北师大版(新)初中数学八年级下册 1,3线段的垂直平分线 第一课时【优质课件】
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
表达方式：如图，l⊥AB，AO＝BO，点P 在l 上，则 AP＝BP.
2．作用：可用来证明两线段相等．
例1 如图，在四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD，垂足为E，
下列结论不一定成立的是( C )
A．AB＝AD B．AC 平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC ≌ △DEC
导引：根据线段垂直平分线的性质得出AB 与AD 的关系，
B
l
可以发现，点 P1，P2，P3…到点A 的距离与它们到点 B 的距离分别相等.如果把线段AB 沿直线l对折，线段P1A 与P1B、线段P2A与P2B、线段 P3A 与P3B……都是重合的，
因此它们也分别相等.
归纳
由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.利
＝50°－40°＝10°.
总结
利用线段的垂直平分线的性质得出边相等，再利用等
边对等角确定∠DCA 的度数，根据角度差解决问题．
1 已知：如图，AB 是线段CD 的垂直平分线，E，F 是AB 上的两点. 求证∠ECF＝∠EDF.
证明：因为AB 是线段CD 的垂直平分线，
所以EC＝ED，FC＝FD.
已知：如图，直线MN⊥AB 垂足为C，且AC＝BC，P
是MN 上的任意一点. 求证：PA＝PB 证明：∵MN⊥AB，
M P
∴ ∠PCA ＝∠PCB＝90°.
∵ AC＝BC，PC＝PC，
A
∴△PCA ≌△PCB ( SAS ).
∴PA＝PB (全等三角形的对应边相等）
B N
1．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等； 条件：点在线段的垂直平分线上； 结论：这个点到线段两端点的距离相等．
定，然后再根据具体图形的性质作出判定即可．
例2 如图，在△ABC 中，AC＝5，AB 的垂直平分线DE 交AB， AC 于点E，D.
(1)若△BCD 的周长为8，求BC 的长；
(2) 若BC＝4，求△BCD 的周长．
导引：由DE 是AB 的垂直平分线， 得AD＝BD，所以BD 与CD 的长度和等于AC 的长，所以 由△BCD 的周长可求BC 的长， 同样由BC 的长也可求△BCD
的周长三者可互相转化，知其二可求第三者．
例3 如图，在△ABC 中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC 的垂直 平分线MN与AB 交于点D，与AC 交于点E，则∠BCD＝
___1__0_°__．
导引： 在△ABC 中，∵∠B＝90°， ∠A＝40°， ∴∠ACB＝50°. ∵MN 是线段AC 的垂直平分线， ∴DC＝DA. ∴∠DCE＝∠A＝40°. ∴∠BCD＝∠ACB－∠DCA
的周长．
解： ∵DE 是AB 的垂直平分线， ∴AD＝BD. ∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5. (1)∵△BCD 的周长为8， ∴BC＝△BCD 的周长－(BD＋CD )＝8－5＝3. (2)∵BC＝4， ∴△BCD 的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.
总结
本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD 的长转化成AD 的长，从而把未知的BD 与CD 的长度和转化 成已知的线段AC 的长．本题中AC 的长、BC 的长及△BCD
D．不能确定
3 如图，在四边形ABDC 中，∠A＝110°，若点D 在AB，AC 的垂直平分线上，则∠BDC 为( D )
A．90° B．110° C．120° D．140°
4 如图，已知△ABC 中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D，连接CD，则CD 等于( D )
EC＝ED，
在△ECF
和△EDF
中，
EF＝EF，
FC＝FD，
所以△ECF ≌ △EDF (SSS)．
A
E
所以∠ECF＝∠EDF.
C B
D
2 如图，在△ABC 中，AD 垂直平分BC，AC＝CE，点B，D， C，E 在同一直线上，则AB＋BD 与DE 的关系是( C ) A．AB＋DB＞DE B．AB＋DB＜DE C．AB＋DB＝DE
3.线段的垂直 平分线
第1课时
回顾旧知
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 什么叫线段的垂直平分线？
知识点 1 线段垂直平分线的性质
探究
如图，直线l 垂直平分线段
AB，P1， P2 ，P3，……是l 上的点，
请你猜想点P1，P2 ， P3， …到点
A
A 与点B 的距离之间的数量关系.
P3 P2 P1
4．表达方式：如图，∵PA＝PB，∴点P 在线段AB 的垂
直平分线上． 5．作用：பைடு நூலகம்
①作线段的垂直平分线的依据； ②可用来证线段垂直、相等．
例4 已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC 是△ABC 内一点，且 OB＝OC. 求证：直线AO 垂直平分线段BC.
A
O
B
C
证明： ∵ AB＝AC， ∴点A 在线段BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离
相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点O 在线段BC 的垂直平分线上. ∴直线AO 是线段BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.
用判定两个三角形全等的方法，也可以证明这个性质.
如图，直线l ⊥AB，垂足为C，AC = CB，点P
在l 上.求 证PA=PB.
证明：∵ l ⊥AB，
l
∠PCA=∠PCB.
P
又 AC=CB，PC=PC，
∴△ PCA ≌△ PCB (SAS).
A
C
B
∴PA=PB.
归纳
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
A．3 B．4 C．4.8 D．5
知识点 2 线段垂直平分线的判定
想一想 你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
如果是，请你加以证明.
归纳
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上
1．判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上．
2．条件：点到线段两端点距离相等； 3．结论：点在线段垂直平分线上．
结合三角形全等进行逐一验证四个选择项求解．
∵AC 垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝CD. 又∵AC＝AC， ∴△ABC ≌ △ADC. ∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA. 又∵BC＝DC，CE＝CE， ∴△BEC ≌ △DEC.
∴选项A，B，D正确．
总结
平面几何图形问题的解决方法： 分析图形，结合已知条件对基本图形的形状进行判
2．作用：可用来证明两线段相等．
例1 如图，在四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD，垂足为E，
下列结论不一定成立的是( C )
A．AB＝AD B．AC 平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC ≌ △DEC
导引：根据线段垂直平分线的性质得出AB 与AD 的关系，
B
l
可以发现，点 P1，P2，P3…到点A 的距离与它们到点 B 的距离分别相等.如果把线段AB 沿直线l对折，线段P1A 与P1B、线段P2A与P2B、线段 P3A 与P3B……都是重合的，
因此它们也分别相等.
归纳
由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.利
＝50°－40°＝10°.
总结
利用线段的垂直平分线的性质得出边相等，再利用等
边对等角确定∠DCA 的度数，根据角度差解决问题．
1 已知：如图，AB 是线段CD 的垂直平分线，E，F 是AB 上的两点. 求证∠ECF＝∠EDF.
证明：因为AB 是线段CD 的垂直平分线，
所以EC＝ED，FC＝FD.
已知：如图，直线MN⊥AB 垂足为C，且AC＝BC，P
是MN 上的任意一点. 求证：PA＝PB 证明：∵MN⊥AB，
M P
∴ ∠PCA ＝∠PCB＝90°.
∵ AC＝BC，PC＝PC，
A
∴△PCA ≌△PCB ( SAS ).
∴PA＝PB (全等三角形的对应边相等）
B N
1．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等； 条件：点在线段的垂直平分线上； 结论：这个点到线段两端点的距离相等．
定，然后再根据具体图形的性质作出判定即可．
例2 如图，在△ABC 中，AC＝5，AB 的垂直平分线DE 交AB， AC 于点E，D.
(1)若△BCD 的周长为8，求BC 的长；
(2) 若BC＝4，求△BCD 的周长．
导引：由DE 是AB 的垂直平分线， 得AD＝BD，所以BD 与CD 的长度和等于AC 的长，所以 由△BCD 的周长可求BC 的长， 同样由BC 的长也可求△BCD
的周长三者可互相转化，知其二可求第三者．
例3 如图，在△ABC 中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC 的垂直 平分线MN与AB 交于点D，与AC 交于点E，则∠BCD＝
___1__0_°__．
导引： 在△ABC 中，∵∠B＝90°， ∠A＝40°， ∴∠ACB＝50°. ∵MN 是线段AC 的垂直平分线， ∴DC＝DA. ∴∠DCE＝∠A＝40°. ∴∠BCD＝∠ACB－∠DCA
的周长．
解： ∵DE 是AB 的垂直平分线， ∴AD＝BD. ∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5. (1)∵△BCD 的周长为8， ∴BC＝△BCD 的周长－(BD＋CD )＝8－5＝3. (2)∵BC＝4， ∴△BCD 的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.
总结
本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD 的长转化成AD 的长，从而把未知的BD 与CD 的长度和转化 成已知的线段AC 的长．本题中AC 的长、BC 的长及△BCD
D．不能确定
3 如图，在四边形ABDC 中，∠A＝110°，若点D 在AB，AC 的垂直平分线上，则∠BDC 为( D )
A．90° B．110° C．120° D．140°
4 如图，已知△ABC 中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D，连接CD，则CD 等于( D )
EC＝ED，
在△ECF
和△EDF
中，
EF＝EF，
FC＝FD，
所以△ECF ≌ △EDF (SSS)．
A
E
所以∠ECF＝∠EDF.
C B
D
2 如图，在△ABC 中，AD 垂直平分BC，AC＝CE，点B，D， C，E 在同一直线上，则AB＋BD 与DE 的关系是( C ) A．AB＋DB＞DE B．AB＋DB＜DE C．AB＋DB＝DE
3.线段的垂直 平分线
第1课时
回顾旧知
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 什么叫线段的垂直平分线？
知识点 1 线段垂直平分线的性质
探究
如图，直线l 垂直平分线段
AB，P1， P2 ，P3，……是l 上的点，
请你猜想点P1，P2 ， P3， …到点
A
A 与点B 的距离之间的数量关系.
P3 P2 P1
4．表达方式：如图，∵PA＝PB，∴点P 在线段AB 的垂
直平分线上． 5．作用：பைடு நூலகம்
①作线段的垂直平分线的依据； ②可用来证线段垂直、相等．
例4 已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC 是△ABC 内一点，且 OB＝OC. 求证：直线AO 垂直平分线段BC.
A
O
B
C
证明： ∵ AB＝AC， ∴点A 在线段BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离
相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点O 在线段BC 的垂直平分线上. ∴直线AO 是线段BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.
用判定两个三角形全等的方法，也可以证明这个性质.
如图，直线l ⊥AB，垂足为C，AC = CB，点P
在l 上.求 证PA=PB.
证明：∵ l ⊥AB，
l
∠PCA=∠PCB.
P
又 AC=CB，PC=PC，
∴△ PCA ≌△ PCB (SAS).
A
C
B
∴PA=PB.
归纳
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
A．3 B．4 C．4.8 D．5
知识点 2 线段垂直平分线的判定
想一想 你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
如果是，请你加以证明.
归纳
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上
1．判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上．
2．条件：点到线段两端点距离相等； 3．结论：点在线段垂直平分线上．
结合三角形全等进行逐一验证四个选择项求解．
∵AC 垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝CD. 又∵AC＝AC， ∴△ABC ≌ △ADC. ∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA. 又∵BC＝DC，CE＝CE， ∴△BEC ≌ △DEC.
∴选项A，B，D正确．
总结
平面几何图形问题的解决方法： 分析图形，结合已知条件对基本图形的形状进行判