2019-2020学年河南省新乡市中和镇实验中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2019-2020学年河南省新乡市中和镇实验中学高二数学
理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若f（x）=sinα﹣cosx，则f′（α）等于（）
A．cosαB．sinαC．sinα+cosαD．2sinα
参考答案：
B
【考点】导数的运算．
【分析】求导时应注意α，x的区分．
【解答】f'（x）=sinx，f'（α）=sinα．故选B．
2. 不等式3x－2y－6>0表示的区域在直线3x－2y－6＝0
的（）
A．右上方 B．右下方 C．左上
方 D．左下方
参考答案：
B
略
3. 下列正确的是（▲）
A．类比推理是由特殊到一般的推理B．演绎推理是由特殊到一般的推理
C.归纳推理是由个别到一般的推理
D. 合情推理可以作为证明的步骤参考答案：
C
略
4. ．已知ξ～B（n，p），且Eξ=7，Dξ=6，则p等于
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
5. 给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）
Ａ．①和②Ｂ．②和③Ｃ．.③和④Ｄ．②和④
参考答案：
D
①错, ②正确, ③错, ④正确.故选D
6. 如果, 那么（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
7. 直线是曲线的一条切线，则实数b的值为()
A．2 B．ln 2＋1 C．ln2－1 D．ln 2
参考答案：
C
∵y＝ln x的导数为y′＝，∴＝，解得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线y＝
x＋b得b＝ln 2－1.
8. 给定两个命题p, q,若p是q的必要而不充分条件,则p是q的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
试题分析：∵?p是q的必要而不充分条件，
∴q是?p的充分不必要条件，即q??p，但?p不能?q，
其逆否命题为p??q，但?q不能?p，
则p是?q的充分不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定
9. 已知某离散型随机变量服从的分布列如图，则随机
变量的方差等于（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
10. 已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为，双曲线C2的方程为，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 是圆上的三点，，的延长线与线段交于点，若，则的取值范围是．
参考答案：
12. 若圆的圆心位于第三象限，那么直线一定不经过
A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案：
D
13. 已知为互相垂直的单位向量，若向量与的夹角等于60，则实数
= .
参考答案：
14. 若定义在区间D上的函数，对于D上的任意n个值，总满足
，则称为D上的凸函数。

现已知
在上是凸函数，则在锐角三角形ABC中，的最大值是___________。

参考答案：
【分析】
利用已知结论，可将转化为的余弦求解，再由
为定值，即可求解，得到答案．
【详解】利用已知条件，可得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中认真审题，利用已知条件得到式子的运算规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
15. 函数的定义域为A，若时总有，则称为单函数，例如：函数是单函数。

给出下列命题：
①函数是单函数；
②指数函数是单函数；
③若为单函数，；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数。

其中的真命题是。

（写出所有的真命题的序号）
参考答案：
②③④
略
16. 双曲线x2﹣=1的渐近线方程是．
参考答案：
y=±2x
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】渐近线方程是=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．
【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，
其渐近线方程是=0，
整理得y=±2x．
故答案为y=±2x．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．
17. 某人射击次，命中~环的概率如下图所示：
环环环环
则“射击次，命中不足环”的概率为▲．
参考答案：
0.1
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且经过点A（1，0），直线l交C 于M、N两点
（1）求椭圆C的方程
（2）若△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．
参考答案：
考点：椭圆的简单性质．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）利用椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且经过点A（1，0），求出a，b，即可求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l的方程为x=my+n，代入椭圆方程，利用韦达定理，根据△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求出m，n，即可求直线l的方程．
解答：解：（1）由题意，b=1，
∵=1﹣e2=，
∴a=2，
∴椭圆C的方程为=1；
（2）设l：x=my+n，代入椭圆方程可得（4m2+1）y2+8mny+4n2﹣4=0，△=16（4m2﹣n2+1）
设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，∵AM⊥AN，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，
∴（m2+1）y1y2+m（n﹣1）（y1+y2）+（n﹣1）2=0，
∴（m2+1）?+m（n﹣1）（﹣）+（n﹣1）2=0
∴n=﹣或1（舍去）．
MN的中点（，）
∵AM=AN，
∴=﹣m，
∵n=﹣，
∴m=0或m2=，
此时△＞0，
从而直线l的方程为x=﹣或x=±y﹣．
点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19. （本小题满分12分）已知方程.
（Ⅰ）若此方程表示圆，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线相交于M，N两点，且OM ON（O为坐标原点），求的值；
参考答案：
20. 已知函数在点处的切线方程为.
（1）求a、b的值；
（2）求f(x)在R上的极值.
参考答案：
（1）；（2）极小值为－4，极大值为28.
【分析】
（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，再利用切点既在切线上又在函数图象上，列出两个方程，即可求出、的值；（2）利用导数求极值的步骤，求导，再求导函数零
点，判断零点两侧符号，即可求出极值。

【详解】（1），所以，解得；（2）由（Ⅰ）知，，，
令，解得或
由得，或
由得，
当变化时，的变化情况如下表：
因此，当时，有极小值，极小值为
当时，有极大值，极大值为。

【点睛】本题主要考查曲线在某点处的切线求法，以及利用导数求函数的极值。

21. 如图，在直三棱柱中，。

（I）求证：；
（II）求二面角的余弦值。

参考答案：
解法一：
（I）由AC=1，AB=，BC=知AC2+AB2=BC2，
所以AC⊥AB。

因为ABC—A1B1C1是直三棱柱，面ABB1A1⊥面ABC，
所以AC⊥面ABB1A1。

………………3分
由，知侧面ABB1A1是正方形，连结AB1，所以A1B⊥AB1。

由三垂线定理得A1B⊥B1C。

………………6分
（II）作BD⊥B1C，垂足为D，连结A1D。

由（I）知，A1B⊥B1C，则B1C⊥面A1BD，
于是B1C⊥A1D，
则∠A1DB为二面角
A1—B1C—B的平面角。

………………8分
∴Rt△A1B1C≌Rt△B1BC，
故二面角A1—B1C—B的大小为………………12分
略
22. （本小题14分）已知函数.
（1）当时，求在处切线的斜率；
（2）当时，讨论的单调性；
（3）设.当时，若对于任意，存在使成立，求实数的取值范围.
参考答案：
解：（1）
则在处切线的斜率………4分
（2）函数的定义域为
①当时，令解得，
；
函数的单调递增区间为，单调递减区间为………6分
②当时，解得或且
列表
极
由表可知函数的单调递减区间为；单调递增区间为，单调递减区间为；
③当时，函数的单调递减区间为 (10)
分
(3)，解得或
的单调递减区间为；单调递增区间为，的最小值为
原命题等价于在的最小值不大于在上的最小值，
又
①当时，的最小值为，不合；
②当时，的最小值为，解得；
③当时，的最小值为，解得，
综上，的取值范围．………14分略。