高中数学 数列题型讲义 新人教A版必修5

题型一：由数列的递推公式求通项
1、根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＝
n －1
n
a n －1(n ≥2)； (3)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，且a 1＝2，求a n . 解 (1)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴
a n ＋1＋1
a n ＋1
＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2， ∴a n ＋1＝2·3n －1
，∴a n ＝2·3
n －1
－1.
(2)∵a n ＝
n －1n a n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1
n
. (3)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2，∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n 3n ＋1
2
(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n
2
.
方法归纳： 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a n
a n －1
＝f (n )时，用累乘法求解．
2、 根据下列各个数列{a n }的首项和基本关系式，求其通项公式． (1)a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n －1
(n ≥2)； (2)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋1n .
解 (1)∵a n ＝a n －1＋3
n －1
(n ≥2)，∴a n －1＝a n －2＋3
n －2
， a n －2＝a n －3＋3
n －3
， … a 2＝a 1＋31
，以上(n －1)个式子相加得
a n ＝a 1＋31
＋32
＋…＋3n －1＝1＋3＋32
＋…＋3
n －1
＝3n
－1
2
.
(2)∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1n ＝ln n ＋1n ，∴a n －a n －1＝ln n n －1，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2，…a 2－a 1＝ln 21， 以上(n －1)个式相加得，∴a n －a 1＝ln
n
n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 2
1
＝ln n ．又a 1＝2，∴a n ＝ln n ＋2. 题型二： 数列性质的应用
3、 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－n 2＋24n (n ∈N *
)．
(1)求{a n }的通项公式； (2)当n 为何值时，S n 达到最大？最大值是多少？
解 (1)n ＝1时，a 1＝S 1＝23. n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2
＋24n ＋(n －1)2
－24(n －1)＝－2n ＋25.经验证，a 1＝23符合
a n ＝－2n ＋25，∴a n ＝－2n ＋25(n ∈N *)．
(2)法一 ∵S n ＝－n 2
＋24n ，∴n ＝12时，S n 最大且S n ＝144.法二 ∵a n ＝－2n ＋25，∴a n ＝－2n ＋25＞0，有n ＜252.∴a 12
＞0，a 13＜0，故S 12最大，最大值为144.
方法归纳： (1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决．
(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用①作差法，②作商法，③结合函数图象等方法．
题型 等差数列的判定或证明
4、已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝1
2
.
(1)求证：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 是等差数列； (2)求a n 的表达式．
(1)证明 ∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0，∴1S n －1
S n －1
＝2(n ≥2)．
由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1S n 是以1S 1＝1
a 1＝2为首项，以2为公差的等差数列．
(2)解 由(1)知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，有a n ＝－2S n ×S n －1＝－1
2n n －1，
又∵a 1
＝1
2，不适合上式，∴a n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
1
2，n ＝1，－1
2n n －1
，n ≥2.
方法归纳： 等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前n 项和公式法主要适合在选择题中简单判断．
题型三：等差数列前n 项和的最值
5、在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值． 解 法一 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653.
∴a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，n ≥14时，a n ＜0.
∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－53＝130.
法二 同法一求得d ＝－53
.∴S n ＝20n ＋
n
n －1
2
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.
∵n ∈N *
，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.
法三 同法一得d ＝－5
3.又由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0.∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大
值，且最大值为S 12＝S 13＝130.
方法归纳： 求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：
(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．
(2)利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2
＋Bn (A 、B 为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．
题型四：等差数列性质的应用
6、设等差数列的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，S n ＝324，最后6项的和为180(n ＞6)，求数列的项数n . 解 由题意可知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180②
①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216.∴a 1＋a n ＝36.又S n ＝n a 1＋a n
2
＝324，∴18n ＝324.
∴n ＝18.
方法归纳： 本题的解题关键是将性质m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q 与前n 项和公式S n ＝
n a 1＋a n
2
结合在一起，采用整
体思想，简化解题过程．
题型五：等比数列的判定或证明
7、已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝
a n ＋a n ＋1
2
，n ∈N *
.
(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式． (1)证明 b 1＝a 2－a 1＝1.当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n
2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－1
2
b n －1，
∴{b n }是以1为首项，－1
2
为公比的等比数列．
(2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋
⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪
⎫－12n －1
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. 当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1
， ∴a n ＝53－23⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n －1(n ∈N *
)．
方法归纳： 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．
题型六：等比数列的性质及应用
8、已知等比数列前n 项的和为2，其后2n 项的和为12，求再后面3n 项的和．
解 ∵S n ＝2，其后2n 项为S 3n －S n ＝S 3n －2＝12，∴S 3n ＝14.由等比数列的性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，即(S 2n －2)2
＝2·(14－S 2n )解得S 2n ＝－4，或S 2n ＝6.当S 2n ＝－4时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…是首项为2，公比为－3的等比数列，则S 6n ＝S n ＋(S 2n －S n )＋…＋(S 6n －S 5n )＝－364，∴再后3n 项的和为S 6n －S 3n ＝－364－14＝－378.当S 2n ＝6时，同理可得再后3n 项的和为S 6n －S 3n ＝126－14＝112.故所求的和为－378或112.
方法归纳： 本题利用了等比数列的性质中的第4条，其和S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，若把数列{a n }平均分成若干组，其积也为等比数列．
题型七：公式法求和
9、已知数列{a n }是首项a 1＝4，公比q ≠1的等比数列，S n 是其前n 项和，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列． (1)求公比q 的值； (2)求T n ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 的值．
解 (1)由题意得2a 5＝4a 1－2a 3. ∵{a n }是等比数列且a 1＝4，公比q ≠1，∴2a 1q 4
＝4a 1－2a 1q 2
，∴q 4
＋q 2
－2＝0，解得
q 2＝－2(舍去)或q 2＝1，∴q ＝－1. (2)∵a 2，a 4，a 6，…，a 2n 是首项为a 2＝4×(－1)＝－4，公比为q 2＝1的等比数列，
∴T n ＝na 2＝－4n .
方法归纳： 用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式．
题型八：分组转化求和
10、已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *
，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求：
(1)p ，q 的值； (2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．
解 (1)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，又因为x 4＝24
p ＋4q ，x 5＝25
p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25
p ＋5q ＝25
p ＋8q ，
解得p ＝1，q ＝1.(2)由(1)，知x n ＝2n ＋n ，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2
n ＋1
－2＋
n n ＋1
2
.
方法归纳： 对于不能由等差数列、等比数列的前n 项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和．
题型九：裂项相消法求和
11、在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2
n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12.
(1)求S n 的表达式； (2)设b n ＝S n
2n ＋1
，求{b n }的前n 项和T n .
解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，∴S 2
n ＝(S n －S n －1)⎝
⎛⎭⎪⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，①由题意S n －1·S n ≠0，
①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1
＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1
a 1
＝1，公差为2的等差数列．
∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)又b n ＝
S n 2n ＋1＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2n －1－12n ＋1，
∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1
.
方法归纳： 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
题型十：错位相减法求和
12、已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫
a n 2n －1的前n 项和．
解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋d ＝0，
2a 1＋12d ＝－10，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，
d ＝－1.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)设数列⎩⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
a n 2
n －1的前n 项和为S n ，∵
a n
2
n －1
＝
2－n 2n －1＝12n －2－n 2n －1，∴S n ＝⎝
⎛
⎭⎪⎫2＋1＋12＋122＋…＋12n －2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22＋322＋…＋n 2n －1. 记T n ＝1＋22＋322＋…＋n 2n －1，① 则12T n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，② ①－②得：12T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n
2n ，
∴12T n ＝1－12n 1－12－n 2n .即T n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －n 2n －1.∴S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－
12－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋n 2n －1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋n
2
n －1＝n 2n －1. 方法归纳： 用错位相减法求和时，应注意 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式． 13、设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32
a 3＋…＋3
n －1
a n ＝n
3
，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝n a n
，求数列{b n }的前n 项和S n .。