2019-2020学年人教A版重庆市北碚区高一第一学期期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷
一、选择题
1．下列五个写法：①{0}∈{1，2，3}；②∅⊆{0}；③{0，1，2}⊆{1，2，0}；④0∈∅；
⑤0∩∅＝∅，其中错误写法的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设函数f（x）＝log2（3x﹣1），则使得2f（x）＞f（x+2）成立的x的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（，+∞）
C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣，+∞）
3．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7＝18，则log3a1+log3a2+…+log3a10＝（）A．12 B．8 C．10 D．2+log35
4．设函数f（x）＝cos（x+），则下列结论错误的是（）
A．f（x）的一个周期为﹣2π
B．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称
C．f（x+π）的一个零点为x＝
D．f（x）在（，π）单调递减
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，a＝2，c＝，则C＝（）
A．B．C．D．
6．已知sin（）＝，则cos（）的值等于（）
A．B．C．D．
7．已知向量＝（2cos2x，），＝（1，sin2x），设函数，则下列关于函数y＝f（x）的性质的描述正确的是（）
A．关于直线对称
B．关于点对称
C．周期为2π
D．y＝f（x）在上是增函数
8．函数f（x）＝sin x cos x﹣sin2x在区间[﹣1，a]上至少取得2个最大值，则正整数a的最小值是（）
A．7 B．9 C．11 D．12
9．设m∈R，过定点A的动直线x+my＝0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3＝0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（）
A．[，2] B．[，2] C．[，4] D．[2，4] 10．设O为△ABC的外心，若++＝，则M是△ABC的（）A．重心（三条中线交点）
B．内心（三条角平分线交点）
C．垂心（三条高线交点）
D．外心（三边中垂线交点）
11．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；
④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；
⑤若cosθ＜0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知f（x）＝sin x cos x+cos2x﹣，将f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到y＝g（x）的图象．若对任意实数x，都有g（a﹣x）＝g（a+x）成立，则＝（）
A．B．1 C．D．0
二、填空题
13．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3+x2，则f （2）＝．
14．已知向量＝（m，1），＝（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥，则+的最小值．15．如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα＝7，与的夹角为45°．若＝m+n（m，n∈R），则m+n＝．
16．将函数f（x）＝cos（2x+）﹣1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）具有性质．（填入所有正确性质的序号）
①最大值为，图象关于直线x＝﹣对称；
②图象关于y轴对称；
③最小正周期为π；
④图象关于点（，0）对称；
⑤在（0，）上单调递减．
三、解答题
17．已知函数．
（Ⅰ）判断函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，并用定义证明其结论；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[2，9]上的最大值与最小值．
18．命题P：函数y＝lg（﹣x2+4ax﹣3a2）（a＞0）有意义，命题q：实数x满足．（1）当a＝1且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．已知函数的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间和对称中心坐标；
（3）将f（x）的图象向左平移个单位，再讲横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
最后将图象向上平移1个单位，得到函数g（x）的图象，求函数y＝g（x）在
上的最大值和最小值．
20．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若|F1F2|＝2，椭圆的离心率为e＝
（Ⅰ）求椭圆的标准方程．
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求•的取值范围．
21．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
22．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为M（，3）．（1）求f（x）的解析式；
（2）先把函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，试写出函数y＝g （x）的解析式．
（3）在（2）的条件下，若总存在x0∈[﹣，]，使得不等式g（x0）+2≤log3m成立，求实数m的最小值．
参考答案
一、选择题
1．下列五个写法：①{0}∈{1，2，3}；②∅⊆{0}；③{0，1，2}⊆{1，2，0}；④0∈∅；
⑤0∩∅＝∅，其中错误写法的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】据“∈”于元素与集合；“∩”用于集合与集合间；判断出①⑤错，∅是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②④
的对错；据集合元素的三要素判断出③对
解：对于①，“∈”是用于元素与集合的关系故①错
对于②，∅是任意集合的子集，故②对
对于③，集合中元素的三要素有确定性、互异性、无序性故③对
对于④，因为∅是不含任何元素的集合故④错
对于⑤，因为∩是用于集合与集合的关系的，故⑤错
故选：C．
2．设函数f（x）＝log2（3x﹣1），则使得2f（x）＞f（x+2）成立的x的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（，+∞）
C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣，+∞）
【分析】根据对数的运算可将原不等式化为（3x﹣1）2＞3x+5，且3x﹣1＞0，解得答案．解：∵函数f（x）＝log2（3x﹣1），
则不等式2f（x）＞f（x+2）可化为：2log2（3x﹣1）＞log2（3x+5），
即（3x﹣1）2＞3x+5，且3x﹣1＞0，
解得：x＞，
即使得2f（x）＞f（x+2）成立的x的取值范围是（，+∞），
故选：B．
3．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7＝18，则log3a1+log3a2+…+log3a10＝（）A．12 B．8 C．10 D．2+log35
【分析】根据题意，由等比数列的性质，分析可得a4a7＝9，对数性质可知log3a1+log3a2+…
+log3a10＝5log3a4a7，进而计算可得结论．
解：根据题意，等比数列{a n}中，a5a6+a4a7＝18，
则有a4a7+a4a7＝18，
则a4a7＝9，
∴log3a1+log3a2+…+log3a10
＝log3a1a10+log3a2a9+log3a3a8+log3a4a7+log3a5a6
＝5log3a4a7
＝5log39
＝10，
故选：C．
4．设函数f（x）＝cos（x+），则下列结论错误的是（）
A．f（x）的一个周期为﹣2π
B．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称
C．f（x+π）的一个零点为x＝
D．f（x）在（，π）单调递减
【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．
解：A．函数的周期为2kπ，当k＝﹣1时，周期T＝﹣2π，故A正确，
B．当x＝时，cos（x+）＝cos（+）＝cos＝cos3π＝﹣1为最小值，此时y＝f（x）的图象关于直线x＝对称，故B正确，
C当x＝时，f（+π）＝cos（+π+）＝cos＝0，则f（x+π）的一个零点为x＝，故C正确，
D．当＜x＜π时，＜x+＜，此时函数f（x）不是单调函数，故D错误，故选：D．
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，a＝2，c＝，则C＝（）
A．B．C．D．
【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可
解：sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，
∵sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，
∴sin A cos C+cos A sin C+sin A sin C﹣sin A cos C＝0，
∴cos A sin C+sin A sin C＝0，
∵sin C≠0，
∴cos A＝﹣sin A，
∴tan A＝﹣1，
∵＜A＜π，
∴A＝，
由正弦定理可得＝，
∴sin C＝，
∵a＝2，c＝，
∴sin C＝＝＝，
∵a＞c，
∴C＝，
故选：B．
6．已知sin（）＝，则cos（）的值等于（）
A．B．C．D．
【分析】直接利用与互余，即可求出所求结果．
解：因为与互余，
所以cos（）＝sin（）＝，
故选：B．
7．已知向量＝（2cos2x，），＝（1，sin2x），设函数，则下列关于函
数y＝f（x）的性质的描述正确的是（）
A．关于直线对称
B．关于点对称
C．周期为2π
D．y＝f（x）在上是增函数
【分析】利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，根据正弦函数的性质判断．
解：f（x）＝2cos2x+sin2x＝cos2x+sin2x+1＝2sin（2x+）+1，
当x＝时，sin（2x+）＝sin≠±1，∴f（x）不关于直线x＝对称；
当x＝时，2sin（2x+）+1＝1，∴f（x）关于点（，1）对称；
f（x）得周期T＝＝π，
当x∈时，2x+∈（﹣，），∴f（x）在在上是增函数．故选：D．
8．函数f（x）＝sin x cos x﹣sin2x在区间[﹣1，a]上至少取得2个最大值，则正整数a的最小值是（）
A．7 B．9 C．11 D．12
【分析】化函数f（x）为正弦型函数，求出函数的最小正周期T；
根据f（x）在区间[﹣1，a]上至少取得2个最大值，得a的取值范围，求得a的最小值．解：函数f（x）＝sin x cos x﹣sin2x
＝sin x﹣（1﹣cos x）
＝sin（x+）﹣，
∴函数的最小正周期为T＝＝6；
又f（x）在区间[﹣1，a]上至少取得2个最大值，
∴a﹣（﹣1）＞T+≥7.5，
解得a＞6.5，
∴正整数a的最小值是7．
故选：A．
9．设m∈R，过定点A的动直线x+my＝0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3＝0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（）
A．[，2] B．[，2] C．[，4] D．[2，4] 【分析】可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|2+|PB|2＝10．三角换元后，由三角函数的知识可得．
解：由题意可知，动直线x+my＝0经过定点A（0，0），
动直线mx﹣y﹣m+3＝0即m（x﹣1）﹣y+3＝0，经过点定点B（1，3），
∵动直线x+my＝0和动直线mx﹣y﹣m+3＝0的斜率之积为﹣1，始终垂直，
P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝10．
设∠ABP＝θ，则|PA|＝sinθ，|PB|＝cosθ，
由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]
∴|PA|+|PB|＝（sinθ+cosθ）＝2sin（θ+），
∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，
∴sin（θ+）∈[，1]，
∴2sin（θ+）∈[，2]，
故选：B．
10．设O为△ABC的外心，若++＝，则M是△ABC的（）A．重心（三条中线交点）
B．内心（三条角平分线交点）
C．垂心（三条高线交点）
D．外心（三边中垂线交点）
【分析】设AB的中点为D，根据题意可得OD⊥AB．由题中向量的等式化简得CM⊥AB，即CM在AB边的高线上．同理可证出AM在BC边的高线上，故可得M是三角形ABC的垂心．解：在△ABC中，O为外心，可得OA＝OB＝OC，
∵++＝，
∴+＝﹣
设AB的中点为D，则OD⊥AB，＝2，
∴CM⊥AB，可得CM在AB边的高线上．
同理可证，AM在BC边的高线上，
故M是三角形ABC两高线的交点，可得M是三角形ABC的垂心，
故选：C．
11．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；
④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；
⑤若cosθ＜0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析、判断正误即可．
解：对于①，根据任意角的概念知，
第二象限角不一定大于第一象限角，①错误；
对于②，三角形的内角α∈（0，π），
∴α是第一象限角或第二象限角，或y轴正半轴角，②错误；
对于③，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，
它们与扇形所对半径的大小无关，③正确；
对于④，若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同，
或关于y轴对称，∴④错误；
对于⑤，若cosθ＜0，则θ是第二或第三象限的角，
或终边在x负半轴上，∴⑤错误；
综上，其中正确命题是③，只有1个．
故选：A．
12．已知f（x）＝sin x cos x+cos2x﹣，将f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到y＝g（x）的图象．若对任意实数x，都有g（a﹣x）＝g（a+x）成立，则＝（）
A．B．1 C．D．0
【分析】利用y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求得的值．
解：∵f（x）＝sin x cos x+cos2x﹣＝sin2x+•﹣＝sin（2x+），将f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，
得到y＝g（x）＝sin（2x﹣+）+1＝sin2x+1的图象．
若对任意实数x，都有g（a﹣x）＝g（a+x）成立，则g（x）的图象关于直线x＝a对称．令2x＝kπ+，求得x＝+，故g（x）的图象关于直线x＝+，k∈Z 对称．
可取a＝，可得＝g（）＝sinπ+1＝1，
故选：B．
二、填空题
13．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3+x2，则f （2）＝12 ．
【分析】由已知中当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3+x2，先求出f（﹣2），进而根据奇函数的性质，可得答案．
解：∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝2x3+x2，
∴f（﹣2）＝﹣12，
又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（2）＝12，
故答案为：12
14．已知向量＝（m，1），＝（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥，则+的最小值．
【分析】由∥，可得：n+2m＝4．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：∵∥，∴4﹣n﹣2m＝0，即n+2m＝4．
∵m＞0，n＞0，
∴+＝（n+2m）＝≥＝，当且仅当n＝4m＝时取等号．
∴+的最小值是．
故答案为：．
15．如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα＝7，与的夹角为45°．若＝m+n（m，n∈R），则m+n＝ 3 ．
【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα＝7．可得cosα＝，sinα＝．C．可得cos（α+45°）＝．sin（α+45°）＝．B．利用＝m+n（m，n∈R），即可得出．
解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．
由与的夹角为α，且tanα＝7．
∴cosα＝，sinα＝．
∴C．
cos（α+45°）＝（cosα﹣sinα）＝．
sin（α+45°）＝（sinα+cosα）＝．
∴B．
∵＝m+n（m，n∈R），
∴＝m﹣n，＝0+n，
解得n＝，m＝．
则m+n＝3．
故答案为：3．
16．将函数f（x）＝cos（2x+）﹣1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）具有性质②③④．（填入所有正确性质的序号）
①最大值为，图象关于直线x＝﹣对称；
②图象关于y轴对称；
③最小正周期为π；
④图象关于点（，0）对称；
⑤在（0，）上单调递减．
【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．
解：将函数f（x）＝cos（2x+）﹣1的图象向左平移个单位长度，
得到y＝cos[2（x+）+]﹣1＝cos（2x+π）﹣1＝﹣cos2x﹣1的图象；
再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）＝﹣cos2x的图象．
对于函数g（x）：
它的最大值为，由于当x＝﹣时，g（x）＝，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x＝﹣对称，故排除①；
由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故②正确；
它的最小正周期为＝π，故③正确；
当x＝时，g（x）＝0，故函数的图象关于点（，0）对称，故④正确；
在（0，）上，2x∈（0，），g（x）不是单调函数，故排除⑤，
故答案为：②③④．
三、解答题
17．已知函数．
（Ⅰ）判断函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，并用定义证明其结论；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[2，9]上的最大值与最小值．
【分析】（Ⅰ）利用函数的单调性的定义证明即可．
（Ⅱ）利用函数的单调性，求解函数的最值即可．
【解答】（Ⅰ）解：f（x）在区间[0，+∞）上是增函数．
证明如下：
任取x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，
＝＝．
∵x1﹣x2＜0，（x1+1）（x2+1）＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）由（1）知函数f（x）在区间[2，9]上是增函数，
故函数f（x）在区间[2，9]上的最大值为，
最小值为．
18．命题P：函数y＝lg（﹣x2+4ax﹣3a2）（a＞0）有意义，命题q：实数x满足．（1）当a＝1且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）若a＝1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x 的取值范围；
（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值
范围．
解：（1）由﹣x2+4ax﹣3a2＞0得x2﹣4ax+3a2＜0，
即（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，
得a＜x＜3a，a＞0，则p：a＜x＜3a，a＞0．
若a＝1，则p：1＜x＜3，
由解得2＜x＜3．
即q：2＜x＜3．
若p∧q为真，则p，q同时为真，
即，解得2＜x＜3，
∴实数x的取值范围（2，3）．
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，
∴即（2，3）是（a，3a）的真子集．
所以，解得1≤a≤2．实数a的取值范围为[1，2]．
19．已知函数的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间和对称中心坐标；
（3）将f（x）的图象向左平移个单位，再讲横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g（x）的图象，求函数y＝g（x）在
上的最大值和最小值．
【分析】（1）由图象可求A，B，T，利用周期公式可得，由图象及五点法作图可求φ，即可得解f（x）的函数解析式．
（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间，令2x+＝kπ，k∈Z，可求f（x）的对称中心的坐标．（3）由已知的图象变换过程可得：g（x）＝2sin（x+），结合范围0≤x≤，可求≤，利用正弦函数的图象和性质即可计算得解．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）由图象可知，可得：A＝2，B＝﹣1，…
又由于＝﹣，可得：T＝π，所以，…
由图象及五点法作图可知：2×+φ＝，所以φ＝，
所以f（x）＝2sin（2x+）﹣1．…
（2）由（1）知，f（x）＝2sin（2x+）﹣1，
令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，…
所以f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，
令2x+＝kπ，k∈Z，得x＝﹣，k∈Z，
所以f（x）的对称中心的坐标为（﹣，﹣1），k∈Z．…
（3）由已知的图象变换过程可得：g（x）＝2sin（x+），
因为0≤x≤，所以≤，…
所以当x+＝，得x＝时，g（x）取得最小值g（）＝﹣2，
当x+＝，即x＝0时，g（x）取得最大值g（0）＝．…
20．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若|F1F2|＝2，椭圆的离心率为e＝
（Ⅰ）求椭圆的标准方程．
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求•的取值范围．
【分析】（Ⅰ）利用|F1F2|＝2，椭圆的离心率为e＝，求出几何量，即可求椭圆的标准方程．
（Ⅱ）利用数量积公式求出•，结合﹣2≤x≤2，即可求•的取值范围．解：（I）由题意，∵|F1F2|＝2，椭圆的离心率为e＝
∴c＝1，a＝2，
∴b＝，
∴椭圆的标准方程为+＝1 …
（II）设P（x0，y0），则
∵A（﹣2，0），F1（﹣1，0），
∴•＝（﹣1﹣x0）（﹣2﹣x0）+y02＝x2+3x+5，
由椭圆方程得﹣2≤x≤2，二次函数开口向上，对称轴x＝﹣6＜﹣2
当x＝﹣2时，取最小值0，
当x＝2时，取最大值12．
∴•的取值范围是[0，12]…
21．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
【分析】（1）根据平方关系式消去α可得C1的普通方程；根据互化公式可得C2的直角坐标过程；
（2）根据C1的参数方程设P，根据点到直线的距离以及三角函数的性质可得．
解：（1）由曲线C1的参数方程（α为参数）消去参数得，
，
即C1的普通方程为：．
曲线C2的极坐标方程为可化为：
..
由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得C2的直角坐标方程为直线x﹣y+4＝0..
（2）设，
则点P到直线C2的距离为＝．
当时，|PQ|的最小值为，
此时可取，故．
22．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为M（，3）．（1）求f（x）的解析式；
（2）先把函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，试写出函数y＝g （x）的解析式．
（3）在（2）的条件下，若总存在x0∈[﹣，]，使得不等式g（x0）+2≤log3m成立，求实数m的最小值．
【分析】（1）依题意知T＝，由此可求得ω＝2；又函数f（x）＝A sin（2x+φ）图象上一个最高点为M（，3），可知A＝3，2×+φ＝2kπ+（k∈Z），结合0＜φ＜可求得φ，从而可得f（x）的解析式；
（2）利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换可求得函数y＝g（x）的解析式；
（3）x0∈[﹣，]⇒﹣≤cos x0≤1，﹣≤3cos x0≤3，依题意知，log3m≥（﹣）
+2＝，从而可求得实数m的最小值．
解：（1）∵T＝，
∴T＝＝π，解得ω＝2；
又函数f（x）＝A sin（2x+φ）图象上一个最高点为M（，3），
∴A＝3，2×+φ＝2kπ+（k∈Z），
∴φ＝2kπ+（k∈Z），又0＜φ＜，
∴φ＝，
∴f（x）＝3sin（2x+）；
（2）把函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，得到f（x+）＝3sin[2（x+）+]＝3cos2x；
然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）＝3cos x的图象，
即g（x）＝3cos x；
（3）∵x0∈[﹣，]，∴﹣≤cos x0≤1，﹣≤3cos x0≤3，
依题意知，log3m≥（﹣）+2＝，
∴m≥，即实数m的最小值为．。