第1节-集合-备战2023年高考数学一轮复习考点帮(全国通用)(原卷版)

第1节集合
（本卷满分150分，考试时间120分钟。

）
一、单选题
1．已知集合{}225A x x =≤，107x B x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭
，则A B = （）A ．(],5-∞-B ．[)5,1--C ．[][)5,15,7--⋃D ．[]
5,1--2．已知集合{}2320A x x x =-+<，{}2log 1B x x =<，则（）
A ．A
B =∅ B ．A B = R
C ．A B B
= D ．A B A = 3．设集合{}{}{}0,1,2,3,4,(3)0,24,U A x x x B x x x *==-==≤≤∈N ，则()U A B = ð（）
A ．{2,4}
B ．{2,3,4}
C ．{2}
D ．{1,2,3,4}
4．已知集合{}220A x x x =->，{}B x x a =>，若A B =R ，则实数a 的取值范围是
（）
A ．(),0∞-
B ．(]
,0-∞C ．()
2,+∞D ．[)2,+∞
5．设全集U =R ，集合{}0,1,2,3,4,5M =，{N x y =，则下面Venn 图中阴影部分表示的集合是（）
A ．(),2-∞
B ．(],2-∞
C ．{}0,1
D ．{}0,1,26．已知*N 表示正整数集合，若集合(){}22**,|21,N ,N A x y x y x y =
+≤∈∈，则A 中元素的个数为（
）A ．16B ．15C ．14D ．13
7．设集合{}()()2,1,0,1,2,3,{120}A B x x x =--=+-<，则A B = （
）A ．{0,1}B ．{1,0,1}-C ．{2,1,0,1}--D ．{1,0,1,2}
-8．已知集合()22,1,,42x y A x y x Z y Z ⎧⎫=+≤∈∈⎨⎬⎩⎭
，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．10C ．11D ．12
二、多选题
9．集合M 在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为M .若集合
(){}
22,925A x y x y =≤+≤，(){},B x y y x m ==+，(){},2C x y y kx k ==+-则下列说法中正确的有（）
A ．若A
B ⋂≠∅，则实数m 的取值范围为{m m -≤≤B ．存在k ∈R ，使A
C ⋂≠∅
C ．无论k 取何值，都有A C ⋂≠∅
D ．A C
的最大值为410．若非空集合G 和G 上的二元运算“⊕”满足：①,a b G ∀∈，a b G ⊕∈；②I G ∃∈，对a G ∀∈，a I I a a ⊕=⊕=：③I G ∃∈，使a G ∀∈，b G ∃∈，有a b I b a ⊕==⊕；④,,a b c G ∀∈，()()a b c a b c ⊕⊕=⊕⊕，则称(,)G ⊕构成一个群.下列选项对应的(,)G ⊕构成一个群的是（）
A ．集合G 为自然数集，“⊕”为整数的加法运算
B ．集合G 为正有理数集，“⊕”为有理数的乘法运算
C ．集合{1,1,,}G i i =--(i 为虚数单位)，“⊕”为复数的乘法运算
D ．集合{0,1,2,3,4,5,6}G =，“⊕”为求两整数之和被7除的余数
11．已知集合(){}()12,,,,1,2,,1n n i R x x x x R i n n =⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ⋅⋅⋅，
()12,,,n B b b b ⋅⋅⋅，且()1,n i i i d A B a b ==-∑，则下列说法正确的是（
）A ．若()1,2,1A -，
()4,6,2B ，则(),10
d A B =B ．当2n =时，设C 为2R 上一点，在△ABC 中，若90C =︒，则
()()()222
,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦C ．当3n =时，设C 为3R 上一点，则()()()
,,,d A C d B C d A B +≥D ．若()0,0,0A ，()4,4,4B ，设(),,P x y z 为3R 上一点，其中,,x y z Z ∈，则满足
()()(),,,d A P d B P d A B +=的点P 有125个
12．两个集合A 和B 之间若存在一一对应关系，则称A 和B 等势，记为A B :．例如：若A 为正整数集，B 为正偶数集，则A B :，因为可构造一一映射()2x A
f x x ∈=．下列说法中正确的是（）
A ．两个有限集合等势的充分必要条件是这两个集合的元素个数相同
B ．对三个无限集合A 、B 、
C ，若A B :，B C ，则A C
C ．正整数集与正实数集等势
D ．在空间直角坐标系中，若A 表示球面：2222x y z z ++=上所有点的集合，B 表示平面xOy 上所有点的集合，则A B
:三、填空题
13．设集合1,2x A y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
R ，集合12,0B y y x x ⎧⎫⎪⎪==≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A B = ________．14．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________.
15．已知非空集合A ，B 满足：A B = R ，A B =∅ ，函数()3,,32,x x A f x x x B ⎧∈=⎨-∈⎩
对于下列结论：
①不存在非空集合对(),A B ，使得()f x 为偶函数；
②存在唯一非空集合对(),A B ，使得()f x 为奇函数；
③存在无穷多非空集合对(),A B ，使得方程()0f x =无解．
其中正确结论的序号为_________．
16．已知集合M ＝{x ∈N |1≤x ≤21}，集合A 1，A 2，A 3满足①每个集合都恰有7个元素；②A 1∪A 2∪A 3＝M ．集合Ai 中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai 的特征数，记为Xi （i ＝1，2，3），则X 1+X 2+X 3的最大值与最小值的和为___．
四、解答题
17．设全集U =R ，集合{}22940A x x x =-+≤，{}2B x a x a =-<<.
(1)当2a =时，求()U C A B ⋃；
(2)若A B A = ，求实数a 的取值范围.
18．已知集合{}
2120A x x x =--≤，{}22210,0B x x x m m =-+-≤>.(1)若2m =，求()R A B ð；
(2)x A ∈是x B ∈的___________条件，若实数m 的值存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.（请在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处）注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
19．设[]111,I a b =，[]222,I a b =，…，[],n n n I a b =，[]111,n n n I a b +++=，是()*1N n n +∈个互不
相同的闭区间，若存在实数0x 使得()01,2,,1i x I i n ∈=+ ，则称这1n +个闭区间为聚合区间，0x 为该聚合区间的聚合点．
(1)已知[]11,3I =，[]()22,sin 0I t t π=-<<为聚合区间，求t 的值；
(2)已知[]111,I a b =，[]122,I a b =，…，[],n n n I a b =，[]111,n n n I a b +++=为聚合区间．（ⅰ）设0x ，0y 是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k ，{}1,2,,1j n ∈+ ，使得(),1,2,,1k j i a b I i n ⎡⎤⊆=+⎣⎦ ；
（ⅱ）若对任意p ，q （p q ≠且p ，{}1,2,,1q n ∈+ ），都有p I ，q I 互不包含．求证：存在
不同的i ，{}121j n ∈+，，， ，使得()1i j i i n b a b a n
--≥-．20．已知集合(){}1234i ,,,,N,i 1,2,3,4A x x x x x αα==∈=．对集合A 中的任意元素()1234,,,x x x x α=，定义()12233441(),,,α=----T x x x x x x x x ，当正整数2n ≥时，定义()1()()αα-=n n T T T （约定1()()αα=T T ）．
(1)若(2,0,2,1),(2,0,2,2)αβ==，求4()αT 和4()βT ；
(2)若()1234,,,x x x x α=满足{0,1}(i 1,2,3,4)i x ∈=且2()(1,1,1,1)α=T ，求α的所有可能结果；
(3)是否存在正整数n 使得对任意()()12341243,,,α=∈≥≥≥x x x x A x x x x 都有()(0,0,0,0)α=n T ？若存在，求出n 的所有取值；若不存在，说明理由．21．已知数集{}()12312,,,,1,2n n A a a a a a a a n ==<<<≥ 具有性质P ：对任意的(2),,(1)k k n i j i j n ≤≤∃≤≤≤，使得k i j a a a =+成立.
(1)分别判断数集{1,3,5}与{1,2,3,6}是否具有性质P ，并说明理由；
(2)已知()
12n n S a a a n *=+++∈N ，求证：21n n a S -≤；(3)若36n a =，求数集A 中所有元素的和的最小值.
22．已知集合(){}{}
12,,,,0,1
,1,2,,n n i S X X x x x x i n ==∈= ，其中2n ≥．对于()12,,,n A a a a = ，()12,,,n n B b b b S =∈ ，定义A 与B 之间的距离为()1,n i i i d A B a b ==-∑．
（1）记()41,1,1,1I S =∈，写出所有4A S ∈使得(),3d I A =；
（2）记()1,1,,1n I S =∈ ，A 、n B S ∈，并且()(),,d I A d I B p n ==≤，求(),d A B 的最大值；
（3）设n P S ⊆，P 中所有不同元素间的距离的最小值为k ，记满足条件的集合P 的元素个
数的最大值为m ，求证：0112n
k n n n m C C C -≥+++ ．。