高中数学全一册学案(含解析)新人教A版必修3

高中数学全一册学案(含解析)新人教A版必修3
1．1.1 算法的概念
算法的概念 [提出问题]
2021年8月“青奥会”在南京开幕，某人想观看“青奥会”的开幕式，通过网络订票成功，然后按时验票入场，观看完开幕式后退场返回．
问题1：观看开幕式的过程是明确的吗？提示：是明确的．
问题2：观众订票的方式是唯一的吗？提示：不唯一．
问题3：若你想去观看“青奥会”开幕式，如何设计你的行程？
提示：首先订票，然后选择合适的交通工具按时到场，验票入场，观看开幕式． [导
入新知]
[化解疑难]
1．对算法概念的理解
(1)算法没有一个精确化的定义，可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的
完整的解题步骤，或看成按要求设计好的有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序
列能够解决一类问题．
(2)算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．
事实上，算法的概念很广泛，为解决一类问题而采取的方法和步骤都称为“算
法”．但我们这里讲的是计算机能实现的算法，即一类问题的机械的、统一的求解方法，
如解方程(组)的算法、函数求值的算法等．
2．算法的特征特征确定性正确性和顺序性具体内容算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可的算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，上一步是下一步的前提，只有执行完上一步，才能执行下一步 -
1 -
有限性一个算法必须在执行完有限步之后结束，而不能是无限的不唯一性求解某
个问题的算法不一定是唯一的，一个问题可以有不同的算法普遍性算法与计算机 [提
出问题]
问题1：在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具，听音乐、看电影、玩游戏、办公、处理数据、收发邮件，计算机几乎渗透到了人们生活的所有
领域．那么你知道算法与计算机的关系吗？
提示：算法是计算机科学的基础，计算机处理任何问题都要依赖于算法．
问题2：如何设计一个利用计算机求当x取任何值时函数f(x)＝x－x＋2的值的算法？试写出算法步骤．
提示：第一步，输入x. 第二步，计算f(x)＝x－x＋2. 第三步，输出f(x)． [导入
新知]
算法与计算机的关系
计算机解决任何问题都要依赖于算法，只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题．
[化解疑难] 1．算法设计的要求
(1)设计的算法要适用于一类问题，并且遇到类似问题能够重复使用；
(2)算法过程要做到能一步一步地执行，每一步执行的操作，必须是明确有效的，不
能含糊不清；
(3)所设计的算法必须在有限步后得到问题的结果，不能无限进行下去； (4)设计的
算法的步骤应当是最简练的，即最优算法．
2．算法与数学中的解法的联系和区别
(1)联系：算法与解法是一般与特殊的关系，也是抽象与具体的关系，算法的获取要
借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可利用这类问题的一般方法
解决．
(2)区别：算法是解决某些问题所需要的程序和步骤的统称，也可以理解为数学中的“通法通解”；而解法是解决某一个具体问题的过程和步骤，是具体的解题过程．
2
2
很多具体的问题都可以设计合理的算法去解决，写出的算法必须能解决一类问题 -
2 -
算法的概念 [例1] (1)下列关于算法的描述正确的是( ) A．算法与求解一个问题的方法相同 B．算法只能解决一个问题，不能重复使用 C．算法过程要一步一步执行
D．有的算法执行完以后，可能没有结果 (2)下列叙述不能称为算法的是( )
A．从北京到上海先乘汽车到飞机场，再乘飞机到上海 B．解方程4x＋1＝0的过程是先移项再把x的系数化成1 C．利用公式S＝πr计算半径为2的圆的面积得π32 D．解方程x－2x＋1＝0
[解析] (1)算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故A不对；算法能够重复使用，故B不对；每一个算法执行完以后，必须有结果，故D不对．
(2)选项A，B给出了解决问题的方法和步骤，是算法；选项C是利用公式计算也属于算法；选项D只提出问题没有给出解决的方法，不是算法．
[答案] (1)C (2)D [类题通法]
理解算法的关键点
(1)算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，用算法解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想．
(2)判断一个问题是否有算法，关键看是否有解决某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．
[活学活用]
计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是( ) ①S＝2＋4＋6＋?＋1 000；②S ＝2＋4＋6＋?＋1 000＋?；③S＝2＋4＋6＋?＋2n(n≥1，n∈N)．
A．①② C．②③
B．①③ D．①②③
2
2
2
解析：选B 由算法的有限性知②不正确，而①③都可通过有限的步骤操作，输出确定结果.
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算法的设计 [例2] (1)早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤．从下列选项中选出
最好的一种算法( )
A．第一步洗脸刷牙、第二步刷水壶、第三步烧水、第四步泡面、第五步吃饭、第六
步听广播
B．第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭、第五步听
广播 C．第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭同时听广播D．第一步吃饭同时听广播、第二步泡面、第三步烧水同时洗脸刷牙、第四步刷水壶 (2)
写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一个算法． [解析] (1)选C
A B C D (2)算法一：
第一步，计算1＋2，得到3.
第二步，将第一步中的运算结果3与3相加，得到6. 第三步，将第二步中的运算结
果6与4相加，得到10. 第四步，将第三步中的运算结果10与5相加，得到15. 第五步，将第四步中的运算结果15与6相加，得到21. 算法二：
第一步，将原式变形为(1＋6)＋(2＋5)＋(3＋4)＝733. 第二步，计算733. 第三步，得到运算结果．算法三：第一步，取n＝6. 第二步，计算
3 3 √ 3 所用时间为36分钟所用时间为31分钟所用时间为23分钟不符合日常
生活规律 n?n＋1?
2
.
第三步，得到运算结果． [类题通法]
设计具体问题的算法的步骤
设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤： (1)认真分析问题，找出解决此题的一
般数学方法； (2)借助有关变量或参数对算法加以表述；
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(3)将解决问题的过程划分为若干步骤； (4)用简练的语言将这个步骤表示出
来． [活学活用]
1．一个算法的步骤如下，如果输入x的值为－3，则输出z的值为( ) 第一步，输入x的值．第二步，计算x的绝对值y. 第三步，计算z＝2－y. 第四步，输出z的值． A．4 C．6
B．5 D．8
y解析：选B 分析算法中各变量、各语句的作用，再根据算法的步骤可知：该算法的作用是计算并输出z＝2－|x|的函数值．第一步，输入x的值－3. 第二步，计算x的绝对值y＝3. 第三步，计算z＝2－y＝2－3＝5. 第四步，输出z的值为5.
2．给定一个一元二次方程ax＋bx＋c＝0，设计一个算法来判定方程根的情况．解：第一步，计算Δ＝b－4ac；
第二步，如果Δ>0，那么方程有两个不相等的实数根；第三步，如果Δ＝0，那么方程有两个相等的实数根；第四步，如果Δ<0，那么方程没有实数根.
算法的应用 [例3] (1)结合下面的算法：第一步，输入x.
第二步，判断x是否小于0.若是，则输出x＋2，否则执行第三步．第三步，输出x －1.
当输入的x的值为－1,0,1时，输出的结果分别为( ) A．－1,0,1 C．1，－1,0
B．－1,1,0 D．0，－1,1
2
2
2
2
2
|x|
y3
(2)设计一个判断直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－x0)＋(y－y0)＝r的位置关系的算法． [解析] (1)选C 根据x值与0的关系，选择执行不同的步骤．当x＝－1时，输出x ＋2，即输出1；当x＝0时，输出x－1，即输出－1；当x＝1时，输出x－1，即输出0.
(2)算法如下：
第一步，输入圆心坐标(x0，y0)，直线方程的系数A，B，C和半径r.
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