热水喷泉现象的理论研究

热水喷泉现象的理论研究
刘建晓;郑永春;史宫会;范媛媛
【摘要】研究了莫尔吸量管中吸入部分热水产生的喷泉现象，应用伯努力方程得到最大喷射高度的表达式，讨论了吸水高度、平衡温度及喷嘴孔径对最大喷射高度的影响。

通过多项式拟合求得平衡温度与吸水高度的关系式，解决了平衡温度不易测量的难题。

%The fountain phenomena were studied when a Mohr pipette was partially filled with hot water .The formula of the maximum jetting height was deduced using Bernoulli equation ,and the in‐fluences of suction height ,equilibrium temperature and nozzle aperture on maximum jetting height were discussed .The relation between temperature and suction height was obtained by po lynomial fit‐ting ,thus the equilibrium temperature was measured easily and accurately .
【期刊名称】《物理实验》
【年(卷),期】2016(036)004
【总页数】4页(P23-26)
【关键词】热水喷泉;伯努力方程;最大喷射高度;IYPT
【作者】刘建晓;郑永春;史宫会;范媛媛
【作者单位】衡水学院电子信息工程学院，河北衡水053000;衡水学院电子信息工程学院，河北衡水053000;衡水学院化工学院，河北衡水053000;衡水学院电子信息工程学院，河北衡水053000
【正文语种】中文
【中图分类】O35
大学物理热学中有这样一个实验：将莫尔吸量管中吸入部分热水，将一端堵住并倒置，使得吸量管小孔向上，此时可看到水像喷泉一样从小孔涌出. 对于此实验，在热学课本中给出的解释大多为：热水将封闭气体预热，使得气体膨胀对外做功，水便喷出. 本文研究部分吸入热水的吸量管产生喷泉的实验现象，讨论吸水高度、平衡温度及喷嘴孔径对喷泉最大高度的影响. 这是2016年国际青年物理学家竞赛(IYPT)的一道赛题，也是河北省第2届大学生物理竞赛试题之一. 对于此问题的研究多为对实验现象的研究，就其所适用的物理规律、物理公式讨论较少，理论依据较为缺乏[1-2]. 而理论研究的最大困难在于，能否确定热水喷泉喷射时的温度以及找到压强与喷射速度之间所满足的关系式. 本文主要针对这些问题进行了研究.
实验原理如图1所示，莫尔吸量管长度为l，喷嘴小孔半径为r1，面积为S1，管身半径为r2，横截面积为S2，外界温度为T1，每次实验吸入热水后气体预热平衡温度为T2，吸入热水的高度为h1，则管内所封入气体的高度为h2=l-h1，外界大气压为p1，管内大气压为p2.
求解喷泉最大喷射高度H的关键是如何求得热水喷射瞬间的速度v1，忽略空气阻力的影响，则垂直面内的喷泉喷射可类似为竖直上抛运动，即在最大高度处水柱的速度应满足v=0. 设吸水后倒立瞬间，下液面所处的位置为0势能面，如图1(a)所示. 在喷射过程中某时刻t，设下液面上升位移为x，液面速度v2，尖嘴处喷出水的高度为H，水流速度为v1，如图1(b)所示,则在x与H所在两点位置应用伯努力方程得[3-6]：
外界温度T1=20 ℃，平衡温度T2=80 ℃，吸量管长度l=0.3450 m，喷嘴孔径r1=0.59 mm，管身半径r2=4.5 mm，应用(5)式编程求解最大高度H.
图3为吸水量的变化对喷泉最大高度的影响，在平衡温度保持80 ℃不变的情况下，封入吸量管的气体对外做功，推动水柱上升. 由于吸水量的增加会导致水柱的质量增加，因此喷泉高度会随吸水的质量增大而减小.
吸水量h1=0.128 m,平衡温度T2为变量，其他量与2.1中相同，通过仿真计算求得喷泉最大高度随气体温度T2的变化，如图4所示. 由图4可以看出，随温度T2的升高，喷泉的最大高度H也在增加. 这是由于温度升高使得气体压强增大，对水做功增加所致. 因此，温度是决定喷泉高度的一个重要变量.
吸水量h1=0.128 m，平衡温度T2=80 ℃时，改变喷嘴小孔半径r1，其他量与2.1中相同. 通过计算求得喷泉最大高度H随r1的变化，如图5所示. 由图5可以看出，随小孔半径r1的增大，最大高度H不断降低. 由(2)式可知：小孔半径的增加使得水流的速度降低，因此喷泉最大高度下降.
针对以上分析进行实验研究，测量数据如表1所示.
将实验数据描点，并与仿真计算2.1中喷泉最大高度随不同温度下吸水高度的变化曲线进行对比. 由理论分析可知影响喷泉最大高度的主要因素有：吸水高度h1，预热气体的平衡温度T2，小孔半径r1. 由于实验条件与仿真计算2.1所设置条件一致，因此图6中实验数据与理论曲线的偏差说明所吸热水温度与预热气体平衡温
度T2并不相等. 由于热水与气体进行热交换过程较为复杂[7]，并且在实验过程中
平衡温度也不容易得到. 这里采用作图法得到了热平衡温度T2. 图6中画出了不同平衡温度T2时喷泉高度与吸水高度的对应曲线，则实验数据与不同温度曲线的交点即为所对应平衡温度. 图6中实验数据表明喷泉最大高度先增大后减小，说明封入气体的平衡温度T2随吸水高度h1先增大后减小.
通过分析可求得不同吸水量h1时，所对应的气体平衡温度T2，如表2所示. 将表2数据进行多项式拟合，可得到函数T2(h1)，本例中拟合函数为
图7为平衡温度与吸水量的对应关系曲线，由图7可以看出，多项式拟合结果与
实验结果基本一致，仅在峰值附近偏差较大. 图8为采用拟合关系式求得的喷泉最大高度与实验数据的对比结果. 同样在峰值附近有一定偏差，这可能是由于峰值附近，数据变化量较大，数据采集较少所致. 在峰值两侧实验数据与理论分析则基本一致，吻合较好.
本文对热水喷泉现象从理论上进行了分析，得到了喷泉最大高度的函数关系式，并讨论了影响喷泉最大高度的因素. 对照实验数据进一步对理论模型进行了调整，通过多项式拟合求得了平衡温度与吸水高度的关系式，解决了在喷泉实验过程中，平衡温度不易测量的难题. 最后通过对拟合的温度对应关系模型进行计算得到了与实验数据基本一致的结果.。