高一数学试题答案及解析

高一数学试题答案及解析
1.把长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形最小的面积之
和是．
【答案】2 cm2．
【解析】设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为（4﹣x）cm，则可得到这两个
正三角形面积之和，利用二次函数的性质求出其最小值．
解：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为（4﹣x）cm，两个三角形的面积和
为
S=x2+（4﹣x）2=x2﹣2x+4．
令S′=x﹣2=0，则x=2，所以S
min
=2．
故答案为：2 cm2．
点评：本题考查等边三角形的面积的求法，二次函数的性质及最小值的求法．
2.（3分）函数f（x）=x3﹣3x+1在[﹣3，0]上的最大值和最小值之和为．
【答案】﹣14
【解析】利用求导公式先求出函数导数，求出导数等于0时x的值，吧x值代入原函数求出极值，再求出端点值，极值与端点值比较，求出最大值和最小值，做差．
（1）解：f′（x）=3x2_3
令f′（x）="0" 则x=±1，
极值：f（1）=﹣1，f（﹣1）=3，
端点值：f（﹣3）=﹣17，f（0）=1．
所以：最大值为3 最小值为﹣17，最大值和最小值之和为﹣14
故答案为：﹣14
点评：该题考查函数求导公式，以及可能取到最值的点，属于基本题，较容易．
3.曲线y=x3在点（0，0）处的切线方程是．
【答案】y=0．
【解析】先求出函数y=x3的导函数，然后求出在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜
式方程求出切线方程即可．
解：∵y′=（x3）′=3x2，
∴k=3×02=0，
∴曲线y=x3在点（0，0）切线方程为y=0．
故答案为：y=0．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
4.已知直线y=kx与曲线y=lnx相切，则k= ．
【答案】
【解析】设切点，求出切线斜率，利用切点在直线上，代入方程，即可得到结论．
解：设切点为（x
0，y
），则
∵y′=（lnx）′=，∴切线斜率k=，
又点（x
0，lnx
）在直线上，代入方程得lnx
=•x
=1，∴x
=e，
∴k==．
故答案为：．
点评：本题考查切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．5.曲线y=x3+x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．
【答案】
【解析】先对函数进行求导，求出在x=1处的导数值即为切线的斜率值，从而写出切线方程，然后求出切线方程与两坐标轴的交点可得三角形面积．
解：∵y=x3+x，∴y'=x2+1∴f'（1）=2
在点（1，）处的切线为：y=2x﹣与坐标轴的交点为：（0，），（，0）
S=，
故答案为：．
点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点处的导数值等于该点的切线的斜率．属基础题．
6.设μ∈R，函数f（x）=e x+的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数，若曲线y=f（x）的一条切线的斜率是，则该切点的横坐标是．
【答案】ln2．
【解析】对函数求导，先有导函数为奇函数可求μ，利用导数的几何意义设切点，表示切线的斜率，解方程可得．
解析：∵f（x）=e x+，
∴f′（x）=e x﹣，
由于f′（x）是奇函数，∴f′（﹣x）=﹣f′（x）对于x恒成立，则μ=1，
∴f′（x）=e x﹣．
又由f′（x）=e x﹣=，
∴2e2x﹣3e x﹣2=0即（e x﹣2）（2e x+1）=0，
解得e x=2，故x=ln2．
故答案：ln2．
点评：本题主要考查函数的导数的定义及导数的四则运算及导数的运算性质、函数的奇偶性、导数的几何意义：在某点的导数值即为改点的切线斜率，属于基础知识的简单运用，难度不大．
7.设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m万千米和m万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为和，求该彗星与地球的最近距离．
【答案】m万千米．
【解析】仔细分析题意，由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时，彗星与地球的距离才达到最小值即为a﹣c，这样把问题就转化为求a，c或a﹣c．
解：建立如图所示直角坐标系，设地球位于焦点F（﹣c，0）处，
椭圆的方程为+=1，
当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时，
由椭圆的几何意义可知，彗星A只能满足∠xFA=（或∠xFA′=）．
作AB⊥Ox于B，则|FB|=|FA|=m，
故由椭圆的第二定义可得
m=（﹣c），①m=（﹣c+m）．②
两式相减得m=•m，∴a=2c．
代入①，得m=（4c﹣c）=c，
∴c=m．∴a﹣c=c=m．
答：彗星与地球的最近距离为m万千米．
点评：本题主要考查椭圆的定义，本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解．同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考．
8.根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3 m，宽1.6 m．现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4 m的距离行驶．已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍，若拱宽为a m，求能使卡车安全通过的a的最小整数值．
【答案】14m
【解析】根据问题的实际意义，卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线0.4m到2m间的道路行驶为最佳路线，因此，卡车能否安全通过，取决于距隧道中线2m（即在横断面上距拱口中点2m）处隧道的高度是否够3m，据此可通过建立坐标系，确定出抛物线的方程后求得．
解：如图，以拱口AB所在直线为x轴，以拱高OC所在直线为y轴建立直角坐标系，由题意可得抛物线的方程为x2=﹣2p（y﹣），
∵点A（﹣，0）在抛物线上，
∴（﹣）2=﹣2p（0﹣），得p=．
∴抛物线方程为x2=﹣a（y﹣）．
取x=1.6+0.4=2，代入抛物线方程，得
22=﹣a（y﹣），y=．
由题意，令y＞3，得＞3，
∵a＞0，∴a2﹣12a﹣16＞0．
∴a＞6+2．
又∵a∈Z，∴a应取14，15，16，．
答：满足本题条件使卡车安全通过的a的最小正整数为14m．
点评：本题是抛物线实际应用的经典试题，同学们需注意掌握，此类题一般不难，关键是读准题意，确定好抛物线方程的解析式，再根据抛物线的性质结合题中问题求解．
9.一摩托车手欲飞跃黄河，设计摩托车沿跑道飞出时前进方向与水平方向的仰角是12°，飞跃的水平距离是35 m，为了安全，摩托车在最高点与落地点的垂直落差约10 m，那么，骑手沿跑道飞出时的速度应为多少？（单位是km/h，精确到个位）
（参考数据：sin12°=0.2079，cos12°=0.9781，tan12°=0.2125）
【答案】见解析
【解析】本题的背景是物理中的运动学规律，摩托车离开跑道后的运动轨迹为抛物线，它是由水平方向的匀速直线运动与竖直方向上的上抛运动合成的，它们运行的位移都是时间t的函数，故应引入时间t，通过速度v的矢量分解来寻找解决问题的途径．
解：摩托车飞离跑道后，不考虑空气阻力，其运动轨迹是抛物线，轨迹方程是x=vtcos12°，
y=vtsin12°﹣×9.8t2．
其中v是摩托车飞离跑道时的速度，t是飞行时间，x是水平飞行距离，y是相对于起始点的垂直高度，将轨迹方程改写为
y=﹣×9.8x2+tan12°•x，
即y=﹣5.1219+0.2125x．
当x≈0.0207v2时，
取得y
max
≈0.0022v2．
当x=35时，y
落
=﹣6274.3275+7.4375．
∵y
max ﹣y
落
=10，
点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生利用所学知识解决实际问题的能力．
10.若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为（）
A．（8，8）B．（8，﹣8）C．（8，±8）D．（﹣8，±8）
【答案】C
【解析】先求出抛物线的准线，再由P到焦点的距离等于其到准线的距离，从而可确定P的横坐标，代入抛物线方程可确定纵坐标，从而可确定答案．
解：设P（x
P ，y
P
），
∵点P到焦点的距离等于它到准线x=﹣2的距离，
∴x
P =8，y
P
=±8，
故选C．
点评：本题主要考查抛物线的简单性质﹣﹣抛物线上的点是到焦点的距离等于到准线的距离的集合．
11.动点到点（3，0）的距离比它到直线x=﹣2的距离大1，则动点的轨迹是（）
A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线
【答案】D
【解析】把动点到已知的定点和定直线的距离转化，再根据抛物线的定义即可得到动点的轨迹方程
解：∵动点到点（3，0）的距离比它到直线x=﹣2的距离大1
∴动点到点（3，0）的距离等于它到直线x=﹣3的距离
∴由抛物线的定义知，该动点的轨迹是以点（3，0）为焦点，以直线x=﹣3为准线的抛物线
故选D
点评：本题考查抛物线的定义，要注意顶点与定直线的转化．属简单题
12.（2009•四川）已知直线l
1：4x﹣3y+6=0和直线l
2
：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线
l 1和直线l
2
的距离之和的最小值是（）
A．2B．3C．D．
【答案】A
【解析】先确定x=﹣1为抛物线y2=4x的准线，再由抛物线的定义得到P到l
2
的距离等于P到抛物线的焦点F（l，0）的距离，进而转化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F（l，0）和
直线l
2
的距离之和最小，再由点到线的距离公式可得到距离的最小值．
解：直线l
2
：x=﹣1为抛物线y2=4x的准线，
由抛物线的定义知，P到l
2
的距离等于P到抛物线的焦点F（1，0）的距离，
故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F（1，0）和直线l
1
的距离之和最小，
最小值为F（1，0）到直线l
：4x﹣3y+6=0的距离，
1
即d=，
故选A．
点评：本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，考查基础知识的综合应用．圆锥曲线是高考的热点也是难点问题，一定要强化复习．
13.（2008•上海）若直线ax﹣y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点，则实数a= ．
【答案】﹣1
【解析】先求出抛物线的焦点坐标，然后代入即可求出a．
解：直线ax﹣y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点F（1，0），则a+1=0∴a=﹣1．
故答案为：﹣1
点评：本题主要考查抛物线的性质．属基础题．
14.（3分）已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是（0，13），另一个顶点是（﹣10，0），则焦点坐标为（）
A．（±13，0）B．（0，±10）C．（0，±13）D．（0，±）
【答案】D
【解析】由题意可得椭圆的焦点在y轴上且a=13，b=10，利用c2=a2﹣b2即可得到c．
解：由题意可得椭圆的焦点在y轴上且a=13，b=10，∴=．
∴焦点为．
故选D．
点评：熟练掌握椭圆的性质是解题的关键．
15.（3分）（2007•安徽）椭圆x2+4y2=1的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】把椭圆的方程化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2求出c的值，利用离心率公式e=，把a与c的值代入即可求出值．
解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，得到a=1，b=，
则c==，所以椭圆的离心率e==．
故选A
点评：此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法，灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是一道综合题．
16.（3分）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是（﹣，0），（，0），离心率是，则椭圆C的方程为（）
A．+y2=1B．x2+=1C．+y=1D．+=1
【答案】A
【解析】由题意可设椭圆C的标准方程为．则，解出即可．
解：由题意可设椭圆C的标准方程为．
则，解得，
∴椭圆C的方程为．
故选A．
点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质是解题的关键．
17.（3分）已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为9，离心率为的椭圆的标准方程为．
【答案】或．
【解析】由题意可得，解得a与b即可．
解：由题意可得，解得．
∴椭圆的标准方程为或．
故答案为或．
点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质事件他的关键．
18.（3分）命题“若a＜b，则2a＜2b”的否命题为，命题的否定为．
【答案】否命题为：若a≥b，则2a≥2b
命题的否定为：若a＜b，则2a≥2b
【解析】同时否定条件和结论得到命题的否命题．不改变条件，只否定结论，得到命题的否定．解：命题“若a＜b，则2a＜2b”的否命题为：若a≥b，则2a≥2b，
命题的否定为：若a＜b，则2a≥2b．
故答案为：否命题为：若a≥b，则2a≥2b
命题的否定为：若a＜b，则2a≥2b
点评：本题考查了命题的否命题和命题的否定．
19.（8分）已知命题p：1∈{x|x2＜a}；q：2∈{x|x2＜a}
（1）若“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．
【答案】（1）a＞1；（2）a＞4．
【解析】根据题意，首先求得P为真与q为真时，a的取值范围，
（1）若“p∨q”为真命题，则p、q为至少有一个为真，对求得的a的范围求并集可得答案；（2）若“p∧q”为真命题，则p、q同时为真，对求得的a的范围求交集可得答案．
解：若P为真，则1∈{x|x2＜a}，所以12＜a，则a＞1；若q为真，则2∈{x|x2＜a}，有x2＜a，解可得a＞4；
（1）若“p∨q”为真，
则p、q为至少有一个为真，
即a＞1和a＞4中至少有一个成立，取其并集可得a＞1，
此时a的取值范围是a＞1；
（2）若“p∧q”为真，
则p且q同时为真，
即a＞1和a＞4同时成立，取其交集可得a＞4，
此时a的取值范围是a＞4．
点评：本题考查复合命题真假的判断，要牢记复合命题真假的判读方法．
20.（10分）已知命题p：x
1和x
2
是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x
1
﹣x
2
|
对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立；命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．
【答案】a≤﹣1．
【解析】本题考查的知识点是命题的真假判定，由命题p：x
1和x
2
是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实
根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x
1﹣x
2
|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立，我们易求出P是真命题时，a的
取值范围；由命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，我们也易求出q为假命题时的a的取值范围，再由命题p是真命题，命题q是假命题，求出两个范围的公共部分，即得答案．
解：∵x
1，x
2
是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根
∴
∴|x
1﹣x
2
|=
=
∴当m∈[﹣1，1]时，|x
1﹣x
2
|
max
=3，
由不等式a2﹣5a﹣3≥|x
1﹣x
2
|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立．
可得：a2﹣5a﹣3≥3，∴a≥6或a≤﹣1，
∴命题p为真命题时a≥6或a≤﹣1，
命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解．
①当a＞0时，显然有解．
②当a=0时，2x﹣1＞0有解
③当a＜0时，∵ax2+2x﹣1＞0有解，
∴△=4+4a＞0，∴﹣1＜a＜0，
从而命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解时a＞﹣1．
又命题q是假命题，
∴a≤﹣1，
故命题p是真命题且命题q是假命题时，
a的取值范围为a≤﹣1．
点评：若p为真命题时，参数a的范围是A，则p为假命题时，参数a的范围是C
R
A．这个结论在命题的否定中经常用到，请同学们熟练掌握。