教与学 新教案九年级数学下册 28.2.2 坡度、方位角与解直角三角形(第2课时)素材 (新版)新人教版

锐角三角函数
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.2 应用举例
第2课时坡度、方位角与解直角三角形
置疑导入复习导入悬念激趣
如图28－2－71，一架外国侦察机沿ED方向入侵我国领空，我空军战斗机沿AC方向与其平行飞行进行跟踪．我机在A处与外机在B处的距离为50 m，∠CAB＝30°，这时外机突然转向，以北偏西45°方向飞行，我机继续沿AC方向以400 m/s的速度飞行，外机在C处故意撞击我机，问外机由B到C的速度是多少？
图28－2－71
[说明与建议] 说明：用学生比较熟悉的实际问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会数学来源于生活，并服务于生活，诱发学生对新知识的渴求．
建议：教师在新课导入的过程中，引导学生理解方位角的含义，帮助学生根据题意建立方位坐标，选择合适的边角关系．
随着社会的发展，人们对防洪的意识越来越强，2015年为了提前做好防洪准
备工作，某市正在长江边修建一防洪大坝，其横断面为梯形ABCD，如图28－2－72，你能求出DC的长吗？
图28－2－72
分析：(1)在Rt△ADE中，你能利用解直角三角形的知识求出DE的长吗？
(2)在Rt△BCF中，你能利用解直角三角形的知识求出FC的长吗？
(3)DC可分为哪些线段长的和？
[说明与建议] 说明：通过解直角三角形可以求出DE和FC的长，从而求出DC的长度．
建议：教师在新课引入时可以借助多媒体展示河堤的相关图片，边讲解边观看，最后落入到探究坡度、坡角等问题上．
76页例5
如图28－2－73，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远(结果取整数)?
图28－2－73
【模型建立】
根据方位角的概念，南北方向线与东西方向线一定垂直，常可以过目标点或观察点作南北方向线或东西方向线的平行线或垂线，构造直角三角形来解决问题．
【变式变形】
1．临沂中考如图28－2－74，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为(C)
A．20海里B．10 3海里C．20 2海里D．30海里
图28－2－74 图28－2－75
2．苏州中考如图28－2－75，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4 k m，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°方向上，则该船航行的距离(即AB的长)为(C)
A．4 k m B．2 3 k m C．2 2 k m D.()
3＋1k m
3．邵阳中考如图28－2－76，一艘观光游船从港口A处以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号．一艘在港口正东方向B处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里/时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．(温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6)
图28－2－76 28－2－77
解：如图28－2－77，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D.由题意，得∠CAD＝30°，∠
CBD ＝53°，AC ＝80海里，∴CD ＝40海里．在Rt △CBD 中，sin53°＝CD CB ，∴CB ＝CD sin53°≈400.8
＝50(海里)．行驶时间为5040
＝1.25(时)． 答：海警船到达C 处约需1.25小时．
素材三 考情考向分析 [解决此类问题，一般是根据方位角的定义构造直角三角形．如本课素材二[教材母题挖掘]．
[命题角度2] 坡度问题
求斜坡的长、滑梯的长、电梯的长等问题，是近年中考的一个热点．这类题目常需通过坡度和坡高，再应用勾股定理，求坡长．
例1 巴中中考如图28－2－78，一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶BC 宽6米，坝高20米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶2.5，斜坡CD 的坡角为30°，求坝底AD 的长度(精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)
图28－2－78
[答案：坝底AD 的长度约为90.6米]
例2 广安中考如图28－2－79，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD )急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF 的坡比i ＝1∶2.
(1)求加固后坝底增加的宽度AF 的长；
(2)求完成这项工程需要土石多少立方米．
图28－2－79
[答案：(1)10米 (2)19200立方米]
素材四 教材习题答案
P 74 练习
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据下列条件解直角三角形：
(1)c ＝30，b ＝20；
(2)∠B ＝72°，c ＝14；
(3)∠B ＝30°，a ＝7.
解： (1)∵c ＝30，b ＝20，∴a ＝10 5.
∴sin A ＝10530＝53
，∴∠A ≈48.19°， ∴∠B ≈41.81°.
(2)∵sin72°＝b 14
，∴b ≈13.3148. ∵ cos72°＝a 14
，∴a ≈4.3262.
∵∠B ＝72°，∠C ＝90°，∴∠A ＝18°.
(3)∵cos B ＝a c ＝7c ，∴c ＝2213
. ∵tan B ＝b a ＝b 7
，∴b ＝213. ∵∠B ＝30°，∴∠A ＝60°.
P 76 练习
1．如图，建筑物BC 上有一旗杆AB ，从与BC 相距 40 m 的D 处观测旗杆顶部A 的仰角为50°，观测旗杆底部B 的仰角为45°，求旗杆的高度(结果保留小数点后一位)．
解： 在Rt △BCD 中，∠BDC ＝45°，
∴BC ＝DC ＝40 m.
在Rt △ACD 中，
AC ＝DC ·tan ∠ADC ＝40×tan50°≈47.7(m)．
∴AB ＝AC －BC ≈47.7－40＝7.7(m)．
答：旗杆AB 的高度约为7.7 m.
2．如图，沿AC 方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B 取∠ABD ＝140°，BD ＝520 m ，∠D ＝50°.那么另一边开挖点E 离D 多远正好能使A ，C ，E 三点在一直线上(结果保留小数点后一位)?
解： ∵∠DBC ＝180°－40°＝40°. 当A ，C ，E 三点在一直线上时，∠BED ＝180°－40°－50°＝90°.在Rt △BED 中，DE ＝BD · cos50°≈334.2(m)．即另一边开挖点E 离点D 334.2 m ，正好使A ，C ，E 三点在一直线上．
P 77 练习
1．如图，海中有一个小岛A ，它周围8 n m ile 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12 n m ile 到达D 点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
解： 过点A 作AH ⊥BD 交BD 的延长线于H .
易得∠ABD ＝30°，∠DAH ＝30°，
∴∠DAB ＝∠ABD ＝30°.
∴AD ＝BD ＝12 n m ile .
在Rt △ADH 中，AH ＝AD · cos30°＝12×32
＝63≈10.4(n m ile )>8(n m ile )． 故如果渔船不改变航向继续向东航行，不会触礁．
2．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，斜面坡度i ＝1∶1.5是指坡面的铅直高度AF 与水平宽度BF 的比，斜面坡度i ＝1∶3是指DE 与CE 的比．根据图中的数据，求：
(1)坡角α和β的度数；
(2)斜坡AB 的长(结果保留小数点后一位)．
解： (1)tan α＝11.5
≈0.6667， ∴α≈33°41′，tan β＝13
≈0.3333，β≈18°26′. (2)在Rt △AFB 中 ，sin α＝
AF AB ， ∴AB ＝AF sin α＝6sin 33°41′
≈10.8(m)． P 77 习题28.2
1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据下列条件解直角三角形： (1)c ＝8，∠A ＝30°；
(2)b ＝7，∠A ＝15°；
(3)a ＝5，b ＝12.
解：(1)a ＝4，b ＝43，∠B ＝60°.
(2)a ≈1.9，c ≈7.2，∠B ＝75°.
(3)c ＝13，∠A ≈22°37′，∠B ≈67°23′.
2．如图，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度BC ＝10 m ，∠B ＝36°，求中柱AD (D 为底边中点)和上弦AB 的长(结果保留小数点后一位)．
解： 在Rt △ADB 中，BD ＝12BC ＝12
×10＝5(m)，AD ＝BD ·tan36°＝5×tan36°≈3.6(m)．AB ＝BD cos 36°＝5 cos 36°
≈6.2(m)． 3．如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC ＝1200 m ，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角α＝16°31′.求飞机A 与指挥台B 的距离(结果取整数)．
解： 在Rt △ABC 中，sin B ＝
AC AB ， AB ＝1200sin 16°31′
≈4221(m)． 答：飞机A 与指挥台B 的距离约为4221 m.
4．从高出海平面55 m 的灯塔处收到一艘帆船的求助信号，从灯塔看帆船的俯角为21°，此时帆船距灯塔有多远(结果取整数)?
解： 设帆船离灯塔x m.
x ＝55
tan 21°
≈143 (m)． 答：帆船距灯塔约143 m.
5．如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5 m ．测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离(结果保留小数点后一位)．
解： 设斜坡上相邻两树之间的坡面距离为l m , cos24°＝5.5l ，l ＝ 5.5 cos 24°
≈6.0. 答：斜坡上相邻两树间坡面距离为6.0 m.
6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.
(1)已知∠A ，c ，写出解Rt △ABC 的过程；
(2)已知∠A ，a ，写出解Rt △ABC 的过程；
(3)已知a ，c ，写出解Rt △ABC 的过程．
解：(1)∠B ＝90°－∠A .
∵sin A ＝a c
，∴a ＝c sin A . ∵cos A ＝b c
，∴b ＝c cos A . (2)∠B ＝90°－∠A .
∵sin A ＝a c ，∴c ＝a sin A
. ∵tan A ＝a b ，∴b ＝a tan A
. (3)b ＝c 2－a 2
.
∵sin A ＝a c
， ∴∠A ＝sin －1(a c )． ∠B ＝90°－∠A .
7．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为130 m 的正方形，且每一个侧面与底面成65°角，这座金字塔原来有多高(结果取整数)?
解： 设金字塔原来的高为h m ， ∵tan65°＝h 12×130，∴h ＝65·tan65°≈139(m)． 答：这个金字塔原来的高度约为139 m.
8．如图，一枚运载火箭从地面L 处发射．当火箭到达A 点时，从位于地面R 处的雷达站测得AR 的距离是6 km ，仰角为43°；1 s 后火箭到达B 点，此时测得仰角为45.54°.这枚火箭从A 到B 的平均速度是多少(结果取小数点后两位)?
解： 在Rt △ALR 中，sin43°＝AL AR
，AL ＝AR ·sin43°＝6×sin43°≈4.092(km)． cos43°＝RL AR
，RL ＝6·cos43°， 在Rt △BLR 中，tan45.54°＝BL RL
， BL ＝RL tan45.54°≈4.472(km)．
BL －AL ≈4.472－4.092＝0.38(km)＝380(m)，
∴火箭从A 到B 的平均速度为380÷1＝380(m/s )．
答：这个火箭从A 到B 的平均速度是380 m/s .
9．为方便行人横过马路，打算修建一座高5 m 的过街天桥．已知天桥的斜面坡度为1∶1.5，计算斜坡AB 的长度(结果取整数)．
解：
∵tan α＝5BH ＝11.5
，∴BH ＝7.5 m ， ∴AB ≈9 m.
答：斜坡AB 的长度约为9 m.
10．海中有一小岛P ，在以P 为圆心、半径为16 2 n m ile 的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A 处时测得小岛P 位于北偏东60°方向上，且A ，P 之间的距离为32 n m ile .
若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A 处开始沿南偏东多少度的方向航行，才能安全通过这一海域？
解：∵32×sin30°＝16(n m ile )<162(n m ile )，∴若轮船继续向东航行，轮船有触礁的危险． 16232＝22，sin45°＝22
，45°－30°＝15°，90°－15°＝75°， ∴轮船自A 处开始至少沿南偏东75°的方向航行，才能安全通过这一海域．
11．根据图中标出的百慕大三角的位置，计算百慕大三角的面积(结果取整数)．(提示：它的面积等于一个梯形的面积减去两个直角三角形的面积．)
解： 如图：
用A ，B ，C 分别表示两个观测点和百慕大岛的位置．过点C 作水平线EF 分别交过点A ，B 的铅垂线于E ，F ，则四边形ABFE 为直角梯形．
在Rt △BCF 中，
FC ＝BC ·sin54°≈2720×0.8090＝
2200．48(km)，
FB ＝BC ·cos54°≈2720×0.5878＝
1598．816(km)．
在Rt △AEC 中，
EC ＝AC ·sin62°≈1700×0.8829＝
1500．93(km)，
EA ＝AC ·cos62°≈1700×0.4695＝
798．15(km)．
∵S △ABC ＝S 梯形ABFE －S △AEC －S BFC ＝12(EA ＋FB )(EC ＋FC )－12EA ·EC －12
FB ·FC ＝12
(EA ·FC ＋FB ·EC ) ≈12
(798.15×2200.48＋1598.816×1500.93) ≈2 078 012(km 2
)．
答：百慕大三角的面积约为2 078 012 km 2.
P 84 复习题28
1．在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，a ＝2，c ＝6，求sin A ，cos A 和tan A 的值．
解： ∵a ＝2，c ＝6，∴b ＝42，
∴sin A ＝2
6＝13，cos A ＝426＝22
3，
tan A ＝242＝2
4. 2．在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝3
2，AC ＝43，求BC 的长．
解： ∵ cos A ＝AC AB ，∴AB ＝AC
cos A ＝8.
∴BC ＝AB 2－AC 2＝82－（43）2＝4.
3．求下列各式的值：
(1)2cos45°－tan45°； (2)3sin60°＋tan60°－2cos 230°.
解： (1)原式＝2×2
2－1＝0.
(2)原式＝3×32＋3－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322
＝3
2＋3－3
2＝ 3.
4．用计算器求下列各式的值：
(1)cos76°39′＋sin17°52′；
(2)sin57°18′－tan22°30′；
(3)tan83°6′－cos4°59′；
(4)tan12°30′－sin15°.
解： (1)0.5377；(2)0.4273；
(3)7.2673；(4)－0.0371.
5．已知下列锐角的三角函数值，用计算器求锐角A 的度数：
(1)cos A ＝0.7651；
(2)sin A ＝0.9343；
(3)tan A ＝35.26；
(4)tan A ＝0.707.
解： (1) 40.08°；(2) 69.12°；
(3) 88.38°；(4) 35.26°.
6．等腰三角形的底角是30°，腰长为2 3.求它的周长．
解： 如图，设∠B ＝∠C ＝30°，作AD ⊥BC 于点D ，
则AB ＝23，
BD ＝AB · cos 30°＝23×3
2＝3, BC ＝6，
故△ABC 的周长为6＋4 3.
7．从一艘船上测得海岸上高为42 m 的灯塔顶部的仰角为33°时，船离海岸多远(结果取整数)?
解： 设船离海岸的距离为x m ，
则tan33°＝42x ，x ＝42tan 33°
≈65(m)． 答：船离海岸的距离约为65 m.
8．如图，两建筑物的水平距离BC 为32.6 m ，从A 点测得D 点的俯角α为35°12′，测得C 点的俯角β为43°24′，求这两座建筑物的高度(结果保留小数点后一位)．
解： 因为β为43°24′，所以∠ACB ＝43°24′.
又因为BC 为32.6 m ，
根据tan ∠ACB ＝AB BC
， 即可计算出AB ≈30.8 m.
过点D 作DE ⊥AB 于点E ，
所以DE ＝BC ＝32.6 m ，
再根据α为35°12′，可知∠ADE ＝35°12′，
利用tan ∠ADE ＝AE DE
， 即可计算出AE ≈23.0 m.
所以CD ＝AB －AE ≈7.8(m)．
答：这两座建筑物的高度分别约为30.8 m ，7.8 m.
9．某型号飞机的机翼形状如图所示．根据图中数据计算AC ，BD 和AB 的长度(结果保留小数点后两位)．
解： 设过B 的CD 的垂线交CD 的延长线于G ，作AH ⊥CG 于H .
在Rt △DGB 中，BG ＝5.00 m ，∠DBG ＝30°，
∴BD ＝5 cos 30°
≈5.77(m)， DG ＝5×tan30°≈2.887(m)．
在Rt △AHC 中，
AH ＝5.00 m ，∠CAH ＝45°，
∴AC ＝5×2≈7.07(m)．
∵CH ＝AH ＝5.00 m ，CD ＝3.40 m ，
∴DH ＝1.60 m ．∴HG ＝2.887－1.60≈1.29(m)，即AB 长约为1.29 m. 即AC ，BD ，AB 的长度分别约为7.07 m ，5.77 m ，1.29 m.
10．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α ≤75°.现有一架长6 m 的梯子．
(1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙(结果保留小数点后一位)? (2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，α等于多少度(结果取整数)？此时人是否能够安全使用这架梯子？
解： (1)∵sin75°＝BC
6
，
∴BC ≈5.8 m.
∴使用这个梯子能安全攀到墙面的最大高度约为5.8 m. (2)∵ cos α＝2.4
6，∴α≈66°.
∵50°≤α≤75°，∴可以安全使用．
11．如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知折痕AE ＝5 5 cm ，
且tan ∠EFC ＝3
4.
(1)△AFB 与△FEC 有什么关系？ (2)求矩形ABCD 的周长．
解： (1)相似．∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，
∵AD 沿AE 折叠，点D 落在BC 边的点F 处， ∴∠AFE ＝∠D ＝90°，FE ＝DE . ∴∠AFB ＋∠CFE ＝90°. ∵∠AFB ＋∠BAF ＝90°，
∴∠CFE ＝∠BAF ，∴△AFB ∽△FEC . (2)在Rt △EFC 中， ∵tan ∠EFC ＝EC FC ＝3
4
，
∴设EC ＝3x cm ，则FC ＝4x cm ，DE ＝EF ＝EC 2
＋FC 2
＝5x (cm)，AB ＝CD ＝8x cm. ∵△AFB ∽△FEC ， ∴AF FE ＝AB FC ，即AF 5x ＝8x 4x
，
∴AF ＝10x cm.由折叠知AD ＝AF ， ∴AD ＝10x cm.
在Rt △ADE 中，AD ＝10x cm ，DE ＝5x cm ，AE ＝5 5 cm ，由勾股定理得AD 2
＋DE 2
＝AE 2
，即(10x )
2
＋(5x )2＝(55)2
，解这个方程得x 1＝1，x 2＝－1(负数不合题意，舍去)． ∴AD ＝10 cm ，AB ＝8 cm ，
∴矩形ABCD 的周长为2(AB ＋AD )＝36 (cm)．
12．▱ABCD 中，已知AB ，BC 及其夹角∠B (∠B 是锐角)，能求出▱ABCD 的面积S 吗？如果能，用AB ，BC 及其夹角∠B 表示S .
解： 能．过A 作BC 边垂线，垂足为H ，在Rt △ABH 中，AH ＝AB ·sin B . ∴S ▱ABCD ＝BC ·AH ＝AB ·BC ·sin B . 13．已知圆的半径为R .
(1)求这个圆的内接正n 边形的周长和面积； (2)利用(1)的结果填写下表：
观察上表，随着圆内接正多边形边数的增加，正多边形的周长(面积)有怎样的变化趋势？与圆的周长(面积)进行比较，你能得出什么结论？ 解： (1)如图，AB 为正n 边形的一边，OM 为边心距．
在Rt △OAM 中，
∵OA ＝R ，∠AOM ＝180°
n ，
∴AM ＝R sin 180°n ，OM ＝R cos 180°
n
.
设正n 边形的边长为a n ，边心距为r n ，则a n ＝2AM ＝2R sin 180°n ，r n ＝R cos 180°
n .
∴正n 边形的周长为 na n ＝2nR sin 180°
n ，
正n 边形的面积为 n ·12
a n r n ＝nR 2sin
180°n cos 180°
n
或 nS △OAB ＝n ·12
OA ·OB sin
360°
n
＝ nR 2
2sin 360°n
.
(2)正六边形、正十二边形和正二十四边形的周长分别为6R ，24R sin 15°，48R sin 7.5°，面积分别是332
R 2
，3R 2，12R 2sin15°.
随着圆内接正多边形边数的增加，正多边形的周长逐渐接近圆的周长2πR ，面积逐渐接近圆
的面积πR 2
.
14．如图，在锐角△ABC 中，探究a
sin A ，b sin B ，c sin C 之间的关系．(提示：分别作AB 和BC 边上的高．)
解： 如图，过点A 作BC 边的高线AD .
∴sin B ＝AD c ，sin C ＝AD
b ，
即AD ＝ c sin B ＝b sin C . 可得
b
sin B ＝c sin C .① 过点C 作CE ⊥AB 于E ， ∴sin A ＝CE
b ，CE ＝b sin A ，
sin B ＝CE
a ，CE ＝a sin B ，
可得b sin A ＝a sin B ， 即
b
sin B ＝a sin A
.② 由①②得
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C . 素材五 图书增值练习 [当堂检测]
1. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1:3，堤坝高
BC =50 m ，则迎水坡面AB 的长度是（ ）
A ．100 m
B ．1003 m
C ．150 m
D ．503 m
2. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）
A ．(6+3)米 B. 12米 C. (4－23)米 D. 10米
3. 如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得∠BAD ＝30°，在C 点测得∠BCD ＝60°，又测得AC ＝50米，则小岛B 到公路l 的距离为 米．
4. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18 cm ，深为30 cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i =1:5，则AC 的长度是 cm ．
5. 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了5003 m 到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500 m 到达目的地C 点． （1）求A 、C 两点之间的距离；
（2）确定目的地C 在营地A 的什么方向？
参考答案 1．A 2．A 3．253
4．210
5．解：（1）过B 点作BE ∥AD ， 如图，∴∠DAB =∠ABE =60°. ∵30°+∠CBA +∠ABE =180°，∴∠CBA =90°， 即△ABC 为直角三角形.
由已知可得：BC =500 m ，AB 3， 由勾股定理可得：AC 2
=BC 2
+AB 2
，
∴22
500(5003)1000(m)+AC .
（2）在Rt△ABC中，∵BC=500 m，AC=1000 m，
∴∠CAB=30°.∵∠DAB=60°，∴∠DAC=30°.
即点C在点A的北偏东30°的方向.
[能力培优]
专题一利用解直角三角形测河宽与山高
1．如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD＝30°；小丽沿河岸向前走30 m 选取点B,并测得∠CBD＝60°.请根据以上数据,用你所学的数学知识,帮助小丽计算小河的宽度.
2．在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C处）和湖东岸的山峰老君岭（D处）的仰角都是45°，游船向东航行100米后（B处），测得太婆尖、
老君岭的仰角分别为30°、60°．试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？（3≈1.732，结果精确到1米）
专题二利用解直角三角形测坝宽与坡面距离
3．如图，一段河坝的横断面为梯形ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽AD．(i＝CE:ED，单位：m)
专题三 利用解直角三角形解决太阳能问题
4．某市规划局计划在一坡角为16°的斜坡AB 上安装一球形雕塑，其横截面示意图如图所示．已知支架AC 与斜坡AB 的夹角为28°，支架BD ⊥AB 于点B ，且AC 、BD 的延长线均过⊙O 的圆心，AB ＝12 m ，⊙O 的半径为1.5 m ，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离．（结果精确到0.01 m ）
（参考数据：cos28°≈0.9，sin62°≈0.9，sin44°≈0.7，cos46°≈0.7）
【知识要点】
１.解直角三角形的几种基本图形： 图形1：
tan30°＝
33=+a x x ， ∠ABD ＝∠A ，BD ＝AD ＝a ， tan60°＝x
x
a + ， x a x 333=+，
2
3
60sin =︒=a x ， x a x +=3，
213+=
x a ． a x 23= . a a x 21
31
3+=-= . 图形2：
tan30°＝
33=-x a x ， tan60°＝3=-x
a x ， a a x 2131
3-=+=
． a a x 233133-=+= .
图形3：
AC ＝CD ＝a ＋x ， AC ＝BE ＝DE ＝x , ∠BAD ＝∠BDA ＝30°,
tan30°＝3
3=+a x x ， tan60°＝3=+x x a , AB ＝BD ＝a ， a a x 21313+=-=
. a a x 21
31
3+=-= . x ＝21BD ＝21a .
【温馨提示】
１.解直角三角形的基本思想是“化斜为直”，在转化过程中，尽量保证已知度数的角的完整性.
２.当一个三角形是钝角三角形，且其钝角的补角是30、45、60度时，常常从该钝角顶点向对边作垂线构造“双直角三角形”.
【方法技巧】
１.双直角三角形中，公共直角边是“桥梁”，通过它建立起两直角三角形的联系.
２.如果条件中给出参考数据，结合原始数据，构造直角三角形.当计算过程中用到了参考数据，你的思路一定是正确的.
参考答案
1．解：示意图如下：
连接AC ，B C ，过点C 作CE ⊥AD 于E .
由题意得，∠ACB ＝∠CBE －∠CAD =60°－30°＝30°， ∴∠CAD ＝∠ACB ， ∴BC ＝AB ＝30.
在Rt △BEC 中，CE ＝BC sin60°＝30×
2
3
＝153（m ）. 答:
小河的宽度为153m.
2．解：设太婆尖高h 1米，老君岭高h 2米，依题意，有1
122100tan 30tan 45100.tan 45tan 60h h h h ⎧-=⎪⎪⎨
⎪-=⎪⎩o o o o
，
解得150(31)137h =+≈（米），2h 50(33)237=+≈(米). 答：太婆尖的高度约为137米，老君岭的高度约为237米 .
3．解：如图所示，过点B 作BF ⊥AD 于F ，可得矩形BCEF ， ∴EF ＝BC ＝4，BF ＝CE ＝4．
在Rt △ABF 中，∠AFB ＝90°，AB ＝5，BF ＝4， 由勾股定理可得22543AF =-=． ∵Rt △CED 中，1
2
CE i ED =
=， ∴ED ＝2CE ＝2×4＝8．
∴AD ＝AF ＋FE ＋ED ＝3＋4＋8＝15(m)．
4．解：过点O 作水平地面的垂线，垂足为E ．
在Rt△AOB 中，cos∠OAB ＝OA
AB
， 即cos28°＝OA 12，∴OA ＝
1212
13.333cos 280.9
≈≈︒. ∵∠BAE ＝16°，
∴∠OAE ＝28°＋16°＝44°. 在Rt△AOE 中，sin∠OAE ＝OA
OE
， 即sin44°333
.13OE
≈
，
∴OE 333.97.0333.13≈⨯≈， 9.333＋1.5≈10.83(m).
∴雕塑最顶端到水平地面的垂直距离约为10.83 m ． 素材六 数学素养提升
太阳光测高是谁最先发现的？
金字塔是古埃及国王为自己建造的巨大陵墓.塔基呈四方形，越往上去越狭窄，直到塔顶.从四面看，塔都像我国汉字的“金”字，因此，我国称为“金字塔”.
两千六百多年前，埃及有个国王，想知道已经给他盖好了的大金字塔的确实高度，于是，命令祭司们去丈量。

可是，没有一个祭司知道该怎样测量，在这个问题面前，祭司们个个束手无策。

显然，人是不可能爬到那麽高大的塔顶上去的，即使爬上去了，由于塔身是斜的，又怎样来测量呢？一时间，金字塔的高度成了一个难题。

国王一气之下，杀死了几个祭司；同时悬赏求解答.
有一个叫法涅斯的学者，看到国王的昭示后，决心解决这个难题.他想了好几个解题的方案，但都行不通.失败并没有使他灰心,法涅斯索性来到外面，一边踱步，一边思索著解决的办法，以致撞到树上.于是，他转了个弯，又走下去.太阳把他的影子投到地上，他走到那里，影子也跟到那里.这时，他突然看到自己的影子，于是想：是不是可以请太阳来帮忙呢？" 在古埃及人的眼里，太阳是万能的，太阳能给人温暖，能帮助人们确定方向"法涅斯眼前一亮，他清楚记得，早上和傍晚每个物体都拖著一个长长的影子，而中午每个物体的影子都很短…那麽，是不是有一个时刻，物体的影子就等于物体的高度怩？他自言自语起来.
想到这里，法涅斯就找了一根竿子，竖在太阳底下，认真观察、测量起来.经过几天的观察、测量，法涅斯终于证实了自己的想法一有一个时候，物体的影子等于物体的高度.于是，他去测量好金字塔底边的长度，并把数据记下来.然后，他毫不犹豫地揭下了悬挂的昭示.国王得到“有人揭下昭示" 的报告后，高兴万分，派人把法涅斯召进王官，盛情款待.一切准备停当后，国王选择了一个风和日丽的日子，举行测塔仪式.测塔这天，国王在祭司们的陪同下，和法捏斯一起来到金字塔旁.看热闲的人黑压压一片，喧哗着，拥挤着，他们等待着庄严的一刻到来.法涅斯站在测塔指挥台上，俨然像个天使，一动也不动地注视著自己的影子.看看时间快到了，太阳光给每一个在场的人和巨大的金字塔都投下了黑黑的影子.当法涅斯确定他自己的影子已等于他的身高时，便发出了测塔的命令.这时，助手们立即测出了金字塔的阴影的长.接著，法涅斯十分淮确地算出了金字塔的高度，最后，他还把测量金字塔高度的秘密告诉大家.场上，发出一阵热烈的欢呼声.显然，法涅斯利用了相似三角形的原理测得了塔高.在法捏斯以前，还没有人知道这个原理呢！法捏斯第一次发现、利用这个原理.在那个时代，这是一个伟大的创举！
在这个基础上，法涅斯进一步研究，得出一个法则：在任意两个对应角相等的三角形中，对应边的比率也相等.从而，找到了在任何季节里,在任何时候都能测塔高的方法.。