北师大版九年级数学上册第六章《反比例函数》6.2 反比例函数的图象与性质教案

6.2 反比例函数的图象与性质教案 第1课时 反比例函数的图象
1.会用描点法画出反比例函数的图象，并掌握反比例函数图象的特征；（重点）
2.会利用反比例函数图象解决相关问题.（难点）
一、情景导入
已知某面粉厂加工出4000吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B 市.
所需要的时间t （天）和每天运出的面粉总重量m （吨）之间有怎样的函数关系？你能在平面直角坐标系中形象地画出这个函数关系的图象吗？
二、合作探究
探究点一：反比例函数的图象
【类型一】 判断反比例函数所在的象限
反比例函数y ＝－6
x
的图象在（ ）
A.第一、二象限
B.第二、三象限
C.第一、三象限
D.第二、四象限
解析：因为k ＝－6＜0，所以反比例函数的图象在第二、四象限.故选D.
方法总结：反比例函数y ＝k
x 的图象是由两支曲线组成的.当k ＞0时，两支曲线分别
位于第一、三象限内；当k ＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内.
【类型二】 由反比例函数图象的位置确定k 的取值范围
若双曲线y ＝2k －1
x 的两个分支分别在第二、四象限，则k 的取值范围是（ ）
A.k ＞12
B.k ＜12
C.k ＝1
2
D.不存在
解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、四象限，则必有2k －1＜0，解得k ＜1
2
.故选B.
方法总结：反比例函数的图象的位置由k 的符号确定. 【类型三】 实际问题的反比例函数图象
已知一个长方形的面积是8，则这个长方形的一组邻边长y 与x 之间的函数关系图
象大致是图中的（ ）
解析：本题是一道有关反比函数的实际问题.已知长方形的面积是8，两邻边的长分别是x ，y ，所以x ·y ＝8，即y ＝8x ，所以此函数属于反比例函数.而长方形的任意一边的长度都必
须大于0，故x 的取值范围是x ＞0.由k ＞0且x ＞0可知，函数的图象只在第一象限内，故选D.
方法总结：在解决与反比例函数的图象有关的实际问题时，因自变量的取值范围有限制，常只有一个分支或一个分支中的部分曲线段符合题意.
探究点二：一次函数与反比例函数的综合应用
在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax ＋b 与y ＝ab
x
（ab ≠0）的图象大致是（ ）
解析：在A 、B 中，反比例函数的图象在第一、三象限，∴ab ＞0.而观察一次函数的图象，在A 中，a ＞0，b ＜0，矛盾；在B 中，a ＜0，b ＞0，矛盾.在C 、D 中，反比例函数的图象在二、四象限，∴ab ＜0.再观察一次函数的图象，在C 中，a ＜0，b ＞0，符合题意；在D 中，a ＞0，b ＞0，矛盾，故选C.
方法总结：在每个选项中可先由一个函数图象的位置得出a 、b 的符号情况，然后在另一个函数图象上检验，若无矛盾，则此选项正确，否则就是错误的.
已知反比例函数y ＝k
x 的图象与一次函数y ＝3x ＋m 的图象相交于点（1，5）.
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求这两个函数图象的另一个交点的坐标.
解：（1）∵点（1，5）在反比例函数y ＝k
x 的图象上，
∴5＝k
1
，即k ＝5，
∴反比例函数的解析式为y ＝5
x
.
又∵点（1，5）在一次函数y ＝3x ＋m 的图象上， ∴5＝3＋m ，即m ＝2，
∴一次函数的解析式为y ＝3x ＋2；
（2）由题意，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝5
x ，
y ＝3x ＋2.
解得⎩⎪⎨⎪⎧x
1＝1，y 1＝5或⎩⎪
⎨⎪⎧x 2＝－5
3，
y 2＝－3.
∴这两个函数图象的另一个交点的坐标为（－5
3，－
3）.
三、板书设计
反比例函
数的图象⎩⎪⎨⎪⎧形状：双曲线
位置⎩⎪
⎨⎪⎧当k ＞0时，两支曲线分别位于 第一、三象限内
当k ＜0时，两支曲线分别位于
第二、四象限内画法：列表、描点、连线（描点法）
通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力.理解函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合，逐步明确研究函数的一般要求.反比例函数的图象具体展现了反比例函数的整体直观形象，为学生探索反比例函数的性质提供了思维活动的空间.
第2课时 反比例函数的性质
1.理解并掌握反比例函数图象的性质；（重点）
2.能利用反比例函数的图象与性质解决问题.（难点）
一、情景导入
在一个平面直角坐标系中，根据所提供的两组数据描绘出相应的反比例函数图象. x －6 －3 －2 －1 1 2 3
6 y －1
－2
－3
－6
6
3
2
1
x
－6 －3 －2 －1 1
2
3
6 y 1
2
6
6
－6
－3
－2
－1
观察这两个图象，试着求出它们的解析式，看看它们之间是否存在着某些关系？ 二、合作探究
探究点一：反比例函数图象的性质
【类型一】 利用反比例函数的性质确定字母的取值范围
在反比例函数y ＝1－k
x
的图象的每一条曲线上，y 都随x 的增大而增大，则k 的值
可以是（ ）
A.－1
B.0
C.1
D.2
解析：反比例函数y ＝
1－k
x
的图象的每一条曲线上，y 都随x 的增大而增大，根据反比例函数的性质可知，该图象的两个分支分别在第二、四象限内，所以该函数的比例系数1－k ＜0，解得k >1.故只有D 项符合题意.故选D.
方法总结：反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由比例系数k 的符号决定的；反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号.
【类型二】 比较函数值的大小
在反比例函数y ＝－1
x
的图象上有三点（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），若x 1＞x 2＞
0＞x 3，则下列各式正确的是（ ）
A.y 3＞y 1＞y 2
B.y 3＞y 2＞y 1
C.y 1＞y 2＞y 3
D.y 1＞y 3＞y 2
解析：本题方法较多，一是根据x 1，x 2，x 3的大小即可比较；二是画出草图，根据反比例函数图象的性质比较；三是利用特殊值法.
（方法一）比较法：由题意，得y 1＝－1x 1，y 2＝－1x 2，y 3＝－1
x 3
，因为x 1＞x 2＞0＞x 3，所
以y 3＞y 1＞y 2.
（方法二）图象法：
如图，在直角坐标系中作出y ＝－1
x 的草图，描出符合条件的三个点，观察图象直接得
到y 3＞y 1＞y 2.
（方法三）特殊值法：设x 1＝2，x 2＝1，x 3＝－1，则y 1＝－1
2，y 2＝－1，y 3＝1，所以
y 3＞y 1＞y 2.故选A. 方法总结：此题的三种解法中，图象法形象直观，具有一般性；特殊值法最简单，这种方法对于解答许多选择题都很有效，要注意学会使用.
探究点二：反比例函数图象中比例系数k 的几何意义
如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，反比例函数y ＝k
x
的图象经过点B （x 0，
y 0），则k 的值为 .
解析：∵四边形OABC 是边长为1的正方形，∴它的面积为1，且BA ⊥y 轴.又∵点B （x 0，y 0）是反比例函数y
＝k
x
图象上的一点，则有S
正方形OABC
＝|x 0y 0|＝|k |，即1＝|k |.∴k
＝±1.又∵点B 在第二象限，∴k ＝－1.
方法总结：利用正方形或矩形或三角形的面积确定|k |的值之后，要注意根据函数图象所在位置或函数的增减性确定k 的符号.
三、板书设计
反比
例函数的性质
⎩
⎪⎨⎪⎧性质⎩⎪⎨⎪⎧当k ＞0时，在每一象限内，y 的值随x 的值的增大而减小当k ＜0时，在每一象限内，y 的值随x 的值的增大而增大反比例函数图象中比例系数k 的几何意义
通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数自身的规律，概括反比例函数的有关性
质，进行语言表述，训练学生的概括、总结能力，在相互交流中发展从图象中获取信息的能力.让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲.。