【大高考】2016三年模拟一年创新第二章 第八节 函数模型及其综合应用 文

【大高考】（三年模拟一年创新）2016届高考数学复习第二章第八节函数模型及其综合应用文（全国通用）
A组专项基础测试
三年模拟精选
选择题
1．(2015·广东汕头一中月考)一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是( )
A．①B．①②
C．①③D．①②③
解析由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．
答案 A
2．(2015·山东青岛调研)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A．略有盈利B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况
解析设该股民购这支股票的价格为a，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a ＜a，
故该股民这支股票略有亏损．
答案 B
3．(2015·长春联考试题)某机床在生产中所需垫片可以外购，也可自己生产，其中外购的单价是每个1.10元，若自己生产，则每月需投资固定成本800元，并且每生产一个垫片还需材料费和劳务费共0.60元．设该厂每月所需垫片x 个，则自己生产垫片比外购垫片较合算的条件是( ) A ．x ＞1 800
B ．x ＞1 600
C ．x ＞500
D ．x ＞1 400
解析 由题意知，当800＋0.6x ＜1.1x 时，自己生产垫片比外购垫片合算，解之得x ＞1 600. 答案 B
4．(2014·湖南岳阳质检)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 应为( )
A ．x ＝15，y ＝12
B ．x ＝12，y ＝15
C ．x ＝14，y ＝10
D ．x ＝10，y ＝14
解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，
∴S ＝xy ＝－54
(y －12)2
＋180，
∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15. 答案 A
5．(2014·广东梅州调研)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( ) A ．10
B ．11
C ．13
D ．21
解析 设该企业需要更新设备的年数为x ，设备年平均费用为y ，x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)，
所以x 年的平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x （x ＋1）x ＝x ＋100
x
＋1.5，由基本不等式得y ＝x ＋
100
x
＋1.5≥2
x ·100
x
＋1.5＝21.5，
当且仅当x ＝100
x
，即x ＝10时取等号，所以选A. 答案 A
一年创新演练
6．对于函数f (x )，如果存在锐角θ，使得f (x )的图象绕坐标原点逆时针旋转角θ，所得曲线仍是一函数，则称函数f (x )具备角θ的旋转性，下列函数具备角π
4的旋转性的是( )
A ．y ＝x
B ．y ＝ln x
C ．y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
D ．y ＝x 2
解析 函数f (x )的图象绕坐标原点逆时针旋转角π
4
，
相当于x 轴、y 轴绕坐标原点顺时针旋转角π
4，问题转化为直线y ＝x ＋k 与函数f (x )的图象
不能有两个交点，
结合图象可知y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
与直线y ＝x ＋k 没有两个交点，故选C. 答案 C
7．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x
8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与
仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A ．60件
B ．80件
C ．100件
D ．120件
解析 由题意，知仓储x 件需要的仓储费为x 2
8，故平均费用为y ＝x 8＋800
x
≥2
x 8×800
x
＝20，当且仅当x ＝80时等号成立．故选B. 答案 B
B 组 专项提升测试 三年模拟精选
一、选择题
8．(2015·辽宁五校联考)某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年
需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n (n ∈N *
)年后，年平均盈利额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n ＝( ) A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析 由题意知，n 年的收入为11n 万元，运营费为2n ＋
n （n －1）
2
×2＝n 2
＋n (万元)，则
年平均盈利额y ＝1n
[11n －(n 2
＋n )－9]＝10－⎝ ⎛⎭
⎪⎫n ＋9n ≤10－2
n ·9
n ＝4，当且仅当n ＝9
n
，即n ＝3时，等号成立． 答案 A
9．(2015·衡阳联考(一))某商品在最近100天内的单价f (t )与时间t 的函数关系是f (t )
＝⎩⎪⎨⎪⎧t
4＋22（0≤t ＜40，t ∈N ），－t 2＋52（40≤t ≤100，t ∈N ），
日销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝
－t 3＋109
3
(0≤t ≤100，t ∈N )．则这种商品的日销售额的最大值为( ) A ．808
B ．808.5
C ．736
D ．736.5
解析 设日销售额为w ，则当0≤t ＜40(t ∈N )时，w ＝f (t )g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 4＋22⎝ ⎛⎭
⎪⎫－t 3＋1093＝－112t 2＋7
4t ＋
22×1093，对称轴为t ＝21
2
，故当t ＝10或t ＝11时，w 最大，为808.5；当40≤t ≤100(t ∈N )时，w ＝f (t )g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 2＋52×⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 3＋1093＝16
t 2－2136t ＋
52×1093，对称
轴为t ＝213
2，故当t ＝40时，w 最大，为736.综上，这种商品的日销售额的最大值为808.5.
答案 B 二、解答题
10．(2013·河南名校调研)经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间
t (天)的函数，且日销售量近似地满足g (t )＝－13t ＋
112
3
(1≤t ≤100，t ∈N )．前40天价格为f (t )＝14t ＋22(1≤t ≤40，t ∈N )，后60天价格为f (t )＝－1
2t ＋52(41≤t ≤100，t ∈N )，
试求该商品的日销售额S (t )的最大值和最小值． 解 当1≤t ≤40，t ∈N 时，
S (t )＝g (t )f (t )
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13t ＋1123⎝ ⎛⎭
⎪⎫14t ＋22
＝－112t 2＋2t ＋112×22
3
＝－112(t －12)2
＋25003
，
所以768＝S (40)≤S (t )≤S (12)＝112×223＋12＝2 5003.
当41≤t ≤100，t ∈N 时，S (t )＝g (t )f (t )
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13t ＋1123⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12t ＋52
＝16t 2－36t ＋112×523＝16(t －108)2
－83， 所以8＝S (100)≤S (t )≤S (41)＝1 4912.
所以，S (t )的最大值为2 500
3
，最小值为8.
11．(2014·广东重点中学联考)旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15 000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35人时，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人．设旅行团的人数为x 人，飞机票价格为y 元，旅行社的利润为Q 元．
(1)写出飞机票价格y 元与旅行团人数x 之间的函数关系式；
(2)当旅行团人数x 为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润． 解 (1)依题意得，当1≤x ≤35时，y ＝800；
当35＜x ≤60时，y ＝800－10(x －35)＝－10x ＋1 150；
∴y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧800 （1≤x ≤35且x ∈N ），－10x ＋1 150（35＜x ≤60且x ∈N ）.
(2)设利润为Q ，则Q ＝y ·x －15 000＝
⎩
⎪⎨⎪⎧800x －15 000（1≤x ≤35且x ∈N ），－10x 2
＋1 150x －15 000（35＜x ≤60且x ∈N ）. 当1≤x ≤35且x ∈N 时，Q max ＝800×35－15 000＝13 000，
当35＜x ≤60时，Q ＝－10x 2
＋1 150x －15 000＝－10(x －1152)2＋36 1252，
∵x ∈N 当x ＝57或58时，Q max ＝18 060＞13 000，
故当旅游团人数为57或58人时，旅行社可获得最大利润为18 060元．
一年创新演练
12．据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点
T (t ，0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)
内沙尘暴所经过的路程S (km)． (1)当t ＝4时，求S 的值；
(2)将S 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由． 解 (1)由题图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴S ＝1
2×4×12＝24.
(2)当0≤t ≤10时，
S ＝12·t ·3t ＝32
t 2，当10＜t ≤20时， S ＝12
×10×30＋30(t －10)＝30t －150；
当20＜t ≤35时， S ＝1
2×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12
×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.
综上，可知S ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，t ∈[0，10]，
30t －150，t ∈（10，20]，－t 2
＋70t －550，t ∈（20，35].
(3)∵t ∈[0，10]时，S max ＝32
×102
＝150＜650，
t ∈(10，20]时，S max ＝30×20－150＝450＜650，
∴当t ∈(20，35]时，令－t 2
＋70t －550＝650. 解得t 1＝30，t 2＝40.∵20＜t ≤35，∴t ＝30. 即沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．。