九年级数学上册 第22章 第8课时 待定系数法求二次函数

待定系数法求二次函数解析式
一、学习目标
通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求解析式的方法； 能根据条件恰当地选取解析式，体会二次函数解析式之间的转化； 在学习过程中体会学习数学知识的价值，提高学习数学知识的兴趣．
二、知识回顾 1．将二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 用配方法化成y ＝a (x -h )2
＋k 的形式，并求出顶点(h ，k )．
配方：y ＝ax 2
＋bx ＋c ＝a (x ＋2b a )2＋2
44ac b a
-，
对称轴是x ＝2b a -，顶点坐标是(2b a -，2
44ac b a -)，
h ＝2b a -，k =2
44ac b a
-.
我们把y ＝a (x -h )2
＋k 叫做二次函数的顶点式．
2．一次函数y =bx +c 的图象过点（1，0），（0，3），求函数解析式．
解：分别将点（1,0），（0,3）代入一次函数解析式，得
03b c c +=⎧⎨=⎩，解得3
3b c =-⎧⎨
=⎩
， 将b =-3，c =3代入，得一次函数解析式为y =-3x +3．
三、新知讲解 1．二次函数的三种常用形式
一般式：()20y ax bx c a =++≠；
顶点式：()()2
0y a x h k
a =-+≠；
交点式：()()()120y a x x x x a =--≠．
2．求二次函数解析式的一般方法
已知图象上三点或三点的对应值，通常选择一般式()20y ax bx c
a =++≠；
已知图象上顶点坐标（或对称轴和最值），通常选择顶点式()()2
0y a x h k a =-+≠；
已知图象与x 轴的两个交点的横坐标x 1，x 2，通常选择交点式()()()120y a x x x x a =--≠．
3．待定系数法求二次函数解析式的一般步骤
用待定系数法确定二次函数解析式的基本方法分四步完成：
（2）求证：对任意实数m，点M（m，﹣m2）都不在此抛物线上．
3．已知自变量和函数的对应值表求二次函数解析式
【例3】（2014秋•房山区校级月考）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：x …0 1 2 3 4 5 …
y … 3 0 ﹣1 0 m 8 …
（1）可求得m的值为；
（2）求出这个二次函数的解析式．
总结：
1．知道表格给出的自变量x和函数值y的对应数值，也就知道了二次函数的图象经过的点的坐标，可以在其中任选三点，将它们的坐标代入一般式，即可求出抛物线的解析式.
2．如果通过表格中对应数值可以看出抛物线的对称轴或顶点坐标，则可以设顶点式，求出抛物线的解析式．
3．如果通过表格中对应数值可以看出抛物线与x轴的交点坐标，则可以设交点式，求出抛物线的解析式.
练3．（2015•泰安模拟）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x=1时，y的值
为（）
x﹣7﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2
y﹣27 ﹣13 ﹣3 3 5 3
A．5 B．﹣3 C．﹣13 D．﹣27
五、课后小测一、选择题
1．（2014秋•永川区校级月考）若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则
二次函数的解析式是（）
A．y=﹣（x﹣2）2﹣1 B．y=﹣1
2
（x﹣2）2﹣1
C．y=（x﹣2）2﹣1 D．y=1
2
（x﹣2）2﹣1
2．（2013•慈溪市模拟）二次函数的图象如图，则它的解析式正确的是（）
A．y=2x2﹣4x B．y=﹣x（x﹣2） C．y=﹣（x﹣1）2+2 D．y=﹣2x2+4x
3．（2008•庆阳）若y=ax2+bx+c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是（）x ﹣1 0 1
ax2 1
ax2+bx+c8 3
A．y=x2﹣4x+3 B．y=x2﹣3x+4 C．y=x2﹣3x+3 D．y=x2﹣4x+8
二、填空题
4．（2015•河南一模）二次函数的图象如图所示，则其解析式为．
5．（2014•义乌市校级模拟）一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y=﹣2x2相同，试写出这个函数解析式．
三、解答题
6．已知抛物线过点（0，2）、（1，1）、（3，5），求抛物线的解析式.
7．（2015•宝山区一模）已知一个二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（0，6），C（4，6），求这个抛物线的表达式以及该抛物线的顶点坐标．
8．（2013•浦东新区一模）已知：抛物线y=﹣x2+bx+c经过B（3，0）、C（0，3）两点，顶点为A．
求：（1）抛物线的表达式；
（2）顶点A的坐标．
9．（2013•长沙校级模拟）二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．（1）求b、c的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（3）在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c的图象．
（4）根据图象直接回答：当x取何值时，y＞0．
典例探究答案：
【例1】
分析：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，然后把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，再解方程组即可．
解答：解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
根据题意得
930
3
4
a b c
c
a b c
++=
⎧
⎪
=-
⎨
⎪++=-
⎩
，解得
1
2
3
a
b
c
=
⎧
⎪
=-
⎨
⎪=-
⎩
，
所以二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
点评：考查用待定系数法求二次函数的解析式，已知三个点的坐标用一般式求解．
练1．
分析：（1）将（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）代入y=ax2+bx+c，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；
（2）将（﹣2，﹣40）的横坐标﹣2代入（1）中求得的解析式，求得函数值，即可判定．解答：解：（1）将（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）代入抛物线，
得
22=
8
8=42
a b c
c
a b c
--+
⎧
⎪
-=
⎨
⎪++
⎩
，解得
2
12
8
a
b
c
=-
⎧
⎪
=
⎨
⎪=-
⎩
，
所以，抛物线解析式：y=﹣2x2+12x﹣8．
（2）当x=﹣2代入抛物线解析式，y=﹣40
所以点（﹣2，﹣40）在抛物线上．
点评：本题涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数图象上点的坐标特征．运用方程思想是解题的关键．
【例2】
分析：直接设顶点式，再用待定系数法求二次函数的解析式．进而可根据函数的解析式求得抛物线的开口方向和对称轴方程．
解答：解：（1）设函数解析式为y=a（x﹣h）2+k，把顶点（-1，2）和点（1，﹣3）代入解
析式，得a=﹣5
4
，所以抛物线的解析式为2
5
(1)2
4
y x
=-++；
（2）由（1）的函数解析式可得：抛物线的开口向下，对称轴x=﹣1．
点评：主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常用二次函数的顶点式来求解析式．
练2．
分析：（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的顶点形式，将（0，3
2
）代入求出a的值，
即可确定出解析式；
（2）把点M（m，﹣m2）代入二次函数解析式，通过等式左右是否相等判断是否在二次函数图象上．
解答：（1）解：∵抛物线顶点坐标（﹣1，2），
∴设抛物线解析式为y=a（x+1）2+2，
∵抛物线经过点（0，3
2）．
∴a（0+1）2+2=3
2
，
解得：a=﹣1
2
．
则该抛物线解析式为y=﹣1
2
（x+1）2+2；
（2）证明：若点M在此二次函数的图象上，
则﹣m2=﹣1
2
（m+1）2+2，
得m2﹣2m+3=0，
方程的判别式：4﹣12=﹣8＜0，该方程无实根，
所以，对任意实数m，点M（m，﹣m2）都不在这个二次函数的图象上．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式和图象上的点与解析式的关系，根据判别式△的值得出点是否在函数图象上，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【例3】
分析：把表中的三个点（0，3），（1，0），（2，﹣1）代入函数的解析式，得到关于a，b，c 的方程组，即可求得解析式，把x=4代入即可求得m的值．
解答：解：（1）根据题意得
3
421 c
a b c
a b c
=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪++=-
⎩
，
解得：
1
4
3
a
b
c
=
⎧
⎪
=-
⎨
⎪=
⎩
．
则函数的解析式是：y=x2﹣4x+3. （2）当x=4时，m=16﹣16+3=3．
点评：本题考查了运用一般式求函数的解析式．
练3．
分析：由表可知，抛物线的对称轴为x=﹣3，顶点为（﹣3，5），再用待定系数法求得二次函数的解析式，再把x=1代入即可求得y的值．
解答：解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k，
∵当x=﹣4或﹣2时，y=3，由抛物线的对称性可知h=﹣3，k=5，
∴y=a（x+3）2+5，
把（﹣2，3）代入得，a=﹣2，
∴二次函数的解析式为y=﹣2（x+3）2+5，
当x=1时，y=﹣27．
故选D．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线是轴对称图形，由表看出抛物线的对称轴为x=﹣3，顶点为（﹣3，5），是本题的关键．
课后小测答案：
一、选择题
1．解：设这个二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k
∵二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），
∴二次函数的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，
把（0，3）分别代入得a=1，
所以y=（x﹣1）2﹣1．
故选C．
2．解：根据图象得：抛物线的顶点坐标为（1，2），
设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+2，
将（2，0）代入解析式得：0=a+2，
解得：a=﹣2，
则抛物线解析式为y=﹣2（x﹣1）2+2=﹣2x2+4x．
故选D．
3．解：将x=1，ax2=1代入y=ax2得a=1．
将（﹣1，8），（0，3）分别代入y=x2+bx+c中得：
1+8
3
b c c -=⎧⎨
=⎩， 解得4
3b c =-⎧⎨
=⎩
；
∴函数解析式是：y =x 2
﹣4x +3． 故选A ． 二、填空题
4．解：由图象可知，抛物线对称轴是直线x =1，与y 轴交于（0，3），与x 轴交于（﹣1，0） 设解析式为y =ax 2
+bx +c ，
123
0b a c a b c ⎧-=⎪⎪
=⎨⎪-+=⎪⎩
， 解得123a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩
．
故答案为：y =﹣x 2
+2x +3． 5．解：图象顶点坐标为（2，1） 可以设函数解析式是y =a （x ﹣2）2
+1
又∵形状与抛物线y =﹣2x 2
相同即二次项系数绝对值相同 则|a |=2
因而解析式是：y =﹣2（x ﹣2）2
+1或y =2（x ﹣2）2
+1， 故这个函数解析式y =﹣2（x ﹣2）2
+1或y =2（x ﹣2）2
+1． 三、解答题
6．解：设抛物线解析式为y =ax 2
+bx +c ，
根据题意得2+1935c a b c a b c =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，解得122a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
，
所以抛物线解析式为y =x 2
﹣2x +2. 7．解：设抛物线的表达式为y =ax 2
+bx +c ，
把点A（1，0）和点B（0，6），C（4，6）代入得
+0
6
1646 a b c
c
a b c
+=
⎧
⎪
=
⎨
⎪++=
⎩
，
解得
2
8
6
a
b
c
=
⎧
⎪
=-
⎨
⎪=
⎩
，
所以抛物线的表达式为y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，所以顶点的坐标为（2，﹣2）．
8．解：（1）把B（3，0）、C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c
9+30
3
b c
c
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，
解得
2
3
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
．
故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）y=﹣x2+2x+3
=﹣（x2﹣2x+1）+3+1
=﹣（x﹣1）2+4，
所以顶点A的坐标为（1，4）．
9．解：（1）把（4，3）与（3，0）代入得：
16+43 9+30
b c
b c
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：b=﹣4，c=3；
（2）二次函数解析式为y=x2﹣4x+3，
顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2；（3）如图所示：
（4）根据图象得：当x＜1或x＞3时，y＞0．。