12第2章费克扩散
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2 dt
对任何其它分布，只要在无界空间情况下满足边界条件： 对任何其它分布，只要在无界空间情况下满足边界条件：
x → ±∞时， 和∂c c ∂x → 0 或 xc(±∞, t ) = 0和x2
1 dσ2 x D= 2 dt
∂ (±∞, t ) = 0 ∂x
仍存在
第五节
一维扩散方程的空间瞬时线源的解析解
m
第五节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解
现将初始条件改为： 现将初始条件改为： c(x,0)=f(x),c(x,0)=f(x),-∞<x< ∞ 其中f(x)为任意给定的函数， 其中f(x)为任意给定的函数，亦即该初始分布是沿无限长 f(x)为任意给定的函数 直线上给定的浓度为f(ξ) 它的量纲为[ML f(ξ)， 直线上给定的浓度为f(ξ)，它的量纲为[ML-3]，单位面积 上的质量为f(ξ)dξ。 上的质量为f( )dξ。 位于ξ 位于ξ处由该微小污染 单元的扩散而导致在时 位于x的浓度应为: 刻t位于x的浓度应为:
σ2 x
∞ m2 1 ∞ 2 1 x2 2 = = ( )dx = 2Dt ∫ x c( x, t )dx = ∫ x exp − m0 m −∞ 4Dt 4πDt −∞
上式表明 σ2 方差与扩散历时t成正比。凡符合这个规律的 x 方差与扩散历时t成正比。 扩散，都称为费克型扩散。 扩散，都称为费克型扩散。 由于D是常数，将上式对t 当已求得 σ2，可用上式反求D。由于D是常数，将上式对t求 x 可用上式反求D 导，有： 1 dσ2 x 称为矩法公式 D=
第三节 一维扩散方程的基本解
∂c ∂2c =D 2 ∂t ∂x c( x, t ) =
设变量 η =
x 4Dt d 2 f
±∞,t)=0, c(±∞,t)/∂ ±∞,t)/ 边界条件由原来的c(±∞,t)=0, ∂c(±∞,t)/∂x=0 f(∞)=0，df(∞)/dη f(∞)=0，df(∞)/dη=0
2 浓度分布的统计特征值 （1）浓度分布的距离均值
∑ x c ∆x m1 i i i i µx = ≈ m0 ∑ci ∆xi
表示浓度分布曲线重心的x位置，当曲线对称于c轴时µ =0。 表示浓度分布曲线重心的x位置，当曲线对称于c轴时µx=0。 （2）浓度分布的距离方差
∞
i
σ2 x
=
−∞
∫ ( x − µx ) c( x, t )dt
( x − ξ)2 exp − [ ] dc = 4πDt的浓度应为 4Dt
∞ c( x, t ) = ∫−∞
f (ξ)dξ
( x − ξ)2 exp − [ ]dξ 4Dt 4πDt
f (ξ)
用一系列质量为f(ξ)dξ 用一系列质量为f(ξ)dξ 的团块来求浓度分布
第五节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解
第四节 浓度分布的各阶矩
（3）三阶中心矩 m3 α3 = m0 表示曲线偏斜度： 左右对称; 表示曲线偏斜度：α=0 左右对称; >0左右不对称 长尾伸向正轴方向； 左右不对称， α>0左右不对称，长尾伸向正轴方向； 长尾伸向负轴方向。 α＜0，长尾伸向负轴方向。
α>0
α=0
α＜0
图 α对浓度分布图形的影响
第三节 一维扩散方程的基本解
根据污染物质的质量守恒定律， 根据污染物质的质量守恒定律，有 ∫0
∞
m cdx = ,推出k0=1 推出k 2
c(x, t) =
m x2 exp − ( ) 4Dt 4πDt
为任何时刻源点浓度（ 为任何时刻源点浓度（坐标 原点与源点重合的情况下） 原点与源点重合的情况下）
第三节
一维扩散方程的基本解
扩散方程的定解条件（初始条件、边界条件） 扩散方程的定解条件（初始条件、边界条件） 解的形式：解析解、 解的形式：解析解、数值解 污染源（按空间）：点源、线源、面源、 ）：点源 污染源（按空间）：点源、线源、面源、有限分布源 不存在绝对的点源、无限长线源、 不存在绝对的点源、无限长线源、无限大面源 污染源（按时间）：瞬时源、时间连续源（事故排放、 ）：瞬时源 污染源（按时间）：瞬时源、时间连续源（事故排放、 正常排放） 正常排放） 瞬时源是一种近似， 瞬时源是一种近似，连续源又分为恒定和非恒定源 污染物扩散：一维、二维、 污染物扩散：一维、二维、三维扩散方程
mp = ∫ x pc( x, t )dx ≈ ∑ xipci ∆xi
−∞ i ∞
∞
−∞ ∞
i
对瞬时点源来说， 污染源的单位面积质量m 对瞬时点源来说，零阶矩 m0= 污染源的单位面积质量m， 是一常数，但一般情况下，矩都是时间的函数。 是一常数，但一般情况下，矩都是时间的函数。
第四节 浓度分布的各阶矩
0 c( x, t ) = ∫−∞
单侧阶梯浓度函数的浓度分布
( x − ξ)2 exp − [ ]dξ 4Dt 4πDt c0
第五节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解
取变换 u =
x−ξ 4Dt
,有
c(x, t) =
c0
∫ π
∫
∞
x π exp(−u2 )du = [ − ∫ 4Dt exp(−u2 )du] x 0 π 2 4D t
df dθ + 2ηf ，有: =0 进一步令 θ (η) = dη dη
df 常数k 因此有： 即θ=常数k1,因此有： + 2ηf = k1 。 dη
m dη2 f (η) 4πDt
+ 2η
df +2f = 0 dη
以f的边界条件代入上式得k1=0，故上式变为: 的边界条件代入上式得k =0，故上式变为: 它的通解为： 它的通解为：
第三节 一维扩散方程的基本解
1.定解条件 1.定解条件 瞬时点源或称瞬时无限平面源和无界空间的定解条件下的 解析解。定解条件在数学上表达为： 解析解。定解条件在数学上表达为： （1）初始条件：c(x,0)=mδ(x) 初始条件：c(x,0)=mδ
δ( x) = ∞ x = 0 0 x ≠ 0
第四节 浓度分布的各阶矩
1 浓度对距离的各阶矩定义 零阶矩 m0 = ∫ c( x, t )dx ≈ ∑ci ∆xi 一阶矩 m1 = ∫ xc( x, t )dx ≈ ∑ xi ci ∆xi 各式的右端可供 i −∞ 当具有实验资料 ∞ 2 2 二阶矩 m2 = ∫ x c( x, t )dx ≈ ∑ x ci ∆xi 时，计算浓度各 i −∞ 阶矩之用。 阶矩之用。 对原点的任意p 对原点的任意p阶矩
设只当t=0时在x=ξ处投放污染物质（瞬时点源） 设只当t=0时在x=ξ处投放污染物质（瞬时点源） t=0时在x= 初始条件：c(x,0)=mδ(x初始条件：c(x,0)=mδ(x-ξ) 边界条件：c(±∞,t)=0 边界条件：c(±
2 （x − ξ） 有解： c exp − [ ] 有解： ( x, t ) = 4Dt 4πDt
第三节 一维扩散方程的基本解
c(x, t) =
m x2 exp − ( ) 4Dt 4πDt
1 x2 exp − ( ) 2 2π 2Dt 2( 2Dt )
c(x, t) = m
瞬时点源一维无界空间的浓度 场在任一时刻t 场在任一时刻t沿x轴是正态分
瞬时点源一维无界空间的浓度分布
布，随时间t的增加，浓度的峰 随时间t的增加， 变小，而扩散的范围变宽。 值Cm变小，而扩散的范围变宽。
第三节 一维扩散方程的基本解
从物理概念上分析，浓度c 从物理概念上分析，浓度c是m、D、x、t的函数 假设有函数： 假设有函数： F(c,m,D,x,t)=0 利用π定律， 利用π定律，选c、D、t为基本变量，可得： 为基本变量，可得：
F( m x , )=0 c Dt Dt
m x c( x, t ) = f( ) 4πDt 4Dt
第四节 浓度分布的各阶矩
（4）四阶中心矩
α4 = m4 m0
表示曲线峰态或平坦度的一个指标， 表示曲线峰态或平坦度的一个指标，值愈大表示 峰型愈大。 峰型愈大。
第四节 浓度分布的各阶矩
对于正态分布曲线（标准） 对于正态分布曲线（标准）有：
m1 = 0, µ x = 0, σ2 = x
m2
m0
将瞬时点源的解代入m 得距离方差： 将瞬时点源的解代入m2，得距离方差：
∂c ∂ 2c 一维分子扩散方程： t = D 2 一维分子扩散方程： ∂ ∂x
Delta 函数
物理含义： t=0时 在通过x=0处且与x轴垂直的平面上， 物理含义：当t=0时，在通过x=0处且与x轴垂直的平面上， x=0处且与 单位面积的污染物质量为m,它位于x=0处以无限 单位面积的污染物质量为m,它位于x=0处以无限 m,它位于x=0 大的浓度强度浓缩在无限小的空间中。 大的浓度强度浓缩在无限小的空间中。 ±∞,t)=0, c(±∞,t)/∂ ±∞,t)/ （2）边界条件：c(±∞,t)=0, ∂c(±∞,t)/∂x=0 边界条件：c(±∞
对上式分别通过求t→0、 x→0和t→0（x≠0）的极限， 对上式分别通过求t→0、 x→0和t→0（x≠0）的极限， t→0 可得到c=∞ c=0，这说明了该解也是满足初始条件的。 c=∞和 可得到c=∞和c=0，这说明了该解也是满足初始条件的。 此外，上式虽然是对x≥0的定解条件求解，但也可用于x 此外，上式虽然是对x≥0的定解条件求解，但也可用于x x≥0的定解条件求解 情形。 ＜0情形。
式中:f为待定函数，故可在上式中写上4π和4，目的是使 式中:f为待定函数，故可在上式中写上4 :f为待定函数 最终的解较为简明; 最终的解较为简明; 是单位面积上的污染物质量， m是单位面积上的污染物质量，而不是全部污染物的 质量M 的量纲是[ML 质量M，m的量纲是[ML-2] 的关系是m=M/A 其中A是通过坐标原点且与x m=M/A， M与m的关系是m=M/A，其中A是通过坐标原点且与x垂直的 面积，并假设平均分布在该面积中。 面积，并假设平均分布在该面积中。
第三节 一维扩散方程的基本解
2.解析方法：如拉普拉斯变换、 2.解析方法：如拉普拉斯变换、分离变量法和量纲分析法 解析方法 量纲分析，物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律： 量纲分析，物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律： 量纲和谐性，物理方程中各项的量纲应当相同； 量纲和谐性，物理方程中各项的量纲应当相同； 任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成的方程而 不会改变物理过程的规律性； 不会改变物理过程的规律性； 物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量纲之间的 规律性，不会因所选的基本量纲不同而发生改变。 规律性，不会因所选的基本量纲不同而发生改变。 π定律（布金汉定律）：任何一个物理过程，包含有k+1个有 定律（布金汉定律）：任何一个物理过程，包含有k+1个有 ）：任何一个物理过程 k+1 量纲的物理量，如果选择其中m个作为基本物理量， 量纲的物理量，如果选择其中m个作为基本物理量，那么该物 理过程可以由[(k+1) m]个无量纲数所组成的关系来描述 [(k+1)- 个无量纲数所组成的关系来描述。 理过程可以由[(k+1)-m]个无量纲数所组成的关系来描述。
c0
c0 x π π [ erf ( )] = − 2 4Dt π 2
c0 c0 x x c )] = erfc( ) 即： ( x, t ) = [1− erf ( 2 2 4Dt 4Dt
2
∞
m0
2
=
−∞
2 2 ∫ ( x − 2xµx + µx )c( x, t )dt
m0
m2 − 2µxm1 + µ2 m0 x = m0
∑ xi ci ∆xi m2 )2 σ2 = − µ2 = i −( i x x m0 ∑ci ∆xi ∑ci ∆xi
i i
∑ xi ci ∆xi
表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度， 值愈大， 表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度，σ2值愈大， 分布曲线愈平坦。 分布曲线愈平坦。
下面讨论两Hale Waihona Puke 特殊情况： 下面讨论两种特殊情况：
0 当x ≥ 0 f ( x) = c( x,0) = c 1.当f(x)为阶梯函数 为阶梯函数： 1.当f(x)为阶梯函数： 当x p 0 0
该问题的物理模型可 认为是在一条无限长 的等截面渠道的静水 左端（x<0） 中，左端（x<0）充满 浓度为C 的污水体， 浓度为C0的污水体， 在右端（x>0）为清水， 在右端（x>0）为清水， 现闸门突然打开， 现闸门突然打开，左 边的污染物质向右边 扩散。解的形式为： 扩散。解的形式为：
对任何其它分布，只要在无界空间情况下满足边界条件： 对任何其它分布，只要在无界空间情况下满足边界条件：
x → ±∞时， 和∂c c ∂x → 0 或 xc(±∞, t ) = 0和x2
1 dσ2 x D= 2 dt
∂ (±∞, t ) = 0 ∂x
仍存在
第五节
一维扩散方程的空间瞬时线源的解析解
m
第五节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解
现将初始条件改为： 现将初始条件改为： c(x,0)=f(x),c(x,0)=f(x),-∞<x< ∞ 其中f(x)为任意给定的函数， 其中f(x)为任意给定的函数，亦即该初始分布是沿无限长 f(x)为任意给定的函数 直线上给定的浓度为f(ξ) 它的量纲为[ML f(ξ)， 直线上给定的浓度为f(ξ)，它的量纲为[ML-3]，单位面积 上的质量为f(ξ)dξ。 上的质量为f( )dξ。 位于ξ 位于ξ处由该微小污染 单元的扩散而导致在时 位于x的浓度应为: 刻t位于x的浓度应为:
σ2 x
∞ m2 1 ∞ 2 1 x2 2 = = ( )dx = 2Dt ∫ x c( x, t )dx = ∫ x exp − m0 m −∞ 4Dt 4πDt −∞
上式表明 σ2 方差与扩散历时t成正比。凡符合这个规律的 x 方差与扩散历时t成正比。 扩散，都称为费克型扩散。 扩散，都称为费克型扩散。 由于D是常数，将上式对t 当已求得 σ2，可用上式反求D。由于D是常数，将上式对t求 x 可用上式反求D 导，有： 1 dσ2 x 称为矩法公式 D=
第三节 一维扩散方程的基本解
∂c ∂2c =D 2 ∂t ∂x c( x, t ) =
设变量 η =
x 4Dt d 2 f
±∞,t)=0, c(±∞,t)/∂ ±∞,t)/ 边界条件由原来的c(±∞,t)=0, ∂c(±∞,t)/∂x=0 f(∞)=0，df(∞)/dη f(∞)=0，df(∞)/dη=0
2 浓度分布的统计特征值 （1）浓度分布的距离均值
∑ x c ∆x m1 i i i i µx = ≈ m0 ∑ci ∆xi
表示浓度分布曲线重心的x位置，当曲线对称于c轴时µ =0。 表示浓度分布曲线重心的x位置，当曲线对称于c轴时µx=0。 （2）浓度分布的距离方差
∞
i
σ2 x
=
−∞
∫ ( x − µx ) c( x, t )dt
( x − ξ)2 exp − [ ] dc = 4πDt的浓度应为 4Dt
∞ c( x, t ) = ∫−∞
f (ξ)dξ
( x − ξ)2 exp − [ ]dξ 4Dt 4πDt
f (ξ)
用一系列质量为f(ξ)dξ 用一系列质量为f(ξ)dξ 的团块来求浓度分布
第五节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解
第四节 浓度分布的各阶矩
（3）三阶中心矩 m3 α3 = m0 表示曲线偏斜度： 左右对称; 表示曲线偏斜度：α=0 左右对称; >0左右不对称 长尾伸向正轴方向； 左右不对称， α>0左右不对称，长尾伸向正轴方向； 长尾伸向负轴方向。 α＜0，长尾伸向负轴方向。
α>0
α=0
α＜0
图 α对浓度分布图形的影响
第三节 一维扩散方程的基本解
根据污染物质的质量守恒定律， 根据污染物质的质量守恒定律，有 ∫0
∞
m cdx = ,推出k0=1 推出k 2
c(x, t) =
m x2 exp − ( ) 4Dt 4πDt
为任何时刻源点浓度（ 为任何时刻源点浓度（坐标 原点与源点重合的情况下） 原点与源点重合的情况下）
第三节
一维扩散方程的基本解
扩散方程的定解条件（初始条件、边界条件） 扩散方程的定解条件（初始条件、边界条件） 解的形式：解析解、 解的形式：解析解、数值解 污染源（按空间）：点源、线源、面源、 ）：点源 污染源（按空间）：点源、线源、面源、有限分布源 不存在绝对的点源、无限长线源、 不存在绝对的点源、无限长线源、无限大面源 污染源（按时间）：瞬时源、时间连续源（事故排放、 ）：瞬时源 污染源（按时间）：瞬时源、时间连续源（事故排放、 正常排放） 正常排放） 瞬时源是一种近似， 瞬时源是一种近似，连续源又分为恒定和非恒定源 污染物扩散：一维、二维、 污染物扩散：一维、二维、三维扩散方程
mp = ∫ x pc( x, t )dx ≈ ∑ xipci ∆xi
−∞ i ∞
∞
−∞ ∞
i
对瞬时点源来说， 污染源的单位面积质量m 对瞬时点源来说，零阶矩 m0= 污染源的单位面积质量m， 是一常数，但一般情况下，矩都是时间的函数。 是一常数，但一般情况下，矩都是时间的函数。
第四节 浓度分布的各阶矩
0 c( x, t ) = ∫−∞
单侧阶梯浓度函数的浓度分布
( x − ξ)2 exp − [ ]dξ 4Dt 4πDt c0
第五节 一维扩散方程空间瞬时线源的解析解
取变换 u =
x−ξ 4Dt
,有
c(x, t) =
c0
∫ π
∫
∞
x π exp(−u2 )du = [ − ∫ 4Dt exp(−u2 )du] x 0 π 2 4D t
df dθ + 2ηf ，有: =0 进一步令 θ (η) = dη dη
df 常数k 因此有： 即θ=常数k1,因此有： + 2ηf = k1 。 dη
m dη2 f (η) 4πDt
+ 2η
df +2f = 0 dη
以f的边界条件代入上式得k1=0，故上式变为: 的边界条件代入上式得k =0，故上式变为: 它的通解为： 它的通解为：
第三节 一维扩散方程的基本解
1.定解条件 1.定解条件 瞬时点源或称瞬时无限平面源和无界空间的定解条件下的 解析解。定解条件在数学上表达为： 解析解。定解条件在数学上表达为： （1）初始条件：c(x,0)=mδ(x) 初始条件：c(x,0)=mδ
δ( x) = ∞ x = 0 0 x ≠ 0
第四节 浓度分布的各阶矩
1 浓度对距离的各阶矩定义 零阶矩 m0 = ∫ c( x, t )dx ≈ ∑ci ∆xi 一阶矩 m1 = ∫ xc( x, t )dx ≈ ∑ xi ci ∆xi 各式的右端可供 i −∞ 当具有实验资料 ∞ 2 2 二阶矩 m2 = ∫ x c( x, t )dx ≈ ∑ x ci ∆xi 时，计算浓度各 i −∞ 阶矩之用。 阶矩之用。 对原点的任意p 对原点的任意p阶矩
设只当t=0时在x=ξ处投放污染物质（瞬时点源） 设只当t=0时在x=ξ处投放污染物质（瞬时点源） t=0时在x= 初始条件：c(x,0)=mδ(x初始条件：c(x,0)=mδ(x-ξ) 边界条件：c(±∞,t)=0 边界条件：c(±
2 （x − ξ） 有解： c exp − [ ] 有解： ( x, t ) = 4Dt 4πDt
第三节 一维扩散方程的基本解
c(x, t) =
m x2 exp − ( ) 4Dt 4πDt
1 x2 exp − ( ) 2 2π 2Dt 2( 2Dt )
c(x, t) = m
瞬时点源一维无界空间的浓度 场在任一时刻t 场在任一时刻t沿x轴是正态分
瞬时点源一维无界空间的浓度分布
布，随时间t的增加，浓度的峰 随时间t的增加， 变小，而扩散的范围变宽。 值Cm变小，而扩散的范围变宽。
第三节 一维扩散方程的基本解
从物理概念上分析，浓度c 从物理概念上分析，浓度c是m、D、x、t的函数 假设有函数： 假设有函数： F(c,m,D,x,t)=0 利用π定律， 利用π定律，选c、D、t为基本变量，可得： 为基本变量，可得：
F( m x , )=0 c Dt Dt
m x c( x, t ) = f( ) 4πDt 4Dt
第四节 浓度分布的各阶矩
（4）四阶中心矩
α4 = m4 m0
表示曲线峰态或平坦度的一个指标， 表示曲线峰态或平坦度的一个指标，值愈大表示 峰型愈大。 峰型愈大。
第四节 浓度分布的各阶矩
对于正态分布曲线（标准） 对于正态分布曲线（标准）有：
m1 = 0, µ x = 0, σ2 = x
m2
m0
将瞬时点源的解代入m 得距离方差： 将瞬时点源的解代入m2，得距离方差：
∂c ∂ 2c 一维分子扩散方程： t = D 2 一维分子扩散方程： ∂ ∂x
Delta 函数
物理含义： t=0时 在通过x=0处且与x轴垂直的平面上， 物理含义：当t=0时，在通过x=0处且与x轴垂直的平面上， x=0处且与 单位面积的污染物质量为m,它位于x=0处以无限 单位面积的污染物质量为m,它位于x=0处以无限 m,它位于x=0 大的浓度强度浓缩在无限小的空间中。 大的浓度强度浓缩在无限小的空间中。 ±∞,t)=0, c(±∞,t)/∂ ±∞,t)/ （2）边界条件：c(±∞,t)=0, ∂c(±∞,t)/∂x=0 边界条件：c(±∞
对上式分别通过求t→0、 x→0和t→0（x≠0）的极限， 对上式分别通过求t→0、 x→0和t→0（x≠0）的极限， t→0 可得到c=∞ c=0，这说明了该解也是满足初始条件的。 c=∞和 可得到c=∞和c=0，这说明了该解也是满足初始条件的。 此外，上式虽然是对x≥0的定解条件求解，但也可用于x 此外，上式虽然是对x≥0的定解条件求解，但也可用于x x≥0的定解条件求解 情形。 ＜0情形。
式中:f为待定函数，故可在上式中写上4π和4，目的是使 式中:f为待定函数，故可在上式中写上4 :f为待定函数 最终的解较为简明; 最终的解较为简明; 是单位面积上的污染物质量， m是单位面积上的污染物质量，而不是全部污染物的 质量M 的量纲是[ML 质量M，m的量纲是[ML-2] 的关系是m=M/A 其中A是通过坐标原点且与x m=M/A， M与m的关系是m=M/A，其中A是通过坐标原点且与x垂直的 面积，并假设平均分布在该面积中。 面积，并假设平均分布在该面积中。
第三节 一维扩散方程的基本解
2.解析方法：如拉普拉斯变换、 2.解析方法：如拉普拉斯变换、分离变量法和量纲分析法 解析方法 量纲分析，物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律： 量纲分析，物理方程中各项物理量的量纲之间存在的规律： 量纲和谐性，物理方程中各项的量纲应当相同； 量纲和谐性，物理方程中各项的量纲应当相同； 任一有量纲的物理方程可以改写为无量纲项组成的方程而 不会改变物理过程的规律性； 不会改变物理过程的规律性； 物理方程中各物理量之间的规律性以及相应各量纲之间的 规律性，不会因所选的基本量纲不同而发生改变。 规律性，不会因所选的基本量纲不同而发生改变。 π定律（布金汉定律）：任何一个物理过程，包含有k+1个有 定律（布金汉定律）：任何一个物理过程，包含有k+1个有 ）：任何一个物理过程 k+1 量纲的物理量，如果选择其中m个作为基本物理量， 量纲的物理量，如果选择其中m个作为基本物理量，那么该物 理过程可以由[(k+1) m]个无量纲数所组成的关系来描述 [(k+1)- 个无量纲数所组成的关系来描述。 理过程可以由[(k+1)-m]个无量纲数所组成的关系来描述。
c0
c0 x π π [ erf ( )] = − 2 4Dt π 2
c0 c0 x x c )] = erfc( ) 即： ( x, t ) = [1− erf ( 2 2 4Dt 4Dt
2
∞
m0
2
=
−∞
2 2 ∫ ( x − 2xµx + µx )c( x, t )dt
m0
m2 − 2µxm1 + µ2 m0 x = m0
∑ xi ci ∆xi m2 )2 σ2 = − µ2 = i −( i x x m0 ∑ci ∆xi ∑ci ∆xi
i i
∑ xi ci ∆xi
表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度， 值愈大， 表示浓度分布对于平均浓度值的离散程度，σ2值愈大， 分布曲线愈平坦。 分布曲线愈平坦。
下面讨论两Hale Waihona Puke 特殊情况： 下面讨论两种特殊情况：
0 当x ≥ 0 f ( x) = c( x,0) = c 1.当f(x)为阶梯函数 为阶梯函数： 1.当f(x)为阶梯函数： 当x p 0 0
该问题的物理模型可 认为是在一条无限长 的等截面渠道的静水 左端（x<0） 中，左端（x<0）充满 浓度为C 的污水体， 浓度为C0的污水体， 在右端（x>0）为清水， 在右端（x>0）为清水， 现闸门突然打开， 现闸门突然打开，左 边的污染物质向右边 扩散。解的形式为： 扩散。解的形式为：