九年级数学上册 第二章 一元二次方程4 用因式分解法求解一元二次方程教学课件

x2 - 3x = 0 x 3因此9
2 x1 = 0, x2 = 3.
所以(suǒyǐ)这个数是0或3.
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方程 x2 = 3x 两边 同时约去x, 得 x= 3 . 所以这个数是3.
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小亮(xiǎo liànɡ)的思路：
由方程 x2 = 3x ,得 x2 - 3x = 0 即 x (x - 3) = 0 于是 x = 0 , 或 x - 3 = 0. 因此(yīncǐ) x1 = 0 , x2 = 3 所以这个数是0或3
第二章 一元二次方程
用因式分解 法求解 2.4
(yīn shì fēn jiě)
一元二次方程
导入新课
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讲授( jiǎngshòu)新 课
当堂(dānɡ tánɡ)练 习
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课堂小结
学习(xuéxí)目标
1.了解因式分解法的解题步骤,会用因式分解法解一元二次方程.
（重点(zhòngdiǎn)）
适用的方程类型
(x+m)2＝n（n ≥ 0） x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
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要点
(yàodiǎn)
解法归纳(jiě fǎ)选择基本 思路
于是得 r2 r + 5 0 或 r2 r 5 0 .
r1 251,r2152(舍 去 ).
5
答：小圆形场地的半径是
m. 2 1
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课堂(kètáng)小结
概念
(gàiniàn)
将方程左边因 式分解，右边 =0.
因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c); a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b).
2.能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法.（难点）
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导入新课
情境 (qíngjìng)引
入
我们(wǒ men)知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程（x+1）（x－1） =0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求（x+3） （x－5）=0的解吗？
问题：他们做得对吗？为什么？
小亮(xiǎo liànɡ)想：
如果a·b= 0,那么 a=0 或 b=0
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要点
(yàodiǎn)
因式归纳分解(yīn shì fēn jiě) 法的概当念一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式
的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元
（3）（3x+____）(x + -1
) = 0;
5
x1= , x12= -5. 3 3
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3.解方程：
1 3 x 2 6 x 3 ； 2 4 x 2 1 2 1 0 .
解：化为一般(yībān)
式为
x2－2x+1 = 0.
x2
11. 2
x1=x2=1.
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5.把小圆形场地(chǎngdì)的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增 加了一倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地(chǎngdì)的半径为r， 根据(gēnjù)题意 ( r + 5 )2×π=2r2π.
因式分解，得
r 5 2 rr 5 2 r 0 .
解：因式分解(yīn shì
fēn jiě)，得 ( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0.
因式分解(yīn shì fēn jiě)，得 有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
( x－1 )( x－1 ) = 0. 有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0，
x1
11, 2
x1 =（
）2, x2 = (
). 3
（3）（2x + 3）(x - 4) = 0; x1 =（
）3 , x2 = ( 2
).
4
2.将下面一元二次方程补充完整.
（1）（2x- ）(
5
x + 3) = 0;
1
x1=
5, x2= - 3.
（2） (x-
)(3x - 4) = 0;
2
x1= 2 , x2=2 . 4
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较
简单.
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当堂(dānɡ tánɡ)练习
1.快速说出下列(xiàliè)方程的解
（1）（4x - 1）(5x + 7) = 0; x1 =（
）, x2= (
). 7 5
1 4
（2） (x - 2)(x - 3) = 0;
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用
直接开平方法；
2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一
边的整式(zhěnɡ shì)是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然
选用公式法；
二 灵活选用方法解方程
典例精析
例2 用适当(shìdàng)的方法解方程： （1）3x（x + 5）= 5（x + 5）； （2）（5x + 1）2 = 1；
分析：该式左右两边可以(kěyǐ)提取公因式，所 分析：方程一边以平方形式(xíngshì)出现，
以用因式分解法解答较快.
另一边是常数，可直接开平方法.
x1
- 3 2
,
x2
1. 2
解：（x - 2）2 - (2x + 3) 2 =0, ( x -2+ 2x+ 3) (x -2 - 2x - 3)=0,
(3x + 1)(x + 5) = 0.
∴ 3x + 1 = 0 或 x + 5 = 0.
x1
- 1 3
,
x2
5.
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结论（1）对于一元二次方程（x - p）（x - q）=0,那么它的两个(liǎnɡ ɡè)实数根
分
别为p，q.
（2）对于已知一元二次方程的两个实数根为p，q，那么这个一元二次方程可以写成
（x 1-2/p1）1/2(0x21- q )=0的形式.
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拓展(tuò zhǎn)提升
解下列(xiàliè)方程：
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讲授新课
一 因式分解法解一元二次方程
问题：一个数的平方与这个(zhè ge)数的3倍有可能相等吗？如果相等,
这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得,可得方程 x2 = 3x
小颖的思路(sīlù)：
小明的思路：
由方程 x2 = 3x ,得
因式分解(yīn shì fēn jiě)法
原理 步骤
如果a ·b=0，那么a=0或b=0.
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
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内容 总结 (nèiróng)
2.4 用因式分解法求解。（1）5x2 = 4x。分析：方程(fāngchéng)一边以平方形式出现，另一边是常数， 可直接开平方法.。(x+m)2＝n（n ≥ 0）。2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法。2.将下面一元
开平方,得
x-6 2 10.
解得 x1=
, x2=
6 2 10
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x（ --4） 282 7.
23
3
6
2
10 . x1
2 3

7 ,x2
2 3
7.
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拓展(tuò zhǎn)提升
填一填：各种一元二次方程的解法(jiě fǎ)及适用类型.
一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解
No 二次方程(fāngchéng)补充完整.。x2－2x+1 = 0.。x1=x2=1.。因式分解的方法有。a2 ±2ab+b2=(a ±b)2
Image
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（1）（2x + 3）2 = 4 (2x + 3) ;
（2）(x - 2) 2 =
(2x
+
3)
2 .
解：（2x + 3）2 - 4 (2x + 3) =0 ,
(2x + 3) (2x + 3 - 4) = 0, (2x + 3) (2x - 1) = 0.
∴ 2x + 3 = 0 或 2x - 1 = 0.
（2）x – 2 = x (x - 2). 解：(x - 2) – x (x - 2) = 0,
x (5x - 4) = 0.
(x - 2) (1 - x) = 0.
∴x = 0 或 5x – 4 =0.
∴ x1 = 0 , x2= 4 . 5
∴x – 2 = 0 或 1 – x = 0. ∴ x1 = 2 , x2=1.
分析：二次项的系数为1，可用配方法来
解题(jiě tí)较快.
解：配方,得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62,
即 (x - 6)2 = 40.
分析：二次项的系数不为1，且不能直接开 平方，也不能直接因式分解(yīn shì fēn jiě)， 所以适合公式法.
解：化为一般形式
3x2 - 4x + 1 = 0. ∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0,
二次方程的方法称为因式分解法.
因式分解法的基本( jīběn)步
骤一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
简记歌诀：
右化零 左分解
两因式 各求解
四解-----写出方程两个解;
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例1：解下列(xiàliè)方程： （1）5x2 = 4x ; 解：5x2 - 4x = 0,
解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0.
解：开平方,得
即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0.
5x + 1 = ±1.
x1
5 3
,
x2
5.
解得, x 1= 0 , x2 = 2 . 5
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（3）x2 - 12x = 4 ;
（4）3x2 = 4x + 1；