北师大高中数学必修第二册2.5.1向量的数量积【课件】

方法归纳
向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角， 其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键． (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似 于多项式的乘法运算．
题型二 求向量的模——师生共研 例 1 (1)已知平面向量 a 与 b 的夹角为 60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a ＋2b|＝( )
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两向量的数量积仍是一个向量．( × ) (2)设非零向量 a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ>0⇔a·b>0.( √ ) (3)对于向量 a，b，若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0.( × ) (4)对于任意向量 a，b，总有(a·b)2＝a2·b2.( × ) (5)若 a，b，c 为非零向量，|a|＝|b|，则|a·c|＝|b·c|.( × ) (6)若两个非零向量 a，b 满足 a⊥b，则|a＋b|＝|a－b|.( √ )
解析：(3)∵非零向量 a 与 b 的夹角是56π，且|a|＝|a＋b|，
∴|a|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 56π，
∴|b|2－ 3|a||b|＝0.∵|b|≠0，∴|b|＝ 3|a|，
∴|2a|＋b| tb|2＝4|a|2＋t2||bb||22＋4ta·b＝4|a|2＋t2·33|a|a|2|2－6t|a|2
解析：由已知得A→D＝21(A→B＋A→C)，A→E＝23A→C，B→E＝B→A＋A→E＝32A→C－ A→B，所以A→D·B→E＝21(A→B＋A→C)·(32A→C－A→B)＝21×(32|A→C|2－|A→B|2－13A→B·A→C)＝ 21×(23－1－13cos 60°)＝－14.
答案：－41
＝t2－2t＋43＝(t－1)2＋31，
∴当 t＝1 时，|2a|＋b| tb|取得最小值，最小值是
13＝
3 3.
答案：
3 3
方法归纳
求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活 应用 a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2 或|a|＝ a2，可以实现实数运算与向量运算的相互 转化．
2．已知单位向量 a，b 的夹角为 60°，则 a·b＝( )
1 A.2
3 B. 2
C．1
D．－12
解析：由向量的数量积公式 a·b＝|a||b|cos θ＝1×1×21＝12. 答案：A
3．已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60°，那么|a＋3b|＝( )
A. 7 B. 10 C. 13 D．4
解析：|a＋3b|2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×cos 60°＋9＝13， 所以|a＋3b|＝ 13. 答案：C
4．若|a|＝6 3，|b|＝1，a·b＝－9，则 a 与 b 的夹角是________.
解析：设 a 与 b 的夹角为 θ. ∵a·b＝|a||b|cos θ， ∴cos θ＝|aa|·|bb|＝6 －3×9 1＝－ 23. 又 θ∈[0，π]， ∴θ＝56π. 答案：56π
题型一 向量数量积的计算及其几何意义——自主完成 1．已知向量 a，b 满足|a|＝1，a·b＝－1，则 a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0 解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2×1－(－1)＝3. 答案：B
2．在边长为 1 的正三角形 ABC 中，设B→C＝2B→D，C→A＝3C→E，则 A→D·B→E＝________.
A. 3
B．2 3
C．4
D．12
解析：(1)|a＋2b|＝ a＋2b2＝ ＝ |a|2＋4|a||b|cos 60°＋4|b|2
＝ 4＋4×2×1×12＋4 ＝2 3. 答案：B
a2＋4a·b＋4b2
(2)向量 a，b 满足|a|＝1，|a－b|＝ 23，a 与 b 的夹角为 60°，则|b| ＝( )
_－_1_52__3_．__已，知b|a在|＝a3方，向|b|上＝的5，投且影a为·b_＝__－_－_1_42_，_．则 a 在 b 方向上的投影为
解析：设 a 与 b 的夹角为 θ，则有 a·b＝|a|·|b|cos θ＝－12，所以向量 a 在向量 b 方向上的投影为|a|·cos θ＝a|b·b| ＝－512＝－152；向量 b 在向量 a 方向上的投影为|b|·cos θ＝a|a·b| ＝－312＝－4.
2.5.1 向量的数量积
[教材要点] 要点 向量的数量积
a·b
|a||b|cos θ
|a||b|cos θ
0
|b|cos θ
|a|cos θ
|a|cos〈a，e〉
a·b |a||b|
a·b a·a
a∥b
ห้องสมุดไป่ตู้
b·a
λ(a·b) a·(λb) a·c＋b·c
关于向量数量积应注意的问题 (1)若向量→a 与→b 的夹角为θ，θ＝0 时，→a 与→b 同向；θ＝π时，→a 与 →b 反向；θ＝π2时，→a ⊥→b . (2)求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，需平 移． (3)向量的数量积结果是一个数量，符号由 cosθ的符号所决定，而 向量的加减法和实数与向量的积的结果仍是向量． (4)符号“·”在向 量运算 中不是 乘号，既 不能省 略，也 不能用 “×”代替．
1111 A.3 B.2 C.5 D.4
解析：(2)由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos 60°＝34，即 1＋|b|2－|b| ＝43，解得|b|＝21.
答案：B
先由|→a |＝|→a ＋→b |寻找|→a |与|→b |的关系． (3)设非零向量 a 与 b 的夹角是56π，且|a|＝|a＋b|，则|2a|＋b| tb|的最 小值是________．
跟踪训练 1 (1)已知|a|＝1，|b|＝2，a 与 b 的夹角为π3，则|4a－b| ＝( )
A．2 B．6 C．2 3 D．12 (2)设向量 a，b，c 满足 a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，|a|＝1，则|b|＝ ________； (3)已知向量 a 是与单位向量 b 夹角为 60°的任意向量，则对任意 的正实数 t，|ta－b|的最小值是________．