2018年贵州省贵阳市兴仁第一中学高三数学文模拟试题含解析

2018年贵州省贵阳市兴仁第一中学高三数学文模拟试
题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图所示，已知则下列等式中成立的是
（A）（B）
（C）（D）
参考答案：
A
2. 已知椭圆+=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m 等于（）
A．10 B．5 C．15 D．25
参考答案：
D
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】利用椭圆的定义，化简求解即可．
【解答】解：由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10，椭圆+=1可知，椭圆的焦点坐标在x轴，
∴a=5，∴a2=25，即m=25．
故选：D．
3. 如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线，AC与BO交于点E，某指数函数，经过点E，B，则a=
A. B. C. 2 D. 3
参考答案：
A
试题分析：设点A（0，m）,则由已知可得，C()E()B()．又因点E、B
在指数函数图像上，所以,两式相除得，∴．故选A．考点：已知图像上点求函数解析式．
【方法点睛】本题是通过四边形的面积求出相应点的坐标，然后代入指数函数的解析式
中，求出a的值即可．思路简单，难点在于解关于m,a的方程组，注意消元技巧．
4. 若x、y满足条件,且当x=y=3时,z =ax+y取最大值，则实数a的取值范围是（）
A．（-） B．（-∞，-）∪（，+∞）
C．（） D．（-∞，-）∪（，+∞）
参考答案：
C
5. 已知直相切，则等
于（）
A．－1 B．－5 C．－1或－5 D．1或－5
参考答案：
B
6. 命题“若x2=1，则x=1或x=﹣1”的逆否命题为（）
A．若x2=1，则x≠1且x≠﹣1 B．若x2≠1，则x≠1且x≠﹣1
C．若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1D．若x≠1或x≠﹣1，则x2≠1
参考答案：
C
【考点】四种命题．
【分析】根据命题“若p则q”的逆否命题“若￢q则￢p”，写出即可．
【解答】解：命题“若x2=1，则x=1或x=﹣1”的逆否命题是
“若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1”．
故选：C．
7. 设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是
A． B． C． D．
参考答案：
A
8. 若集合，，则等于（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
9. 设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为，则|PF|=（）
A．B．6 C．8 D．16
参考答案：
C
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线AF的斜率得到AF方程，与准线方程联立，解出A点坐标，因为PA垂直准线l，所以P点与A点纵坐标相同，再代入抛物线方程求P点横坐标，利用抛物线的定义就可求出|PF|长．
【解答】解：∵抛物线方程为y2=8x，
∴焦点F（2，0），准线l方程为x=﹣2，
∵直线AF的斜率为，直线AF的方程为y=（x﹣2），
由，可得A点坐标为（﹣2，4），
∵PA⊥l，A为垂足，
∴P点纵坐标为4，代入抛物线方程，得P点坐标为（6，4），
∴|PF|=|PA|=6﹣（﹣2）=8，
故选C．
10. 若,则的值是( )
A.2
B.3
C.4
D.6
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围
是 .
参考答案：
12. 已知正三棱锥的侧面均为等腰直角三角形，侧面的面积为，则它的外接球体积为
参考答案：
13. 的二项展开式中，的系数是________________（用数字作答）．
参考答案：
解析：，，所以系数为10．
14. 已知，则________________。

参考答案：
4
15. 等差数列的前项和为，，则的值为；
参考答案：
略
16.
已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，那么与
之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性
质
参考答案：
答案：若M、N是双曲线上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上
任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，那么与
之积是与点P的位置无关的定值.
解析：设点M、P的坐标为（）、（），则N（）.
因为点M（）在已知双曲线上，所以，同理. 则（定值）.
17. 定义在R的函数y=，如果函数图象上任意一点都在曲线y2=|x|上，则下列结论正确的是
__ （填上所有正确结论的序号）
①f(0)=0；
②函数y=值域为R；
③函数y=是奇函数；
④函数y=的图像与直线x=1有且仅有一个交点；
⑤函数y=的图象与直线y=1最多有两个交点
参考答案：
①④⑤
①当时所以成立;
②函数的图像可能都在轴上方，错误;
③函数可能是奇函数，也可能是偶函数，也可能非奇非偶;
④根据函数定义，函数的图像与直线有且仅有一个交点.正确;
⑤函数的图像与直线可能有一个，两个，也可能没有交点.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
（1）求证：对任意实数a，都有；
（2）若，是否存在整数k，使得在上，恒有成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由.（）
参考答案：
（1）见证明；（2）见解析
【分析】
（1）利用导数求得，令，再利用导数即可求得，问题得证。

（2）整理得：，令：
，由得，对是否大于分类，当时，即时，利用导数即可证得，当时，利用导数即可求得，要使不等式
恒成立转化成成立，令
，利用导数即可求得，，即可求得，问题得解。

【详解】解：（1）证明：由已知易得，所以
令得：
显然，时，<0，函数f（x）单调递减；
时，>0，函数f（x）单调递增
所以
令，则由得
时，>0，函数t（）单调递增；
时，<0，函数t（）单调递减
所以，即结论成立.
（2）由题设化简可得
令，所以
由=0得
①若，即时，在上，有，故函数单调递增所以
②若，即时，
在上，有，故函数在上单调递减
在上，有.故函数在上单调递增
所以，在上，
故欲使，只需即可
令
由得
所以，时，，即单调递减
又
故
【点睛】本题主要考查了转化思想及利用导数求函数的最值，还考查了分类思想及化归能力，考查计算能力及观察能力，属于难题。

19. （本小题满分12分）
某中学共有1000名文科学生参加了该市高三第一次质量检查的考试，其中数学成绩如下表所示：
样的方法抽取100名同学进行问卷调查. 甲同学在本次测试中数学成绩为75分，求他被抽中的概率；
（Ⅱ）年级将本次数学成绩75分以下的学生当作“数学学困生”进行辅导，请根据所提供数据估计“数学学困生”的人数；
（III）请根据所提供数据估计该学校文科学生本次考试的数学平均分．
参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）人；（III）分．
试题分析：（Ⅰ）分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为：，计算即得.
（Ⅱ）由题意得．估计“数学学困生”人数为
．
（III）该学校本次考试的数学平均分．
.
试题解析：（Ⅰ）分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为：，
故甲同学被抽到的概率
…………………4分（Ⅱ）由题意得
．……………6分设估计“数学学困生”人数为
．
故估计该中学“数学学困生”人数为
人……………………8分
（III）该学校本次考试的数学平均分．
估计该学校本次考试的数学平均分为
分．……………12分
考点：1.分层抽样；2.平均数.
20. 锐角的内角的对边分别为，已知
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积.
参考答案：
解：（Ⅰ）由条件得cos(B－A)=1－cosC=1+cos(B+A),
所以cosBcosA+sinBsinA=1+cosBcosA－sinBsinA,即sinAsinB=;
（Ⅱ），又，解得：，
因为是锐角三角形，，
.
略
21. （本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围.
参考答案：
解：（Ⅰ）函数的定义域为。

由，得；由，得.
∴的递增区间是，递减区间是.
（Ⅱ）∵由，得，（舍去）
由（Ⅰ）知在上递减，在上递增。

又，且.
∴当时，的最大值为
故当时，不等式恒成立。

-------------------------------------------------9分
（Ⅲ）方程，
记
∵
由，得或（舍去）。

由，得.
所以在上递减，在上递增。

为使方程在区间上恰好有两个相异的实根，
只须在和上各有一个实数根，于是有
∵
∴实数的取值范围是. ----------------------------------------14分
22. 设函数f（x）=x2﹣alnx，g（x）=（a﹣2）x
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）﹣g（x）有两个零点x1，x2
（1）求满足条件的最小正整数a的值；
（2）求证：F′（）＞0．
参考答案：
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）（1）求出函数F（x）的导数，求出F（x）的最小值，即
，令，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）求出，问题转化为证明，设
．令，根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）．…（1分）
当a≤0时，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）单调递增区间为（0，+∞），
此时f（x）无单调减区
间．…（2分）
当a＞0时，由f'（x）＞0，得，f'（x）＜0，得，
所以函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为．…（3分）（Ⅱ）（1）．
因为函数F（x）有两个零点，所以a＞0，此时函数f（x）在单调递增，
在单调递减．…（4分）
所以F（x）的最小值，即．…
因为a＞0，所以．令，显然h（a）在（0，+∞）上为增函数，
且，所以存在a0∈（2，3），h（a0）=0．…（6分）
当a＞a0时，h（a）＞0；当0＜a＜a0时，h（a）＜0，所以满足条件的最小正整数
a=3．…（7分）
又当a=3时，F（3）=3（2﹣ln3）＞0，F（1）=0，所以a=3时，f（x）有两个零点．
综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3．…（8分）
（2）证明：不妨设0＜x1＜x2，于是，
即，
．
所以．…（10分）
因为，当时，F'（x）＜0，当时，F'（x）＞0，故只要证＞即可，即证明，…（11分）
即证，
也就是证．…（12分）
设．
令，则．
因为t＞0，所以m'（t）≥0，…（13分）
当且仅当t=1时，m'（t）=0，
所以m（t）在（0，+∞）上是增函数．
又m（1）=0，所以当m∈（0，1），m（t）＜0总成立，所以原题得证．…（14分）
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想以及不等式的证明，是一道综合题．。