江西省景德镇市峙滩中学2021年高三数学理月考试卷含解析

江西省景德镇市峙滩中学2021年高三数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若复数，为虚数单位，则
A． B． C． D．3
参考答案：
A
本题主要考查了复数的运算等，难度较小。

由于z=1+i，则（1+z）·z=（1+1+i）（1+i）=（2+i）（1+i）=1+3i，故选A；
2. 已知奇函数与偶函数满足，且，则的值为
A.
B. 2
C.
D.
参考答案：
D
3. 如图,不规则图形ABCD中：AB和CD 是线段，AD和BC是圆弧，直线⊥AB于E，当从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE=，左侧部分面积为，则关于的大致图象为
参考答案：D
4. 对于函数(其中)，选取的一组值计算和
，所得出的正确结果一定不可能是
（）
A、4和6
B、2和1
C、2和4
D、1和3
参考答案：
B
略
5. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是
A． B． C．
D．
参考答案：
D
6. 关于函数有下述四个结论：（）
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间上是单调递增函数；
③f(x)在R上的最大值为2；④f(x)在区间上有4个零点.
其中所有正确结论的编号是（）
A. ①②④
B. ①③
C. ①④
D. ②④
参考答案：
C
【分析】
根据函数的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号. 【详解】的定义域为.
由于，所以偶函数，故①正确.
由于，，所以在区间上不是单调递增函数，所以②错误.
当时，，
且存在，使.
所以当时，；
由于为偶函数，所以时，
所以的最大值为，所以③错误.
依题意，，当时，
，
所以令，解得，令，解得.所以在区间，
有两个零点.由于为偶函数，所以在区间有两个零点.故在区间上有4个零点.所以④正确.
综上所述，正确的结论序号为①④.
故选：C
【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
7. 已知复数z=1+i，则（）
A．2i B．—2i C．2 D．—2
参考答案：
A
8. 设表示三条直线，表示三个平面，则下列命题中不成立的是A. 若∥，则∥
B. 若，∥，则
C. 若，是在内的射影，若，则
D. 若，则
参考答案：
D
9.
定义在上的函数是单调递减函数（如图），给出以下四个结论：
①②③④
其中正确结论的个数为（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
参考答案：
答案：D
10. 以下说法正确的
是
（）
A.命题“都是有理数”的否定是“都不是有理数”；
B.设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的充要条件；
C .用相关系数来判断两个变量的相关性时，越小，说明两个变量的相关性越弱； D.将一组数据中的每个数据加上或减去同一个数后，方差恒不变.
参考答案：
D 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 对于函数，存在区间
，当
时，
，则称
为
倍值函数。

已知是倍值函数，则实数的取值范围是 ．
参考答案：
12. 执行如图所示的程序框图
,若输入的值为,则输出的值为__
参考答案： 7 略
13. 在平面直角坐标系
xoy 中，点P 是直线3x+4y+3=0上的动点，过点P 作圆C ：x
2
+y 2
﹣2x ﹣2y+1=0的两条切线，切点分别是A ，B ，则|AB|的取值范围为 ．
参考答案：
[
，2）
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】利用直线和圆的位置关系，求出两个极端位置|AB|的值，即可得到结论．
【解答】解：圆心C （1，1），半径R=1，要使AB 长度最小，则∠ACB 最小，即∠PCB 最小，
即PC 最小即可，由点到直线的距离公式可得d==2
则∠PCB=60°，∠ACB=120°，即|AB|=
，
当点P 在3x+4y+3=0无限远取值时，∠ACB→180°， 此时|AB|→直径2， 故
≤|AB|＜2，
故答案为：[
，2）．
14. 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不
同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________（用数字作答)． 参考答案：
解析：本小题主要考查排列组合知识。

依题先排除1和2的剩余4个元素有
种方案，再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体，有种插法，
∴不同的安排方案共有
种。

15. 已知A 、B 、C 三点共线，O 为直线外任意一点，且，则
的
最小值为 参考答案：
略
16. 如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，，圆的半径为
，则圆心
到
的距离为_________________．
参考答案：
略
17. 已知函数，则________；f(x)的值域为_______
参考答案：
0 (－∞,0)
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知圆C与两圆，外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点
与点的距离的最小值为，点与点的距离为.
(Ⅰ)求圆C的圆心轨迹L的方程；
（Ⅱ）求满足条件的点的轨迹Q的方程；
（Ⅲ）试探究轨迹Q上是否存在点，使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于。

若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由。

参考答案：
（Ⅰ）两圆半径都为1，两圆心分别为、，由题意得，可知圆心C的轨
迹是线段的垂直平分线，的中点为，直线的斜率等于零，故圆心C的轨迹是
线段的垂直平分线方程为，即圆C的圆心轨迹L的方程为。

（Ⅱ）因为，所以到直线的距离与到点的距离相等，故点的轨迹Q
是以为准线，点为焦点，顶点在原点的抛物线，，即，所以，轨迹Q的方程是
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，，所以过点B的切线的斜率为，切线方程为
，令得，令得，
因为点B在上，所以
故，
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
设，即得，所以
当时，，当时，，所以点B的坐标为或.
略
19. 如图,某市有一条东西走向的公路l,现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m.在施工过程中发现在O处的正北方向1百米的A处有一汉代古迹.为了保护古迹,该市决定以A为圆心、1百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路l,m,欲再新建一条公路PQ,点P,Q分别在公路l,m上(点P,Q 分别在点O的正东、正北方向),且要求PQ与圆A相切.
(1) 当点P距O处2百米时,求OQ的长;
(2) 当公路PQ的长最短时,求OQ的长.
参考答案：
以为原点，直线、分别为轴建立平面直角坐标系．
设与圆相切于点，连结，以百米为单位长度，则圆的方程为，(1)由题意可设直线的方程为，即，，
∵与圆相切，∴，解得，
故当距处百米时，的长为百米．……………6分
（2）设直线的方程为，即，，
∵与圆相切，∴，化简得，则，……9分
令，∴，
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增，
∴在时取得最小值，故当公路长最短时，的长为百米．
答：（1)当距处百米时，的长为百米；（2）当公路长最短时，的
长为百米．……………16分
20. 在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为，若以O为极点，x轴正
半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为：，求直线l被曲线C 所截的弦长。

参考答案：
21. 如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（I）求证：平面AEC⊥平面PDB;
（II）当PD=AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．参考答案：
略
22. 已知椭圆E：+=1（a＞b＞1）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，P是椭圆上一点，且△PF1F2面积的最大值等于．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+m与以线段F1F2为直径的圆O相切，并与椭圆E相交于不同的两点A、B，若?=﹣．求k的值．
参考答案：
考点：椭圆的简单性质．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（I）由△PF1F2面积的最大值等于，可得bc=，利用离心率为，可得=，即可求椭圆E的方程；
（II）由于圆O是以F1，F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，利用直线与圆相切的从要条件
得到一个等式，把直线方程与椭圆方程联立利用整体代换的思想，根据?=﹣建立k的方程求k．
解答：解：（1）由△PF1F2面积的最大值等于，可得bc=，
∵离心率为，∴=，解得：a=2，b=，
∴椭圆的方程为：；
（II）由直线l与圆O相切，得：=1，∴m2=1+k2，
设A（x1，y1）B（x2，y2），
由直线代入椭圆方程，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
∴x1+x2=﹣，x1x2=，
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=k2×+km（﹣）+m2
=，
∴x1x2+y1y2=+==﹣，
解得：k=±．
点评：此题考查了椭圆的基本性质及椭圆的标准方程，还考查了直线方程与椭圆方程联立之后的整体代换设而不求，还有求解问题时方程的思想．。