山东省淄博市高青县八年级数学上学期期末考试试题(含

山东省淄博市高青县2015-2016学年八年级数学上学期期末考试试
题
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．把代数式2x2﹣18分解因式，结果正确的是( )
A．2（x2﹣9）B．2（x﹣3）2C．2（x+3）（x﹣3）D．2（x+9）（x﹣9）
2．化简：的结果是( )
A．B．C．D．
3．2015年某中学举行的春季田径径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示：
成绩（m） 1.80 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75
人数 1 2 4 3 3 2
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是( )
A．1.70m，1.65m B．1.70m，1.70m C．1.65m，1.60m D．3，4
4．下列四个图形中，是中心对称图形的是( )
A．B．C． D．
5．已知▱ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是( )
A．100°B．160°C．80° D．60°
6．已知a﹣b=3，b+c=﹣5，则代数式ac﹣bc+a2﹣ab的值为( )
A．﹣15 B．﹣2 C．﹣6 D．6
7．分式方程的解为( )
A．3 B．﹣3 C．无解 D．3或﹣3
8．某校七年级共320名学生参加数学测试，随机抽取50名学生的成绩进行统计，其中15名学生成绩达到优秀，估计该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数大约有( )
A．50人B．64人C．90人D．96人
9．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
10．如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，▱ABCD的周长是14，则DM等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如果三角形的两边分别为3和5，那么连结这个三角形三边中点所得三角形的周长可能是( )
A．5.5 B．5 C．4.5 D．4
12．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为( )
A．13 B．14 C．15 D．16
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
13．分解因式：3m2﹣6mn+3n2=__________．
14．如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF=3，则CD的长为__________．
15．如图是两张全等的图案，它们完全重合地叠放在一起，按住下面的图案不动，将上面图案绕点O顺时针旋转，至少旋转__________度角后，两张图案构成的图形是中心对称图形．
16．已知一组数据5，8，10，x，9的众数是8，那么这组数据的方差是__________．
17．某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的12倍，用这台机器生产60个零件比8个工人生产这些零件少用2小时，则这台机器每小时生产__________个零件．
三、解答题（共7小题，满分64分）
18．把下列各式因式分解
（1）a3b﹣4ab
（2）（x+1）（x+2）+．
19．计算：
（1）化简：
（2）解方程：．
20．画图题：如图所示，已知△ABC和图形外一点O，画出△ABC关于点O的对称图形．（不写画法）
21．某校团委举办了一次“中国梦，我的梦”演讲比赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达6分以上为合格，达到9分以上（含9分）为优秀．这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如下．
（1）补充完成下列的成绩统计分析表：
组别平均分中位数方差合格率优秀率
甲 6.7 ______
____
3.41 90% 20%
乙______
____ 7.5 ______
____
80% 10%
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上表
可知，小明是__________组学生；（填“甲”或“乙”）
（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你给出两条支持乙组同学观点的理由．
22．如图，已知平行四边形ABCD．
（1）请按下列要求画图，取CD的中点G，点E是边AD上的动点，连接EG并延长，与BC 的延长线交于点F，连结CE，DF；
（2）求证：四边CEDF是平行四边形．
23．列方程或方程组解应用题：
近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险金0.2万元．求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元？
24．阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB 的度数；
小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．
（1）请你回答：图1中∠APB的度数等于__________．（直接写答案）
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=2，PB=1，PD=．
（2）求∠APB的度数；
（3）求正方形的边长．
2015-2016学年山东省淄博市高青县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．把代数式2x2﹣18分解因式，结果正确的是( )
A．2（x2﹣9）B．2（x﹣3）2C．2（x+3）（x﹣3）D．2（x+9）（x﹣9）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解．
【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：2x2﹣18=2（x2﹣9）=2（x+3）（x﹣3）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．2．化简：的结果是( )
A．B．C．D．
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题．
【分析】解决本题首先应通分，然后进行分式的加减运算．
【解答】解：
=
=．
故选A．
【点评】分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
3．2015年某中学举行的春季田径径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示：
成绩（m） 1.80 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75
人数 1 2 4 3 3 2
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是( )
A．1.70m，1.65m B．1.70m，1.70m C．1.65m，1.60m D．3，4
【考点】众数；中位数．
【分析】首先根据这组数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，判断出这些运动员跳高成绩的中位数即可；然后找出这组数据中出现次数最多的数，则它就是
这些运动员跳高成绩的众数，据此解答即可．
【解答】解：∵15÷2=7…1，第8名的成绩处于中间位置，
∴男子跳高的15名运动员的成绩处于中间位置的数是1.65m，
∴这些运动员跳高成绩的中位数是1.65m；
∵男子跳高的15名运动员的成绩出现次数最多的是1.60m，
∴这些运动员跳高成绩的众数是1.60m；
综上，可得
这些运动员跳高成绩的中位数是1.65m，众数是1.60m．
故选：C．
【点评】（1）此题主要考查了众数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．②求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（2）此题还考查了中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，①如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．②如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4．下列四个图形中，是中心对称图形的是( )
A．B．C． D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查了中心对称图形的知识，在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
5．已知▱ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是( )
A．100°B．160°C．80° D．60°
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A=∠C，AD∥BC，又由∠A+∠C=200°，即可求得∠A的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD∥BC，
∵∠A+∠C=200°，
∴∠A=100°，
∴∠B=180°﹣∠A=80°．
故选C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的知识．
6．已知a﹣b=3，b+c=﹣5，则代数式ac﹣bc+a2﹣ab的值为( )
A．﹣15 B．﹣2 C．﹣6 D．6
【考点】因式分解的应用；代数式求值．
【专题】整体思想；因式分解．
【分析】首先将a﹣b=3、b+c=﹣5两式等号左右两边分别相加，得到a+c的值；再将代数式ac﹣bc+a2﹣ab分解因式转化为（a﹣b）（a+c）；最后将a﹣b、a+c作为一个整体代入求得代数式的结果．
【解答】解：∵a﹣b=3，b+c=﹣5
∴a﹣b+b+c=3﹣5，解a+c=﹣2
∴ac﹣bc+a2﹣ab=c（a﹣b）+a（a﹣b）=（a﹣b）（a+c）=3×（﹣2）=﹣6
故选C
【点评】本题考查因式分解的应用、代数式求值．解决本题的关键是将a﹣b、b+c、a+c做为一个整体来应用．
7．分式方程的解为( )
A．3 B．﹣3 C．无解 D．3或﹣3
【考点】解分式方程．
【分析】观察可得最简公分母是（x+3）（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，注意要检验．
【解答】解：方程的两边同乘（x+3）（x﹣3），得
12﹣2（x+3）=x﹣3，
解得：x=3．
检验：把x=3代入（x+3）（x﹣3）=0，即x=3不是原分式方程的解．
故原方程无解．
故选C．
【点评】此题考查了分式方程的求解方法．此题比较简单，注意转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．
8．某校七年级共320名学生参加数学测试，随机抽取50名学生的成绩进行统计，其中15名学生成绩达到优秀，估计该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数大约有( )
A．50人B．64人C．90人D．96人
【考点】用样本估计总体．
【分析】随机抽取的50名学生的成绩是一个样本，可以用这个样本的优秀率去估计总体的
优秀率，从而求得该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数．
【解答】解：随机抽取了50名学生的成绩进行统计，共有15名学生成绩达到优秀，
∴样本优秀率为：15÷50=30%，
又∵某校七年级共320名学生参加数学测试，
∴该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数为：320×30%=96人．
故选：D．
【点评】本题考查了用样本估计总体，这是统计的基本思想．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
9．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】平移的性质．
【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC即可得出答案．
【解答】解：根据题意，将周长为8个单位的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．
故选：C．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD，DF=AC是解题的关键．
10．如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M，且MC=2，▱ABCD的周长是14，则DM等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据BM是∠ABC的平分线和AB∥CD，求出BC=MC=2，根据▱ABCD的周长是14，求出CD=5，得到DM的长．
【解答】解：∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠ABM=∠CBM，
∵AB∥CD，
∴∠ABM=∠BMC，
∴∠BMC=∠CBM，
∴BC=MC=2，
∵▱ABCD的周长是14，
∴BC+CD=7，
∴C D=5，
则DM=CD﹣MC=3，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质和角平分线的定义，根据平行四边形的对边相等求出BC+CD是解题的关键，注意等腰三角形的性质的正确运用．
11．如果三角形的两边分别为3和5，那么连结这个三角形三边中点所得三角形的周长可能是( )
A．5.5 B．5 C．4.5 D．4
【考点】三角形中位线定理；三角形三边关系．
【分析】本题依据三角形三边关系，可求第三边大于2小于8，原三角形的周长大于10小于16，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于5而小于8，看哪个符合就可以了．
【解答】解：设三角形的三边分别是a、b、c，令a=3，b=5，
∴2＜c＜8，
∴10＜三角形的周长＜16，
∴5＜中点三角形周长＜8．
故选A．
【点评】本题重点考查了三角形的中位线定理，利用三角形三边关系，确定原三角形的周长范围是解题的关键．
12．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为( )
A．13 B．14 C．15 D．16
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案．
【解答】解：设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得
（n﹣2）180°=2340°，
解得n=15，
原多边形是15﹣1=14，
故选：B．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，多边形的内角和公式是解题关键．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
13．分解因式：3m2﹣6mn+3n2=3（m﹣n）2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．注意完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
【解答】解：3m2﹣6mn+3n2=3（m2﹣2mn+n2）=3（m﹣n）2．
故答案为：3（m﹣n）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式的知识．注意提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
14．如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF=3，则CD的长为6．
【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．
【分析】根据三角形中位线等于三角形第三边的一半可得AB长，进而根据平行四边形的对边相等可得CD=AB．
【解答】解：∵EF是△ABD的中位线，
∴AB=2EF=6，
又∵AB=CD，
∴CD=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形中位线定理及平行四边形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．
15．如图是两张全等的图案，它们完全重合地叠放在一起，按住下面的图案不动，将上面图案绕点O顺时针旋转，至少旋转60度角后，两张图案构成的图形是中心对称图形．
【考点】中心对称图形．
【专题】压轴题．
【分析】根据中心对称图形的概念并结合图形特征进行分析．
【解答】解：正三角形要想变成和正偶数边形有关的多边形，边数最少也应是6边形，而六边形的中心角是60°，所以至少旋转60°角后，两张图案构成的图形是中心对称图形．【点评】注意：在讨论正多边形的对称性的时候，所有的正多边形都是轴对称图形，只有偶数边的正多边形同时是中心对称图形．
16．已知一组数据5，8，10，x，9的众数是8，那么这组数据的方差是2.8．
【考点】方差；众数．
【分析】根据众数的定义求出x的值，再根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可．
【解答】解：∵一组数据5，8，10，x，9的众数是8，
∴x是8，
∴这组数据的平均数是（5+8+10+8+9）÷5=8，
∴这组数据的方差是：
[（5﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2]=2.8．
故答案为：2.8．
【点评】此题考查了众数、平均数和方差，掌握众数、平均数和方差的定义及计算公式是此题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均
数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]．
17．某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的12倍，用这台机器生产60个零件比8个工人生产这些零件少用2小时，则这台机器每小时生产15个零件．
【考点】分式方程的应用．
【分析】设一个工人每小时生产零件x个，则机器一个小时生产零件12x个，根据这台机器生产60个零件比8个工人生产这些零件少用2小时，列方程求解，继而可求得机器每小时生产的零件．
【解答】解：设一个工人每小时生产零件x个，则机器一个小时生产零件12x个，
由题意得，﹣=2，
解得：x=1.25，
经检验：x=1.25是原分式方程的解，且符合题意，
则12x=12×1.25=15．
即这台机器每小时生产15个零件．
故答案为：15．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
三、解答题（共7小题，满分64分）
18．把下列各式因式分解
（1）a3b﹣4ab
（2）（x+1）（x+2）+．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；因式分解．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式=ab（a2﹣4）=ab（a+2）（a﹣2）；
（2）原式=x2+3x+=（x+）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的
关键．
19．计算：
（1）化简：
（2）解方程：．
【考点】分式的化简求值；分式的加减法；解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】（1）先进行同分母的减法运算，然后把分母因式分解后约分即可；
（2）先去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程得到x=3，然后进行检验确定原方程的解．
【解答】解：（1）原式=
=
=；
（2）去分母得3﹣x﹣1=x﹣4，
解得x=3，
经验：当x=3时，x﹣4≠0，
所以原方程的解为x=3．
【点评】本题考查了分式的加减法：同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．也考查了解分式方程．
20．画图题：如图所示，已知△ABC和图形外一点O，画出△ABC关于点O的对称图形．（不写画法）
【考点】作图-旋转变换．
【专题】作图题．
【分析】延长AO到A′点使A′O=AO，则点A′为A点的对应点，同样方法得到B、C的对应点B′、C′，则△ABC关于点O的对称图形为△A′B′C′．
【解答】解：如图，△A′B′C′为所作．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
21．某校团委举办了一次“中国梦，我的梦”演讲比赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达6分以上为合格，达到9分以上（含9分）为优秀．这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如下．
（1）补充完成下列的成绩统计分析表：
组别平均分中位数方差合格率优秀率
甲 6.7 6 3.41 90% 20%
乙7.1 7.5 1.69 80% 10%
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上表可知，小明是甲组学生；（填“甲”或“乙”）
（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你给出两条支持乙组同学观点的理由．
【考点】条形统计图；算术平均数；中位数；方差．
【专题】计算题．
【分析】（1）先根据条形统计图写出甲乙两组的成绩，然后分别计算甲的中位数，乙的平均数和方差；
（2）比较两组的中位数进行判断；
（3）通过乙组的平均数、中位数或方差进行说明．
【解答】解：（1）甲组：3，6，6，6，6，6，7，8，9，10，中位数为6；
乙组：5，5，6，7，7，8，8，8，8，9，平均数=7.1，S乙2=1.69；
（2）因为甲组的中位数为6，所以7分在甲组排名属中游略偏上；
故答案为6，7.1，1.69；甲；
（3）乙组的平均数高于甲组；乙组的中位数高于甲组，所以乙组的成绩要好于甲组．
【点评】本题考查了条形统计图：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了中位数和方差．
22．如图，已知平行四边形ABCD．
（1）请按下列要求画图，取CD的中点G，点E是边AD上的动点，连接EG并延长，与BC
的延长线交于点F，连结CE，DF；
（2）求证：四边CEDF是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）由平行四边形的性质证出∠FCG=∠EDG，由ASA证明△CFG≌△DEG，得出对应边相等EG=FG，由平行四边形的判定方法即可得出结论．
【解答】（1）解：如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FCG=∠EDG，
∵G是CD的中点，
∴CG=DG，
在△CFG和△DEG中，，
∴△CFG≌△DEG（ASA），
∴EG=FG，
又∵CG=DG，
∴四边CEDF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质；证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．
23．列方程或方程组解应用题：
近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险金0.2万元．求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元？
【考点】分式方程的应用．
【专题】应用题．
【分析】设乙每年缴纳养老保险金为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为（x+0.2）万元，根据甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设乙每年缴纳养老保险金为x万元，则甲每年缴纳养老保险金为（x+0.2）万元，
根据题意得：=，
去分母得：15x=10x+2，
解得：x=0.4，
经检验x=0.4是分式方程的解，且符合题意，
∴x+0.2=0.4+0.2=0.6（万元），
答：甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金0.6万元、0.4万元．
【点评】此题考查了分式方程的应用，找出题中等量关系“甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元”是解本题的关键．
24．阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB 的度数；
小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．
（1）请你回答：图1中∠APB的度数等于150°．（直接写答案）
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=2，PB=1，PD=．
（2）求∠APB的度数；
（3）求正方形的边长．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质．【分析】（1）把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，由旋转的性质可得P′A=PA，P′C=PB，∠PAP′=60°，证出△APP′是等边三角形，由等边三角形的性质求出PP′=PA=3，∠AP′P=60°，再由勾股定理逆定理求出∠PP′C=90°，求出∠AP′C，即为∠APB的度数；（2）把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP′，由旋转的性质可得P′A=PA，P′D=PB，∠PAP′=90°，证出△APP′是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质求出PP′，∠AP′P=45°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′D=90°，然后求出∠AP′D，即为∠APB 的度数；
（3）求出点P′、P、B三点共线，过点A作AE⊥PP′于E，根据等腰直角三角形的性质求
出AE=PE=PP′，然后求出BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AB即可．
【解答】解：（1）如图2，把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，
由旋转的性质，P′A=PA=3，P′D=PB=4，∠PAP′=60°，∠APB=∠AP′C，
∴△APP′是等边三角形，
∴PP′=PA=3，∠AP′P=60°，
∵PP′2+P′C2=32+42=25，PC2=52=25，
∴PP′2+P′C2=PC2，
∴∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；
故∠APB=∠AP′C=150°；
故答案为：150°．
（2）如图3，把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP′，
由旋转的性质，P′A=PA=2，P′D=PB=1，∠PAP′=90°，
∴△APP′是等腰直角三角形，
∴PP′=PA=4，∠AP′P=45°，
∵PP′2+P′D2=42+12=17，PD2=（）2=17，
∴PP′2+P′D2=PD2，
∴∠PP′D=90°，
∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D=45°+90°=135°，
故∠APB=∠AP′D=135°，
（3）∵∠APB+∠APP′=135°+45°=180°，
∴点P′、P、B三点共线，
过点A作AE⊥PP′于E，
则AE=PE=PP′=×4=2，
∴BE=PE+PB=2+1=3，
在Rt△ABE中，AB===．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，求正方形的边长有一定的难度，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．。