2019-2020学年高二数学下学期3月线上自主联合检测试题(含解析)

2019-2020学年高二数学下学期3月线上自主联合检测试题（含解析）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸及答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.计算：（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分子分母同乘以分母的共轭复数即可.
【详解】.
故选：B．
【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生的计算能力，是一道基础题.
2.设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先分别求出集合A、B，再按交集运算即可.
【详解】∵，，∴.
故选：B．
【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.
3.某班学生共有55人按照01，02……55编号，小罗利用下面的随机数表选取8人参加公益活动，选取的方法是从随机数表（如下）的笫一行的第一列开始从左到右依次选取两个数字，则选取的第5个人的编号为（）A. 37 B. 82 C. 17 D. 34
【答案】A
【解析】
【分析】
逐一剔除重复的编号.
【详解】从左到右，剔除重复的54和超出范围的82，第五个数是37.
故选：A．
【点睛】本题考查简单随机抽样中的随机数表法，考查学生对随机数表法的理解，是一道容易题.
4.已知向量，，若，则（）
A. 2
B.
C. 1
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
化简，可得，利用向量模的计算公式计算即可.
【详解】∵，∴，即∴
.
故选：D．
【点睛】本题考查向量的坐标运算，涉及到向量的垂直、向量模的运算，是一道基础题.
5.曲线方程表示一个圆的充要条件为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用计算即可.
【详解】表示圆的充要条件是，即.
故选：C．
【点睛】本题考查圆的一般方程，本题也可以采用配方来做，是一道容易题.
6.若为等差数列，首项，，则使得前项和成立的最大自然数是（）
A. 2017
B. 2018
C. 2019
D. 2020
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知，易得且，，由前n项和公式易得
，.
【详解】∵，，∴且，
又
而
故使得前项和成立的最大自然数是2018.
故选：B．
【点睛】本题考查等差数列的性质以及前n项和的应用，考查学生的逻辑推理与运算能力，是一道中档题.
7.函数的单调递减区间为（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】
化简解析式得，利用整体法结合减区间即可得到答案.
【详解】，
由，得，.
故选：B．
【点睛】本题考查正弦型三角函数的单调区间的求法，涉及到二倍角公式的运用，是一道基础题.
8.平面内向图形：内投1000个点，则点落在
所确定的区域内的点大约有（）
A. 182
B. 818
C. 240
D. 318
【答案】D
【解析】
【分析】
先算出点落入阴影区域的概率，再利用随机模拟数估计概率即可.
【详解】可行域如图
.
故选：D．
【点睛】本题考查几何概型的概率计算，涉及到作出不等式组所表示的平面区域，是一道容易题.
9.已知数列{an}的前n项和为Sn，则“{an}是等差数列”是“是等差数列”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列的定义证明求解.
【详解】首先证“充分条件”：因为{an}是等差数列，所以
所以，
所以常数，
所以是等差数列．
证“必要条件”因为是等差数列，所以设数列的公差为，则所以
当时，
所以当时满足.
所以常数，
所以{an}是等差数列.
故选C.
【点睛】本题考查等差数列的证明和充要条件的判断，属于中档题.
10.已知椭圆的右焦点为，直线：，若与双曲线
的两条渐近线分别交于点和点，且
（为原点），则双曲线的离心率为（）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由已知计算出，，利用即可建立的关系.【详解】由题意，知，直线与两渐近线的交点分别为和，
所以，所以，即，
所以离心率.
故选：B．
【点睛】本题考查双曲线离心率的计算问题，关键是建立起的关系，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 11.已知斜三棱柱中，底面是等腰直角三角形，
，，与、都成角，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】
设，，，则，，分别计算出，，利用计算即可.
【详解】设，，，则，，，从而，
，，
，
所以.
故选：D．
【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查了空间向量的基本定理的应用，也可以通过平移，构造三角形，解三角形来解决.
12.已知函数，设，若关于的不等式
在上恒成立，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
不等式可化为，分，两种情况讨论即可.
【详解】不等式可化为（*）．
当时，（*）式即．
即．
又（当时取等号）
（当时取等号）．
所以，
当时，（*）式为，．
又（当时取等号），
（当时取等号），所以．
综上，．
故选：B．
【点睛】本题考查不等式恒成立的问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式求最值，是一道有一定难度的题.
二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分．
13.命题：“，不等式”的否定形式是__________．【答案】，不等式
【解析】
【分析】
的否定为.
【详解】根据特称命题的否定是全称命题，知“，不等式”的
否定为“，不等式”.
故答案为：，不等式.
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，关键是理解特称命题、全称命题的含义，是一道容易题.
14.在长方体中，，，，若体对角线长为，则长方体的表面积的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知，，表面积，利用基本不等式，计算即可得到答案.
【详解】由已知得，，所以，所以长方体表面积
因为，，
所以，∴，当且仅当等号成立，
故表面积.
故答案为：.
【点睛】本题考查长方体表面积的计算，涉及到基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
15.在平行四边形中，，，，是上一点，最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
将用表示，即，只需求出即可.
【详解】由余弦定理可得，
，
设，
，当时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查平面向量数量积的最值问题，考查学生的运算求解能力、数形结合的思想，是一道中档题.
16.已知函数，若函数有四个零点，则实数的的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
或，作出函数的图象，易知有3个根，所以有一个根，结合图象即可得到答案.
【详解】令，得，对，，列表如下：
1
＋
递增极小值
∴的大致图象：
由，得或，
当时，有3个根，只需有一个根，从而或，
解得或.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，考查学生数形结合思想以及数学运算能力，是一道中档题.
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知向量，．
（1）求的最小正周期；
（2）求在上的最值．
【答案】（1）（2）最大值为，最小值为．
【解析】
【分析】
（1）利用向量数量积的坐标运算及倍角公式，可得
；
（2），利用整体换元法求值域.
详解】（1）∵，
∴
∴.
（2）
∵，∴
∴
∴，故的最大值为，最小值为．
【点睛】本题考查正弦型三角函数的周期、与最值，涉及到向量数量积的坐标运算、倍角公式、辅助角公式，是一道容易题.
18.等差数列中，，．
（1）求数列的通项式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
【解析】
分析】
（1）利用，代入已知即可得到及公差d，利用计算即可.
（2）利用错位相减法.
【详解】∵数列为等差数列，，
∴
∴.
（2）
∴
.
【点睛】本题考查等差数列的性质求通项公式以及错位相减法求数列前n项和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
19.如图，在三棱锥中，，，，为的中点，点在线段上运动．
（1）当，试确定的位置；
（2）若与夹角为，，试求二面角的余弦值．
【答案】（1）在的中点（2）
【解析】
分析】
（1）若，结合已知条件有，可得面，，因为，所以可得为的中点；
（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，分别计算面的法
向量为，面的法向量为，利用计算.【详解】（1）当运动到的中点有.
∵，∴
又∵，，
∴面，∴
而，∴面
又∵面，∴
（2）当在的中点时，（如图）建立空间坐标系，设的
长为一个单位，则由题可以知道坐标为，，，．
设面的法向量为
则，令，则
所以，
设面的法向量为
则，令，则
所以，
，
设二面角的大小为，
则，
所以二面角的余弦值为
【点睛】本题考查线面垂直的应用以及坐标法求二面角的大
小，考查学生的运算求解能力，要注意点的坐标的准确性，是一道中档题.
20.某市2019年引进天然气作为能源，并将该项目工程承包给中昱公司．已知中昱公司为该市铺设天然气管道的固定成本为35万元，每年的管道维修此用为5万元．此外，该市若开通千户使用天然气用户，公司每年还需投入成本万元，
且．通过市场调研，公司决定从每户天然气新用户征收开户费用2500元，且用户开通天然气后，公司每年平均从每户使用天然气的过程中获利360元．（1）设该市2019年共发展使用天然气用户千户，求中昱公司这一年利润（万元）关于的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，当等于多少最大？且最大值为多少？
【答案】（1），（2）当
时，公司利润达最大为1080万元．
【解析】
【分析】
（1）由已知，，分段代入即可；（2）分别求出分段函数每一分支的最值，比较大小即可得到答案.
【详解】（1）由题可知：，
即，
（2）由（1）可知当时，（万元）
当时，（万元），当且仅当时取等号
故当本年度发展客户100千户时公司利润达最大为1080万元．
【点睛】本题考查函数模型及其应用，涉及到分段函数模型，考查学生求解分段函数的最值，是一道中档题.
21.已知椭圆的左右顶点分别记为、，其长轴的长为4，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记的中点为，若动点的横坐标恒为，过点作∥交椭圆于点，直线交椭圆于点，求证：、、三点共线．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）直接法求椭圆的标准方程；
（2）设的坐标为，用分别表示、、的坐标，再利用斜率相等，即证明.
【详解】（1）由题可知，；∴，，故
所以椭圆方程为：
（2）设的坐标为，，，,
∴
∴的方程为，代入椭圆方程，得
故
∴
又∵，∴为代入椭圆方程，
得∴，
故，
∴，故、、三点共线．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆中的共线问题，考查学生数学运算能力，解析几何中，三点共线的问题通常采用
斜率来证明，是一道中档题.
22.已知函数．
（1）若使得成立，试求的取值范围：
（2）当在点处的切线与函数的图象交于点时，若的面积为，试求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）若使得成立，转化为在的最大值大于等于0即可；
（2）可得B的坐标，将B代入即可.
【详解】（1）∴∴
令，则，
∴在上单调递减，∴，
∴，故在上单调递增，∴，
∴，即.
（2）由题可知，故切点为，∵，∴
所以切线方程为：，交轴于，交轴于，
设切线交函数于点，因为，故，
又，故B的位置只能在C的上方.
如图，则面积为
，
或（舍），故，
所以函数过点，∴
∴．
【点睛】本题考查利用导数研究函数能成立问题、切线所围成的面积问题，考查学生运算求解能力，是一道中档题.
2019-2020学年高二数学下学期3月线上自主联合检测试题（含解析）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写
在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸及答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.计算：（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分子分母同乘以分母的共轭复数即可.
【详解】.
故选：B．
【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生的计算能力，是一道基础题.
2.设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先分别求出集合A、B，再按交集运算即可.
【详解】∵，，∴.
故选：B．
【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.
3.某班学生共有55人按照01，02……55编号，小罗利用下面的随机数表选取8人参加公益活动，选取的方法是从随机数表（如下）的笫一行的第一列开始从左到右依次选取两个数字，
则选取的第5个人的编号为（）
A. 37
B. 82
C. 17
D. 34
【答案】A
【解析】
【分析】
逐一剔除重复的编号.
【详解】从左到右，剔除重复的54和超出范围的82，第五个数是37.
故选：A．
【点睛】本题考查简单随机抽样中的随机数表法，考查学生对随机数表法的理解，是一道容易题.
4.已知向量，，若，则（）
A. 2
B.
C. 1
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
化简，可得，利用向量模的计算公式计算即可.
【详解】∵，∴，即∴.故选：D．
【点睛】本题考查向量的坐标运算，涉及到向量的垂直、向量模的运算，是一道基础题.
5.曲线方程表示一个圆的充要条件为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用计算即可.
【详解】表示圆的充要条件是，即.
故选：C．
【点睛】本题考查圆的一般方程，本题也可以采用配方来做，是一道容易题.
6.若为等差数列，首项，，则使得前项和成立的最大自然数是（）
A. 2017
B. 2018
C. 2019
D. 2020
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知，易得且，，由前n项和公式易得，.
【详解】∵，，∴且，
又
而
故使得前项和成立的最大自然数是2018.
故选：B．
【点睛】本题考查等差数列的性质以及前n项和的应用，考查学生的逻辑推理与运算能力，是一道中档题.
7.函数的单调递减区间为（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】
化简解析式得，利用整体法结合减区间即可得到答案.
【详解】，
由，得，.
故选：B．
【点睛】本题考查正弦型三角函数的单调区间的求法，涉及到二倍角公式的运用，是一道基础题.
8.平面内向图形：内投1000个点，则点落在所确定的区域内的点大约有（）
A. 182
B. 818
C. 240
D. 318
【答案】D
【解析】
【分析】
先算出点落入阴影区域的概率，再利用随机模拟数估计概率即可.
【详解】可行域如图
.
故选：D．
【点睛】本题考查几何概型的概率计算，涉及到作出不等式组所表示的平面区域，是一道容易题.
9.已知数列{an}的前n项和为Sn，则“{an}是等差数列”是“是等差数列”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列的定义证明求解.
【详解】首先证“充分条件”：因为{an}是等差数列，所以
所以，
所以常数，
所以是等差数列．
证“必要条件”因为是等差数列，所以设数列的公差为，
则所以
当时，
所以当时满足.
所以常数，
所以{an}是等差数列.
故选C.
【点睛】本题考查等差数列的证明和充要条件的判断，属于中档题.
10.已知椭圆的右焦点为，直线：，若与双曲线
的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为（）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由已知计算出，，利用即可建立的关系.
【详解】由题意，知，直线与两渐近线的交点分别为和，
所以，所以，即，
所以离心率.
故选：B．
【点睛】本题考查双曲线离心率的计算问题，关键是建立起的关系，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
11.已知斜三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，
与、都成角，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设，，，则，，分别计算出，，利用计算即可.
【详解】设，，，则，，，从而，，，
，
所以.
故选：D．
【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查了空间向量的基本定理的应用，也可以通过平移，构造三角形，解三角形来解决.
12.已知函数，设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
不等式可化为，分，两种情况讨论即可.
【详解】不等式可化为（*）．
当时，（*）式即．
即．
又（当时取等号）
（当时取等号）．
所以，
当时，（*）式为，．
又（当时取等号），
（当时取等号），所以．
综上，．
故选：B．
【点睛】本题考查不等式恒成立的问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式求最值，是一道有一定难度的题.
二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分．
13.命题：“，不等式”的否定形式是__________．
【答案】，不等式
【解析】
【分析】
的否定为.
【详解】根据特称命题的否定是全称命题，知“，不等式”的
否定为“，不等式”.
故答案为：，不等式.
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，关键是理解特称命题、全称命题的含义，是一道容易题.
14.在长方体中，，，，若体对角线长为，则长方体的表面积的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知，，表面积，利用基本不等式，
计算即可得到答案.
【详解】由已知得，，所以，所以长方体表面积
因为，，
所以，∴，当且仅当等号成立，
故表面积.
故答案为：.
【点睛】本题考查长方体表面积的计算，涉及到基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
15.在平行四边形中，，，，是上一点，
最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
将用表示，即，只需求出即可.【详解】由余弦定理可得，，
设，
，当时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查平面向量数量积的最值问题，考查学生的运算求解能力、数形结合的思想，是一道中档题.
16.已知函数，若函数有四个零点，则实数的的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
或，作出函数的图象，易知
有3个根，所以有一个根，结合图象即可得到答案.
【详解】令，得，对，，列表如下：
1
＋
递增极小值
∴的大致图象：
由，得或，
当时，有3个根，只需有一个根，从而或，
解得或.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，考查学生数形结合思想以及数学运算能力，是一道中档题.
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知向量，．
（1）求的最小正周期；
（2）求在上的最值．
【答案】（1）（2）最大值为，最小值为．
【解析】
【分析】
（1）利用向量数量积的坐标运算及倍角公式，可得；
（2），利用整体换元法求值域.
详解】（1）∵，
∴
∴.
（2）
∵，∴
∴
∴，故的最大值为，最小值为．
【点睛】本题考查正弦型三角函数的周期、与最值，涉及到向量数量积的坐标运算、倍角公式、辅助角公式，是一道容易题.
18.等差数列中，，．
（1）求数列的通项式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
【解析】
分析】
（1）利用，代入已知即可得到及公差d，利用计算即可.
（2）利用错位相减法.
【详解】∵数列为等差数列，，
∴
∴.
（2）
∴
.
【点睛】本题考查等差数列的性质求通项公式以及错位相减法求数列前n项和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
19.如图，在三棱锥中，，，，为的中点，点在线段上运动．
（1）当，试确定的位置；
（2）若与夹角为，，试求二面角的余弦值．
【答案】（1）在的中点（2）
【解析】
分析】
（1）若，结合已知条件有，可得面，，因为，所以可得为的中点；
（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，分别计算面的法向量为，面的法向量为
，利用计算.
【详解】（1）当运动到的中点有.
∵，∴
又∵，，
∴面，∴
而，∴面
又∵面，∴
（2）当在的中点时，（如图）建立空间坐标系，设的长为一个单位，则由题可以知道坐标为，，，．
设面的法向量为
则，令，则
所以，
设面的法向量为
则，令，则
所以，
，
设二面角的大小为，
则，
所以二面角的余弦值为
【点睛】本题考查线面垂直的应用以及坐标法求二面角的大小，考查学生的运算求解能力，要注意点的坐标的准确性，是一道中档题.
20.某市2019年引进天然气作为能源，并将该项目工程承包给中昱公司．已知中昱公司为该市铺设天然气管道的固定成本为35万元，每年的管道维修此用为5万元．此外，该市若开通
千户使用天然气用户，公司每年还需投入成本万元，且
．通过市场调研，公司决定从每户天然气新用户征收开户费用2500元，且用户开通天然气后，公司每年平均从每户使用天然气的过程中获利360元．
（1）设该市2019年共发展使用天然气用户千户，求中昱公司这一年利润（万元）关于的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，当等于多少最大？且最大值为多少？
【答案】（1），（2）当时，公司利润达最大为1080万元．
【解析】
【分析】
（1）由已知，，分段代入即可；
（2）分别求出分段函数每一分支的最值，比较大小即可得到答案.
【详解】（1）由题可知：，
即，
（2）由（1）可知当时，（万元）
当时，（万元），当且仅当时取等号
故当本年度发展客户100千户时公司利润达最大为1080万元．
【点睛】本题考查函数模型及其应用，涉及到分段函数模型，考查学生求解分段函数的最值，是一道中档题.
21.已知椭圆的左右顶点分别记为、，其长轴的长为4，离心率为
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记的中点为，若动点的横坐标恒为，过点作∥交椭圆于点，直线交椭圆于点，求证：、、三点共线．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）直接法求椭圆的标准方程；
（2）设的坐标为，用分别表示、、的坐标，再利用斜率相等，即证明.
【详解】（1）由题可知，；∴，，故
所以椭圆方程为：
（2）设的坐标为，，，,
∴
∴的方程为，代入椭圆方程，得
故
∴
又∵，∴为代入椭圆方程，
得∴，
故，
∴，故、、三点共线．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆中的共线问题，考查学生数学运算能力，解析几何中，三点共线的问题通常采用斜率来证明，是一道中档题.
22.已知函数．
（1）若使得成立，试求的取值范围：
（2）当在点处的切线与函数的图象交于点时，若的面积为，试求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）若使得成立，转化为在的最大值大于等于0即可；（2）可得B的坐标，将B代入即可.
【详解】（1）∴∴
令，则，
∴在上单调递减，∴，
∴，故在上单调递增，∴，
∴，即.
（2）由题可知，故切点为，∵，∴
所以切线方程为：，交轴于，交轴于，
设切线交函数于点，因为，故，
又，故B的位置只能在C的上方.
如图，则面积为
，
或（舍），故，
所以函数过点，∴
∴．
【点睛】本题考查利用导数研究函数能成立问题、切线所围成的面积问题，考查学生运算求解能力，是一道中档题.。