高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》专项训练答案

新数学《推理与证明》专题解析(1)
一、选择题
1．设x ，y ，z ＞0，则三个数,,y y z z x x x z x y z y +++ （ ） A ．都大于2
B ．至少有一个大于2
C ．至少有一个不小于2
D ．至少有一个不大于2
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】 假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋x y ＝(y x
＋x y )＋(y z ＋z y )＋(z x ＋x z
)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.
2．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )
从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )
A ．100820182⨯
B ．100920182⨯
C ．100820202⨯
D ．100920202⨯
【答案】C
【解析】
【分析】
根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果.
【详解】
解：第一行第一个数为：0112=⨯；
第二行第一个数为：1422=⨯；
第三行第一个数为：21232=⨯；
第四行第一个数为：33242=⨯； L L ，
第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；
一共有1010行，
∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯；
故选C ．
【点睛】
本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
3．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记
()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（ ） A ．8
B ．7
C ．6
D ．5 【答案】D
【解析】
【分析】
由规律得()()()2
2211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可 【详解】
由已知等式的规律可知()()
()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =.
故选：D
【点睛】
本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题
4．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，
意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=，其中
0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.
试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（ ）
A ．228617430x x ++=
B ．4227841630x x x +++=
C ．2174328610x x ++=
D ．43163842710x x x +++=
【答案】C
【解析】
【分析】
根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果.
【详解】
由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，
由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为2174328610x x ++=.
故选：C.
【点睛】
本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.
5．给出下面类比推理：
①“若2a<2b ，则a<b”类比推出“若a 2<b 2，则a<b”；
②“(a ＋b)c ＝ac ＋bc(c≠0)”类比推出“a b a b c c c
+=+ (c≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b”； ④“a ，b ∈R ，若a －b>0，则a>b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b>0，则a>b(C 为复数集)”． 其中结论正确的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】
在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可以直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对四个结论逐一进行分析，不难解答.
【详解】
①若“22a b <，则a b <”类比推出“若22a b <，则a b <”，不正确，比如1,2a b ==-； ②“()(0)a b c ac bc c +=+≠”类比推出“(0)a b a b c c c c
+=+≠”，正确； ③在复数集C 中，若两个复数满足0a b -=，则它们的实部和虚部均相等，则,a b 相等，故正确；
④若,a b C ∈，当1,a i b i =+=时，10a b -=>，但,a b 是两个虚数，不能比较大小，故错误；
所以只有②③正确，即正确命题的个数是2个，
故选B.
【点睛】
该题考查的是有关判断类比得到的结论的正确性的问题，涉及到的知识点有式子的运算法则，数相等的条件，复数不能比较大小等结论，属于简单题目.
6．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：
记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ）
A ．147
B ．294
C ．882
D ．1764
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题目所给的步骤进行计算，由此求得6S 的值.
【详解】
依题意列表如下：
S=+++++=.
所以6603020151210147
故选：A
【点睛】
本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.
7．在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个，类似的，在立体几何中，与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有（）
A．1个B．5个C．7个D．9个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面图形的结论，通过想象类比得出立体图形对应的结论.
【详解】
根据三角形的内切圆和旁切圆可得
与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个，
由此类比到四面体中，
四面体的内切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，
还有四个旁切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，
因此这样的点有且只有5个.
故选：B
【点睛】
本题考查的是类比推理，找出切入点是解题的关键.
8．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，
小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（ ）
A ．小钱
B ．小李
C ．小孙
D ．小赵 【答案】A
【解析】
由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；
如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A.
9．二维空间中圆的一维测度(周长)2l r π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二
维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)343
V r π=.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ） A ．42r π
B ．43r π
C ．44r π
D ．46r π 【答案】A
【解析】
分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .
详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度， 结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=.
本题选择A 选项.
点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（ ）
A ．大于2
B ．小于2
C ．不小于2
D ．不大于2 【答案】B
【解析】
【分析】
把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号．
【详解】
解：2a b c ++=Q ，
2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．
则2()ab bc ac ++
222ab ac bc =++
ab ac bc ac ab bc =+++++
()()()a b c c b a b a c =+++++
(2)(2)(2)b b a a c c =-+-+-
222222b b a a c c =-+-+-
()()2222a b c a b c =-+++++
()2224a b c =-+++，
2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，
即()2220a b c -++<，
2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<
即ab bc ac ++的值小于2．
故选：B ．
【点睛】
本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．
11．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下： 甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话.
事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．甲或乙
【答案】A
【解析】假设甲说的是假话,即丙考满分,则乙也是假话,不成立;假设乙说的是假话,即乙没有考满分,又丙没有考满分,故甲考满分;因此甲得满分,故选A.
12．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈（ ）
A ．30010
B ．40010
C ．50010
D ．60010
【答案】A
【解析】
【分析】 结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n 项和公式和对数恒等式即可求解
【详解】
如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为29101222211023+++⋅⋅⋅+=-=，所以原数字塔中前10层所有数字之积为
10231023lg 230021010=≈.
故选：A
【点睛】
本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n 项和公式应用，属于中档题
13．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A ．甲、乙、丙
B ．乙、甲、丙
C ．丙、乙、甲
D ．甲、丙、乙
【答案】A
【解析】
【分析】
利用逐一验证的方法进行求解.
【详解】
若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．
【点睛】
本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．
14．三角形面积为()12
S a b c r =++，a ，b ，c 为三角形三边长，r 为三角形内切圆半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为（ ）
A ．13V abc =
B ．13
V Sh =
C ．()13V ab bc ac h =
++⋅（h 为四面体的高） D ．()123413
V s s s s r =+++⋅（其中1s ，2s ，3s ，4s 分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径，设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面与空间的类比推理，由点类比直线，由直线类比平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比四面体的体积计算方法，即可求解．
【详解】
设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ，
根据三角形的面积的求解方法：利用分割法，将O 与四个顶点连起来，
可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和， 即()123413
V s s s s r =+++⋅，故选D ． 【点睛】
本题主要考查了类比推理的应用，其中解答中类比推理是将已知的一类数学对象的性质类比到另一类数学对象上去，通常一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质取推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题，本题属于基础题．
15．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）
A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人
B ．猜想数列111,,122334
⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=
D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质
【答案】C
【解析】
【分析】
根据归纳推理，类比推理和演绎推理的定义分别进行判断即可.
【详解】
对于A ，高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人，是归纳推理；
对于B ，归纳出{}n a 的通项公式，是归纳推理；
对于C ，半径为r 的圆的面积2πS r =，则单位圆的面积πS =，演绎推理；
对于D ，由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，为类比推理.故选C ．
【点睛】
该题考查的是有关演绎推理的判断，涉及到的知识点有判断一个推理是合情推理还是演绎推理，关键是要明确合情推理和演绎推理的定义，属于简单题目.
16．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：
3331373152{3{94{5171119
L ，，,仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为（ ） A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
【答案】B
【解析】
由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数，设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ，则由题意可得：3273422a a -=-==⨯，43137623a a -=-==⨯，…，12(1)m m a a m --=-，将以上2m -个式子叠加可得
2(422)(2)(1)(2)2
m m m a a m m +---==+- ∴22(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+
∴当9m =时，73m a =，即73是39的“分裂数”中第一个数
故选B
17．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是( )
A ．3 971
B ．3 972
C ．3 973
D ．3 974 【答案】D
【解析】
【分析】
先对数据进行处理能力再归纳推理出第n 组有n 个数且最后一个数为n 2，则前n 组共1+2+3+…+n ()12n n +=
个数，运算即可得解． 【详解】
解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）…
则第n 组有n 个数且最后一个数为n 2，
则前n组共1+2+3+…+n
()1
2
n n+
=个数，
设第2019个数在第n组中，
则
()
()
1
2019
2
1
2019
2
n n
n n
⎧+
≥
⎪⎪
⎨
-
⎪
⎪⎩＜
，
解得n＝64，
即第2019个数在第64组中，
则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974，
故选：D．
【点睛】
本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n项和公式，属中档题．
18．下列表述正确的是（）
①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；
③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；
A．②④ B．①③ C．①④ D．①②
【答案】D
【解析】分析：根据题意，结合合情推理、演绎推理的定义，依次分析4个命题，综合即可得答案.
详解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①，归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，所以正确；
对于②，演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，所以正确；
对于③，类比推理是由特殊到特殊的推理，所以错误；
对于④，分析法、综合法是常见的直接证明法，所以错误；
则正确的是①②，故选D.
点睛：该题考查的是有关推理的问题，对归纳推理、演绎推理和类比推理的定义要明确，以及清楚哪些方法是直接证明方法，哪些方法是间接证明方法，就可以得结果.
19．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：
甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；
乙预测说：我不会获奖，丙获奖
丙预测说：甲和丁中有一人获奖；
丁预测说：乙的猜测是对的
成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（）
A．甲和丁
B．乙和丁
C．乙和丙
D．甲和丙
【答案】B
【解析】
【分析】
从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断
【详解】
若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁
答案选B
【点睛】
真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证
20．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 ( )
A．各月的平均最低气温都在0℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20℃的月份有5个
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ．
【考点】
统计图
【易错警示】
解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．。