⑵求满足条件f(2-a)＞f(a-1)的实数a 的取值范围．【答案】(1)m=1;(2)【解析】【分析】(1)由题得=，解方程即得m的值.(2)根据函数的单调性得到，解不等式即得解.【详解】(1)由题得或m=-2(舍).(2)由题得,在R上单调递增,由f(2-a)>f(a-1)可得.【点睛】本题主要考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.16.已知f (x)=.⑴作出函数f (x)的图象；⑵写出函数f (x)的单调递增区间．⑶写出集合M ={m | 使方程f (x )=m有四个不相等的实根}.【答案】(1)见解析;(2)(1,2)和(3,+∞):(3)M={m|0<m<1}【解析】【分析】⑴由题得，再画出函数的图像.(2)根据函数的图像写出函数的单调递增区间.(3)利用数形结合得到m的取值范围.【详解】(1)由题得，再画出函数的图像如图所示，(2)由函数的图像得函数的单调递增区间为(1,2)和(3,+∞).(3)由图象可得m∈(0,1)时，方程f (x )=m有四个不相等的实根.则M={m|0<m<1}.【点睛】本题主要考查函数图像的作法，考查函数的图像和性质，考查利用数形结合解决函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.17.设全集U =R ，集合⑴求；⑵求实数a 的值．【答案】(1)(-,∞)(2)1【解析】【分析】(1)先求出，最后求(2)由题得，再求a的值.【详解】(1) 则.(2) 则a=1.【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，考查对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.已知函数（且）.（1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；（2）是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）不存在实数，使在上为减函数且最大值为.【解析】试题分析：（1）由为减函数得要使函数在上恒有意义只需恒成立即即可；（2）由，得，而时，在上需恒大于零不成立，故不存在符合题意的的值.试题解析：（1）由于为减函数，所以要使函数在上恒有意义，就是要求恒成立，只需，∴且，因此的取值范围是.（2）由于为减函数，要使在为减函数且最大值为1，则，且，∴.又在上需恒大于零，∴，∴，这与矛盾，故不存在实数，使在上为减函数且最大值为1.考点：1、对数函数的定义域；2、复合函数的单调性及不等式恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查对数函数的定义域、复合函数的单调性及不等式恒成立问题，属于难题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.本题（2）就是考虑对数函数及一次函数单调性的同时兼顾函数的定义域后，在根据不等式恒成立解答的.19.已知函数（x ∈R ,且e 为自然对数的底数）．⑴判断函数f (x)的单调性与奇偶性；⑵是否存在实数t ，使不等式对一切的x ∈R 都成立？若存在，求出t 的值，若不存在说明理由．【答案】(1)证明见解析;(2)存在,【解析】【分析】(1)利用函数奇偶性和单调性的定义证明函数的奇偶性和单调性.(2)由函数的奇偶性和单调性得到对一切的x∈R都成立,再利用判别式得解.【详解】函数定义域为R,关于原点对称, ,则,则f(x)是奇函数.以下证明f(x)在R上单调递增:任取x1,x2∈R,令x1<x2 ,所以函数单调递增.(2)存在,证明: 等价成,则对一切的x∈R都成立,则可得。