工程流体力学习题全解

第1章绪论
选择题
【1.1】按连续介质的概念，流体质点是指：（a）流体的分子；（b）流体内的固体颗粒；（c）几何的点；（d）几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。

解：流体质点是指体积小到可以看作一个几何点，但它又含有大量的分子，且具有诸如速度、密度及压强等物理量的流体微团。

（d）
【1.2】与牛顿内摩擦定律直接相关的因素是：（a）切应力和压强；（b）切应力和剪切变形速度；（c）切应力和剪切变形；（d）切应力和流速。

解：牛顿内摩擦定律是
d
d
v
y
τμ
=
，而且速度梯度
d
d
v
y是流体微团的剪切变形速
度d
d t
γ
，故
d
d t
γ
τμ
=。

（b）
【1.3】流体运动黏度υ的国际单位是：（a）m2/s；（b）N/m2；（c）kg/m；（d）N·s/m2。

解：流体的运动黏度υ的国际单位是/s
m2。

（a）【1.4】理想流体的特征是：（a）黏度是常数；（b）不可压缩；（c）无黏性；（d）符
合
RT
p
=
ρ。

解：不考虑黏性的流体称为理想流体。

（c）【1.5】当水的压强增加一个大气压时，水的密度增大约为：（a）1/20 000；（b）1/1 000；（c）1/4 000；
（d）1/2 000。

解：当水的压强增加一个大气压时，其密度增大约
95
d1
d0.510110
20 000
k p
ρ
ρ
-
==⨯⨯⨯=。

（a）【1.6】从力学的角度分析，一般流体和固体的区别在于流体：（a）能承受拉力，平衡时不能承受切应力；（b）不能承受拉力，平衡时能承受切应力；（c）不能承受拉力，平衡时不能承受切应力；（d）能承受拉力，平衡时也能承受切应力。

解：流体的特性是既不能承受拉力，同时具有很大的流动性，即平衡时不能承
受切应力。

（c ） 【1.7】
下列流体哪个属牛顿
流体：（a ）汽油；（b ）纸浆；（c ）血液；（d ）沥青。

解：满足牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体。

（a ）
【1.8】
15C 时空气和水的运动
黏度6215.210m /s υ-=⨯空气，
62
1.14610m /s υ-=⨯水，这说明：在运动中（a ）空气比水的黏性力大；（b ）空气比水的黏性力小；（c ）空气与水的黏性力接近；（d ）不能直接比较。

解：空气的运动黏度比水大近10倍，但由于水的密度是空气的近800倍，因此水的黏度反而比空气大近50倍，而黏性力除了同流体的黏度有关，还和速度梯度有关，因此它们不能直接比较。

（d ）
【1.9】 液体的黏性主要来自于液体：（a ）分子热运动；（b ）分子间内聚力；（c ）易变形性；（d ）抗拒变形的能力。

解：液体的黏性主要由分子内聚力决定。

（b ）
计算题
【1.10】 黏度μ=3.92×10﹣
2Pa·s 的黏性流体沿壁面流动，距壁面y 处的流速为v=3y+y 2（m/s ），试求壁面的切应力。

解：由牛顿内摩擦定律，壁面的切应力
0τ为
22000
d (32) 3.9210311.7610Pa
d y y v y y
τμ
μ--====+=⨯⨯=⨯
【1.11】在相距1mm 的两平行平板之间充有某种黏性液体，当其中一板以
1.2m/s 的速度相对于另一板作等速移动时，作用于板上的切应力为3 500 Pa 。

试求该液体的黏度。

解：由
d d v y τμ
=，
3
d 1103 500 2.917Pa s
d 1.2y v μτ-⨯==⨯=⋅
【1.12】一圆锥体绕竖直中心轴作等速转动，锥体与固体的外锥体之间的缝隙
δ=1mm ，其间充满μ=0.1Pa·s 的润滑油。

已知锥体顶面半径R =0.3m,锥体高度H =0.5m,当锥体转速n =150r/min 时，求所需旋转力矩。

解：如图，在离圆锥顶h 处，取一微圆锥体（半径为r ），其高为d h 。

这里
R
r h H =
该处速度
()R v h r h H ωω==
剪切应力
()v
Rh r H ωτμ
μ
δ
δ==
高为d h 一段圆锥体的旋转力矩为
d ()()2M h r τπ
=d cos h
r
r θ
2Rh H ωμ
πδ=2
d cos h
r θ
其中tan r h θ=代入
32tan 2d cos R h h H μωθπδθ=
总旋转力矩
23
02tan d ()d cos H R M M h h h H πμωθHδθ⋅==⎰
⎰
34
2tan cos 4πμωθH δθ=
其中
rad/s 7.15602150s,Pa 1.0=⨯=
⋅=π
ωμ
30.3
tan 0.6,cos 0.857,0.5m,110m 0.5R H H θθδ-=
=====⨯
代入上式得旋转力矩
34
320.115.70.60.538.83N m
1100.8574M π-⨯⨯⨯=⨯=⋅⨯⨯
【1.13】上下两平行圆盘，直径均为d ，间隙为δ，其间隙间充满黏度为μ的液体。

若下盘固定不动，上盘以角速度ω旋转时，试写出所需力矩M 的表达式。

解：在圆盘半径为r 处取d r 的圆环，如图。

其上面的切应力
()r r ωτμ
δ=
习题.121
图
则所需力矩
()d 2M r τπ=32d d r rr r r
πμω
δ
=
总力矩
4
2
2
3
2d d 32d
d d M M r r πμω
πμωδ
δ==
=
⎰⎰
【1.14】当压强增量p ∆=5×104N/m 2时，某种液体的密度增长0.02%。

求此液体的体积弹性模量。

解：液体的弹性模量4
8d d 510 2.510Pa
d d 0.0002p p E ρρρρ⨯====⨯
【1.15】一圆筒形盛水容器以等角速度ω绕其中心轴旋转。

试写出图中A(x,y,z)
处质量力的表
解：位于(,,)A x y z 处的流体质点，其质量力有 惯性力
22cos x f r x ωθω==
2sin r y θω=
重力
z f g =
- （Z 轴向上）
故质量力的表达式为
22x y g ωω=+-F i j k
【1.16】图示为一水暖系统，为了防止水温升高时，体积膨胀将水管胀裂，在系统顶部
设一
膨胀水箱。

若系统内水的总体积为8m 3，加温前后温差为50℃，在其温度范围内水的热胀系数α=0.000 5/℃。

求膨胀水箱的最小容积。

解：由液体的热胀系数
1d d V
V T α=
公式，
据题意， 0.000 5/α=℃，3
8m V =，d 50T =℃
习题.151图
习题.161图
故膨胀水箱的最小容积
3d d 0.000 58500.2m V V T α==⨯⨯=
【1.17】汽车上路时，轮胎内空气的温度为20℃，绝对压强为395kPa ，行驶后，
轮胎内空气温度上
升到50°С，试求这时的压强。

解：由理想气体状态方程，由于轮胎的容积不变，故空气的密度ρ不变，
故 00p p T T =，
其中
0395kPa p =，
020273293K T =+=，50273323K T =+=
得
395323
435.4kPa 293p ⨯=
=
【1.18】图示为压力表校正器。

器内充满压缩系数为k =4.75×10﹣10
m 2/N 的油液。

器内压
强
为105Pa 时，油液的体积为200mL 。

现用手轮丝杆和活塞加压，活塞直径为1cm ，丝杆螺距为2mm ，当压强升高至20MPa 时，问需将手轮摇多少转？
习题.181图
解：由液体压缩系数定义
d d k p ρρ
=
，
设
m V ρ=
，d Δm m
V V V ρ=--
因此，
d ΔΔV
V V ρ
ρ
=
-，
其中手轮转n 转后，
体积变化了
2Δ4
V d Hn
π
=
（d 为活塞直径，H 为螺距）
即
224d 4
d Hn
k p V d Hn
π
π=
-
，
其中 102
4.7510m /N k -=⨯，6
5
d (201010)Pa p =⨯-
得
1065
d 4.7510(201010)k p -=⨯⨯⨯-
23-3-3230.012104
20010100.012104
n
n
π
π
--⨯⨯⨯⨯=
⨯⨯-
⨯⨯⨯⨯
解得 12n =转
【1.19】黏度测量仪有内外两个同心圆筒组成，两筒
的间隙充满油液。

外筒与转轴连接，其
半径为r 2,旋转角速度为ω。

内筒悬挂于一金属丝下，金属丝上所受的力矩M 可以通过扭转角的值确定。

外筒与内筒底面间隙为a ，内筒高H ，如题1.19图所示。

试推出油液黏度μ的计算式。

解：外筒侧面的切应力为
2/r τμωδ=，这里21r r δ=-
故侧面黏性应力对转轴的力矩
1M 为
2
1112r M r Hr ωμ
πδ= （由于a 是小量，H a H -≈）
对于内筒底面，距转轴r 取宽度为d r 微圆环处的切应力为 /r a τμω=
则该微圆环上黏性力为
2
2d 2d r F r r a πτπμω
==
故内筒底面黏性力为转轴的力矩
2M 为
1
3421
012d 2r M r r r a a ω
ωμ
πμπ==
⎰
显然
421212121212()ar H M M M r a r r r ω
μπ⎡⎤=+=+⎢⎥
-⎣⎦
习题.191图
即
4212121212
()M
ar H r a
r r r μω
π=
⎡⎤+
⎢⎥-⎣⎦
第2章 流体静力学
选择题：
【2.1】 相对压强的起算基准是：（a ）绝对真空；（b ）1个标准大气压；（c ）当
地大气压；（d ）液面压强。

解：相对压强是绝对压强和当地大气压之差。

（c ）
【2.2】 金属压力表的读值是：（a ）绝对压强；（b ）相对压强；（c ）绝对压强加当地大气压；（d ）相对压强加当地大气压。

解：金属压力表的读数值是相对压强。

（b ）
【2.3】 某点的真空压强为65 000Pa ，当地大气压为0.1MPa ，该点的绝对压强为：（a ）65 000 Pa ；（b ）55 000 Pa ；（c ）35 000 Pa ；（d ）165 000 Pa 。

解：真空压强是当相对压强为负值时它的绝对值。

故该点的绝对压强
64ab 0.110 6.51035 000Pa p =⨯-⨯=。

（c ）
【2.4】 绝对压强ab p 与相对压强p 、真空压强v p 、当地大气压a p 之间
的关系是：（a ）
ab v p p p =+；（b ）ab a p p p =+；
（c ）v ab a p p p =-；（d ）
v a p p p +=。

解：绝对压强－当地大气压＝相对压强，当相对压强为负值时，其绝对值即为真空压强。

即ab a v p p p p -==-，故ab v a p p p =-。

（c ）
【2.5】 在封闭容器上装有U 形水银测压计，其中1、2、3点位于同一水平面上，其压强关系为：（a ）p 1>p ２> p 3；（b ）p 1=p ２= p 3；（c ）p 1<p
２
< p 3；（d ）p 2<p 1<p 3。

解：设该封闭容器内气体压强为
0p ，则20p p =，显然32p p >，而
21Hg p h p h
γγ+=+气体，显然
12p p <。

（c ）
习题.52图
习题.62
图
【2.6】 用Ｕ形水银压差计测量水管内Ａ、Ｂ两点的压强差，水银面高度h p ＝10cm ，
p A -p B 为：（a ）13.33kPa ；（b ）12.35kPa ；（c ）9.8kPa ；（d ）6.4kPa 。

解：由于222H O H O H O Hg A p B p
p h h p h h γγγγ++=++
故
2Hg H O () (13.61)9 8070.112.35kPa
A B p p p h γγ-=-=-⨯⨯=。

（b ）
【2.7】在液体中潜体所受浮力的大小：（a ）与潜体的密度成正比；（b ）与液体的密度成正比；（c ）与潜体的淹没深度成正比；（d ）与液体表面的压强成反比。

解：根据阿基米德原理，浮力的大小等于该物体所排开液体的重量，故浮力的大小与液体的密度成正比。

（b ）
【2.8】 静止流场中的压强分布规律：（a ）仅适用于不可压缩流体；（b ）仅适用于理想流体；（c ）仅适用于粘性流体；（d ）既适用于理想流体，也适用于粘性流体。

解：由于静止流场均可作为理想流体，因此其压强分布规律既适用于理想流体，也适用于粘性流体。

（d ）
【2.9】 静水中斜置平面壁的形心淹深C h 与压力中心淹深D h 的关系为C h D h ：（a ）大于；（b ）等于；（c ）小于；（d ）无规律。

解：由于平壁上的压强随着水深的增加而增加，因此压力中心淹深h D 要比平壁形心淹深C h 大。

（c ）
【2.10】流体处于平衡状态的必要条件是：（a ）流体无粘性；（b ）流体粘度大；（c ）质量力有势；（d ）流体正压。

解：流体处于平衡状态的必要条件是质量力有势
（c ）
【2.11】液体在重力场中作加速直线运动时，其自由面与 处处正交：（a ）重力；（b ）惯性力；（c ）重力和惯性力的合力；（d ）压力。

解：由于流体作加速直线运动时，质量力除了重力外还有惯性力，由于质量力与等压面是正交的，很显然答案是
（c ）
计算题：
【2.12】试决定图示装置中A 、B 两点间的压强差。

已知h 1=500mm ，
h 2=200mm ，h 3=150mm ，h 4=250mm ，h 5=400mm ，酒精γ1=7 848N/m 3，
水银γ2=133 400 N/m 3，水γ3=9 810 N/m 3。

习题.122图
B A 1
h 3
1
1
32水
水
水银
解：由于
31222A p h p h γγ+=+
而 321354324()B p p h p h h h γγγ=+=+-+
因此 25432413()B p p h h h h γγγ=+-+-
即
()22354241331
A B p p h h h h h h γγγγγ-=+-+--
354241331()h h h h h γγγγ=-+--
133 4000.29 810(0.40.25)133 4000.25=⨯+⨯-+⨯
7 8480.159 8100.5-⨯-⨯ 55 419.3Pa 55.419kPa ==
【2.13】试对下列两种情况求A 液体中M 点处的压强（见图）：（1）A 液体是水，B
液体是水银，y =60cm ，z =30cm ；（2）A 液
体是比重为0.8的油，B 液体是比重为1.25的氯化钙溶液，y =80cm ，z =20cm 。

（1）由于12B p p z γ==
解
13
p p
=
而
3M A B A p p y z y γγγ=+=+
习题.132图液体
液体
y
M
1
3
134 0000.39 8100.646.086kPa =⨯+⨯=
（2）
M B A p z y γγ=+
1.259 8100.20.89 8100.88.731kPa =⨯⨯+⨯⨯=
【2.14】在斜管微压计中，加压后无水酒精（比重为0.793）的液面较未加压时的液面变化为y =12cm 。

试求所加的压强p 为多大。

设容器及斜
管的断面分别为A 和a ，1001
=
A a ，
1sin 8α=。

习题.142图
时液面
Δ
解：加压后容器的液面下降
Δy h A α
=
则
(sin Δ)(sin )ya p y h y A γαγα=+=+
0.120.12
0.7939 810(
)126Pa 8100=⨯⨯+=
【2.15】设U 形管绕通过AB 的垂直轴等速旋转，试求当AB 管的水银恰好下降到A 点时的转速。

解：U 形管左边流体质点受质量力为 惯性力为2
r ω，重力为g -
在(,)r z 坐标系中，等压面d 0p =的方程为
2d d r r g z ω=
两边积分得
22
2r z C
g
ω=
+
根据题意，0=r 时0=z 故0=C
因此等压面方程为
g r z 22
2ω=
U 形管左端自由液面坐标为
习题.152
图
80cm r =，6060120cm z =+=
代入上式2222229.81 1.2
36.79s 0.8gz r ω-⨯⨯=
==
故
6.065rad/s ω==
【2.16】在半径为a 的空心球形容器内充满密度为ρ的液体。

当这个容器以匀角速ω绕垂直轴旋转时，试求球壁上最大压强点的位置。

解：建立坐标系如图，由于球体的轴对称，故仅考虑yOz 平面 球壁上流体任一点M 的质量力为
2y f y
ω=；
z f g =-
因此
2d (d d )p y y g z ρω=-
两边积分得
22
(
)2
y p gz C
ωρ=-+
在球形容器壁上sin y a θ=；cos z a θ=
代入上式，得壁上任一点的压强为
222sin (
cos )2
a p ag C
ωθ
ρθ=-+
使压强有极值，则22d (sin cos sin )0
d p
a ag ρωθθθθ=+=
即
2cos g a θω=-
由于
2
0g a ω
>故︒>90θ即最大压强点在球中心的下方。

讨论：当2
1
g
a ω
<或者2
g
a
ω
<时，最大压强点在球中心以下2
g
ω的
位置上。

当2
1
g
a ω
>或者2
g
a
ω
>时，最大压强点在
︒=180θ，即球形
容器的最低点。

【2.17】如图所示，底面积为0.2m 0.2m b b ⨯=⨯的方口容器，自重
G =40N ，静止时装水高度h =0.15m ，设容器在荷重W =200N 的作用下沿
平面滑动，容器底与平面之间的摩擦因数f =0.3，试求保证水不能溢出的容器最小高度。

习题.162图
习题.172图
解：先求容器的加速度
设绳子的张力为T
则
W
W T a g -=
（a ）
22
()G b h
T G b h f a
g γγ+-+=
（b ）
故解得 22
()
W f G b h a g b h G W γγ-+=++
代入数据得
25.589 8m/s a =
在容器中建立坐标如图。

（原点在水面的中心点） 质量力为
x f a =-
z f g =-
由 d (d d )p a x g z ρ=-- 两边积分 p ax gz C ρρ=--+ 当
0,0x z ==处 0p = 故 0C =
自由液面方程为
a z x g =-
（c ）
且 当,2b
x z H h
=-=-满足方程
代入（c ）式 得
5.589 80.2
0.150.207m 229.81ab H h g ⨯=+
=+=⨯
【2.18】如图所示，一个有盖的圆柱形容器，底半径R =2m ，容器内充
满水，顶盖上距中心为0r处开一个小孔通大气。

容器绕其主轴作等角速度旋转。

试问当0r为多少时，顶盖所受的水的总压力为零。

解：如图坐标系下，当容器在作等角速度旋转时，容器
)z C
-+
,0
r z
==
时，按题意0
p=
故
22
2
r
C
g
ω
γ
=-
p分布为
2
22
()
2
p r r z
g
ω
γ
⎡⎤
=--
⎢⎥
⎣⎦
在顶盖的下表面，由于0
z=，压强为
222
1
()
2
p r r
ρω
=-
要使顶盖所受水的总压力为零
2d
R
p r r
π
⎰
()
222
1
2d0
2
R
r r r r
ρωπ
=-=
⎰
即
32
00
d d0
R R
r r r r r
-=
⎰⎰
积分上式
42
2
42
R R
r
-=
解得
r===
【2.19】矩形闸门AB宽为1.0m，左侧油深h1=1m ，水深h2=2m，油的比重为0.795，闸门倾角α=60º，试求闸门上的液体总压力及作用点的位置。

解：设油，水在闸门AB上的分界点为E，则油和水在闸门上静压力分布如图所示。

现将压力图F分解成三部分1
F
，2
F
，3
F
，而123
F F F F
=++
，其中
1
1
1.155m
sin sin60
h
AE
α
===
︒
习题.18
2图
22
2.31m sin sin 60h EB α=
==︒
E p γ=油
10.7959 81017 799Pa h =⨯⨯=
B E p p γ=+水
27 7999 810227 419Pa h =⨯⨯=
1E 11
I 7 799 1.155 4 504N 22F p AE =
⨯=⨯⨯=
2E I 7 799 2.3118 016N F p EB =⨯=⨯=
3B E 11
()I (27 4197 799) 2.3122 661N
22F p p EB =-⨯=⨯-⨯=
故总压力
123 4 50418 01622 66145.18kN F F F F =++=++=
设总压力F 作用在闸门AB 上的作用点为D ，实质是求水压力图的形状中心离开A 点的距离。

由合力矩定理，
1
23212
()()323F AD F AE F EB AE F EB AE ⋅=++++
故212
4 504 1.15518 016( 2.31 1.155)22 661( 2.31 1.155)
32345 180AD ⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+=
2.35m =
或者
sin 2.35sin60 2.035m D h AD a ==⨯︒=
习题.192图
习题.202图
F 1
【2.20】一平板闸门，高H =1m ，支撑点O 距地面的高度a =0.4m ，问当左侧水深h 增至多大时，闸门才会绕O 点自动打开。

解：当水深h 增加时，作用在平板闸门上静水压力作用点D 也在提高，当该作用点在转轴中心O 处上方时，才能使闸门打开。

本题就是求当水深h 为多大，水压力作用点恰好位于O 点处。

本题采用两种方法求解
（1）解析法：
由公式c D c c I y y y A =+
其中
D O y y h a ==-
3311
11212c I bH H =
=⨯⨯
1A bH H H ==⨯=
2c H
y h =-
代入 3
112
()2()2H
H
h a h H h H -=-+-
或者
3
11
12
0.4(0.5)(0.5)1h h h ⨯-=-+-⨯ 解得 1.33m h = （2）图解法：
设闸门上缘A 点的压强为A p ，下缘B 点的压强为B p ，
则
()A p h H γ=-
B p h γ=
静水总压力F （作用在单位宽度闸门上）12F F =+
其中
1()A F F AB h H H γ==-
2
2111
()()222B A F p p AB h h H H H γγγγ=-=-+=
F 的作用点在O 处时，对B 点取矩
1
223AB AB
F OB F F ⨯=+
故2211()()2223H H h H H H a h H H H γγγγ⎡⎤-+=-+⎢⎥⎣
⎦ 或者
111
(11)0.4(1)10.51223h h -+⨯⨯=-⨯⨯+⨯⨯
解得 1.33m h =
【2.21】如图所示，箱内充满液体，活动侧壁OA 可以绕O 点自由转动，若要使活动侧壁恰好能贴紧箱体，U 形管的h 应为多少。

解：测压点B 处的压强B p
B p h γ=-
则A 处的压强
A p
()A D B p H H p γ+-=
即
()A D p h H H γγ=---
设E 点处
0E p =，则E 点的位置在
0A p AE γ+=
故
()D AE h H H =+-
设负压总压力为
1F ，正压总压力为2F （单位宽度侧壁）
即
1(F 大小
11
)()()22A D D p AE h H H h H H γ=
=+-+-
211
()()22O D D F p EO H h H h γ=
=--
以上两总压力对O 点力矩之和应等于0,即
1221
()0
33F AE EO F EO -++⨯⨯=
即 22121
1()()()()()
2323D D D D D h H H h H H H h H h H h γγ⎡⎤-+-+-+-+--⎢⎥⎣⎦
0=
展开整理后得
2
3D h H H
=- 【2.22】有一矩形平板闸门，水压力经过闸门的面板传到3条水平梁上，为了使各横梁的负荷相等，试问应分别将它们置于距自由表面多深的地方。

已知闸门高为4m ，宽6m ，水深H =3m 。

解：按题意，解答显然与闸门宽度b 无关，因此在实际计算中只需按单位宽度计算即可。

作用在闸门上的静水压力呈三角形分布，将此压力图面积均匀地
习题.212图
分成三块，而且此三块面积的形心位置恰巧就在这三条水平梁上，那么这就是问题的解。

AOB ∆的面积
2
12S H γ=
EOF ∆的面积
22
1111
362S S H OF γγ===
故
3331312
22=⨯==
H OF
1.732m OF ==
122
1.732 1.155m
33y OF ==⨯=
COD ∆的面积
222211
332S S H OD γγ=
==
故
222
223633OD H =
=⨯=
2.45m OD ==
要求梯形CDFE 的形心位置y 2，可对O 点取矩
2.45
23
221 1.7321
()d 3D F
y y y S S y y y γγ-==⎰
故23321
(2.45 1.732)3 2.11m
136y -==⨯
同理梯形ABDC 的形心位置y 3为
3
23
32 2.451
()d 3B
D
y y y S S y y y γγ-==⎰
故3
3321(3 2.45)3 2.73m
136y -==⨯
习题.222图
习题.232
图
【2.23】一直径D =0.4m 的盛水容器悬于直径为D 1=0.2m 的柱塞上。

容器自重G =490N ，a =0.3m 。

如不计容器与柱塞间的摩擦，试求：（1）为保持容器不致下落，容器内真空压强应为多大。

（2）柱塞浸没深度h 对计算结果有无影响。

解：（1）本题只要考虑盛水容器受力平衡的问题。

设容器内自由液面处的压强为p （实质上为负压），则
柱塞下端的压强1p 为
1p p h γ=+
由于容器上顶被柱塞贯穿，容器周围是大气压，故容器上
顶和下底的压力差为2
1
14
p D π
（方向↑，实际上为吸力）
要求容器不致下落，因此以上吸力必须与容器的自重及水
的重量相平衡
即
2221
11()
444p D G D a D h π
ππ
γ=+- 或者
22211()
()
4
4
p h D G D a D h π
π
γγ
+=+-
即
222
2
14909 8100.40.3
4
4
27 377Pa
0.24
4
G D a
p D π
π
γπ
π
++⨯
⨯⨯=
=
=⨯
27.38kPa =（真空压强）
（2）从以上计算中可知，若能保持a 不变，则柱塞浸没
深度h 对计算结果无影响。

若随着h 的增大，导致a 的增大，则从公
式可知容器内的真空压强p 也将增大。

【2.24】如图所示一储水容器，容器壁上装有3个直径为d =0.5m 的半球形盖，设h =2.0m ，H =2.5m ，试求作用在每个球盖上的静水压力。

习题.242图
解：对于a 盖，其压力体体积
p a
V 为
23
p 11
()2426a h V H d d ππ=--⨯
2331
(2.5 1.0)0.50.50.262m 4
12π
π=-⨯
⨯-
⨯=
p 9 8100.262 2.57kN
za a F V γ==⨯=（方向↑）
对于b 盖，其压力体体积为
p b
V
23
p 1
()2412b h V H d d ππ=++
2331
(2.5 1.0)0.50.50.720m 4
12π
π=+⨯
⨯+
⨯=
p 9 8100.7207.063kN
zb b F V γ==⨯=（方向↓）
对于c 盖，静水压力可分解成水平及铅重两个分力，其中
水平方向分力
229 810 2.50.5 4.813kN
4
4
xc F H
d π
π
γ==⨯⨯
⨯=（方向←）
铅重方向分力
3p 9 8100.50.321kN
12
zc c F V π
γ==⨯
⨯=（方向↓）
【2.25】在图示铸框中铸造半径R =50cm ，长L =120cm 及厚b =2cm 的半圆柱形铸件。

设铸模浇口中的铁水（γ
F e
=70 630N/m 3）面高H =90cm ，浇
口尺寸为d 1=10cm ，d 2=3cm ，h =8cm ，铸框连同砂土的重量G 0=4.0t ，试问为克服铁水液压力的作用铸框上还需加多大重量G 。

解：在铸框上所需加压铁的重量和铸框连同砂土的重量之和
应等于铁水对铸模铅垂方向的压力。

铁水对铸模的作用力（铅垂方向）为
z F V γ=其中V 为
22
2212()()()2
4
4
V R b LH R b L d H h R b d h
π
π
π
=+-
+-
----
22(0.50.02)0.90.52 1.22π⎡⎤
=⨯+⨯-⨯⨯-
⎢⎥⎣⎦
220.3(0.90.080.52)0.10.08
4
4
π
π
⨯⨯---
⨯⨯
30.593m =
70 6300.59341.88kN z F V γ==⨯=（方向↑）
需加压铁重量
041.8849.81 2.64kN z G F G =-=-⨯=
习题.252图
习题.262图
【2.26】容器底部圆孔用一锥形塞子塞住，如图H =4r ，h =3r ，若将重
度为γ
1
的锥形塞提起需力多大（容器内液体的重度为γ）。

解：塞子上顶所受静水压力
1F
223
1()(4 1.5) 2.52h
F H r r r r r γπγππγ=-=-=（方向↓）
塞子侧面所受铅垂方向压力
2
F
2F V γ=
其中 22
222
111()()()42324242h h r h V r r H r rr r ππππ=--+++-
3
2.375r π=
32 2.375F r πγ=（方向↑）
塞子自重
2311
3
G r h r π
γπγ=
=（方向↓）
故若要提起塞子，所需的力F 为
333
1212.5 2.375F F G F r r r πγπγπγ=+-=+-
3
1(0.125)r πγγ=+
注. 圆台体积
)
(3
22Rr r R h V ++=
π
，
其中h 一圆台高，r , R —上下底半径。

【2.27】如图所示，一个漏斗倒扣在桌面上，已知h =120mm ，d =140mm ，
自重G =20N 。

试求充水高度H 为多少时，水压力将把漏斗举起而引起水从漏斗口与桌面的间隙泄
出。

解：当漏斗受到水压力和重力相等时，此时为临界状态。

水压力（向上）
2
1()43d F H h πγ
=-
故
2
1
()43d G F H h πγ
==-
代入数据 23.140.141209 810(0.12)
43H ⨯=⨯-⨯
解得
0.172 5m H =
【2.28】一长为20m ，宽10m ，深5m 的平底船，当它浮在淡水上时的吃水为3m ，又其重心在对称轴上距船底0.2m 的高度处。

试求该船的初稳心高及横倾 8º时的复原力矩。

习题.282图
解：设船之长，宽，吃水分别为L,B,T
则水线面惯性矩
3112I LB =
（取小值）
排水体积 V LBT =
13
0.20.2 1.3m
22GC T =-=-=
由公式初稳心高
习题.272图
32
112 1.3
12LB I B
GM MC GC GC GC V LBT T =+=+=+=+
2
10 1.3 4.078m 123=+=⨯ （浮心在重心之上）
复
原
力
矩
sin 9 81020103 4.078sin8M LBT GM γθ=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯︒
3 340.587kN m =⋅
【2.29】密度为ρ1的圆锥体，其轴线铅垂方向，顶点向下，试研究它
浮在液面上时的稳定性（设圆锥体中心角为2θ）。

解：圆锥体重量
2100
(tan )3
W g
h h π
ρθ=
3
210tan 3
gh π
ρθ
=
)(↓
流体浮力
32b 2()
3
F g
h tg π
ρθ
=↑
当圆锥正浮时 b W F =
即
323
01h h ρρ=
（a ）
圆锥体重心为G ，则
03
4OG h =
浮心为C ，则34OC h =
稳心为M
圆锥水线面惯性矩 4441tan 44I r h π
πθ==
初稳性高度
I
GM CM CG CG V =-=
-
44033
tan 3
4
()
4tan 3h h h h π
θ
πθ=--
2
03tan ()4h h h θ⎡⎤=
--⎣⎦
圆锥体能保持稳定平衡的条件是0>h
故须有2
0tan h h h θ>-，20(1tan )h h θ+>，
02sec h h >θ 习题.292图
或者
θ2
0cos h h >
（b ）
将（a ）式代入（b ）式得
1cos 23
112<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θρρ
或者
3
1
122cos ⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛<ρρθ 因此 当
3
1122cos ⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛<ρρθ时 圆锥体是稳定平衡
当
31
122cos ⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛=ρρθ时 圆锥体是随偶平衡
当
3
1
122cos ⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛>ρρθ时 圆锥体是不稳定平衡
【2.30】某空载船由内河出海时，吃水减少了20cm ，接着在港口装了一些货物，吃水增加了15cm 。

设最初船的空载排水量为1 000t ，问该船在港口装了多少货物。

设吃水线附近船的侧面为直壁，设海水的密度为ρ=1 026kg/m 3。

解：由于船的最初排水量为1 000t ，即它的排水体积为3
1 000m ，
它未装货时，在海水中的排水体积为
3
1 000
974.66m 1.026V =
=，
按题意，在吃水线附近穿的侧壁为直壁，则吃水线附近的水
线面积为 2
1 000974.66
126.7m 0.20S -=
=
因此载货量 126.70.15 1 02619.50t 191.3W =⨯⨯==kN
【2.31】一个均质圆柱体，高H ，底半径R ,圆柱体的材料密度为600kg/m 3。

（1）将圆柱体直立地浮于水面，当R/H 大于多少时，浮体才是稳定
的？
（2）将圆柱体横浮于水面，当R/H 小于多少时，浮体是稳定的？
习题.312图
解：（1）当圆柱直立时，浸没在水中的高度设为h ，如图（a ）所示
则
22
m g R h g R H ρπρπ= 即 m
h H
ρρ=
式中
ρ为水的密度，m ρ为圆柱体的密度
m 11()122CG H h H
ρρ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 式中G 为圆柱体重心，C 浮心，C 在G 下方
初稳心半径CM 为
I CM V =
其中
2
,V R h π=
441
644I d R π
π=
=（即圆面积对某直径的惯性矩）
得 24R CM h =
当
0CM CG ->，浮体是稳定的 即 2m 1142R H h
ρρ⎛⎫>- ⎪
⎝⎭
整
理
得
0.692 8R H >==
（2）当圆柱体横浮于水面时，设被淹的圆柱截面积为A ， 深度为h ，如图（b ）所示。

则
2m gAH g R H ρρπ=
即
2
m
A R ρπρ= （a ）
或者
221sin cos
222A R R θθθ=- （b ）
将（a ）（b ）代入数据得
sin 1.2θθπ=+
应用迭代法（见附录）解得 3.457 406 397θ=
该圆截面的圆心就是圆柱体的重心G ，浮心C 位置为
3cos 2
2d (sin )32R
c R Ay y R θθ==⎰
式中 2
2m
0.6A R R ρππρ==， 3.458 388 1198.25θ==
得 0.340 56c y R = 故
0.340 56c CG y R ==
由于浮面有两条对称轴，，面积惯性矩分别为
31112I BH =
，321
12I BH =
式中
2sin
2B R θ
=
因而初稳心半径分别为
1r 及2r 其中
3
2211sin
20.087 312 3.6I BH H H r V AH R R θ
π====
3
3
22sin 20.340 56120.9I HB r R R V AH θ
π=
===
当浮体稳定时，应满足
1,r CG >
2
0.087 30.340 56H R
R > 得
1.975H
R >
2,r CG >
0.340 560.340 56R R ≥ 不等式恒
满足
因此使圆柱体横浮时稳定应满足
H R >
，或者
0.506
R
H
<
1.975
第3章流体运动学
选择题：
【3.1】 用欧拉法表示流体质点的加速度a 等于：（a ）22
d d t r ；（b ）v t ∂∂；
（c ）()v v ⋅∇；（d ）()t ∂+⋅∇∂v
v v。

解：用欧拉法表示的流体质点的加速度为
()
d d t t
∂=
=+∇∂v v
a v v （d ） 【3.2】 恒定流是：（a ）流动随时间按一定规律变化；（
b ）各空间点上的运动要素不随时间变化；（
c ）各过流断面的速度分布相同；（
d ）迁移加速度为零。

解：恒定流是指用欧拉法来观察流体的运动，在任何固定的空间点若 流体质点的所有物理量皆不随时间而变化的流动.
（b ）
【3.3】 一元流动限于：（a ）流线是直线；（b ）速度分布按直线变化；（c ）运动参数是一个空间坐标和时间变量的函数；（d ）运动参数不随时间变化的流动。

解：一维流动指流动参数可简化成一个空间坐标的函数。

（c ）
【3.4】 均匀流是：（a ）当地加速度为零；（b ）迁移加速度为零；（c ）向心加速度为零；（d ）合加速度为零。

解：按欧拉法流体质点的加速度由当地加速度和变位加速度（亦称迁移加速度）这两部分组成，若变位加速度等于零，称为均匀流动 （b ）
【3.5】 无旋运动限于：（a ）流线是直线的流动；（b ）迹线是直线的流动；（c ）微团无旋转的流动；（d ）恒定流动。

解：无旋运动也称势流，是指流体微团作无旋转的流动，或旋度等于零的流动。

（d ）
【3.6】 变直径管，直径
1320mm d =，2160mm d =，流速1 1.5m/s V =。

2V 为：
（a ）3m/s ；（b ）4m/s ；（c ）6m/s ；（d ）9m/s 。

解：按连续性方程，
22
1
12
2
4
4
V d V d π
π
=，故
2
2
12123201.56m/s
160d V V d ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（c ）
【3.7】
平面流动具有流函数的条件是：（a ）理想流体；（b ）无
旋流动；（c ）具有流速势；（d ）满足连续性。

解：平面流动只要满足连续方程，则流函数是存在的。

（d ）
【3.8】恒定流动中，流体质点的加速度：（a ）等于零；（b ）等于常数；（c ）随时间变化而变化；（d ）与时间无关。

解：所谓恒定流动（定常流动）是用欧拉法来描述的，指任意一空间点观察流体质点的物理量均不随时间而变化，但要注意的是这并不表示流体质点无加速度。

（d ）
【3.9】 在 流动中，流线和迹线重合：（a ）无旋；（b ）有旋；（c ）恒定；（d ）非恒定。

解：对于恒定流动，流线和迹线在形式上是重合的。

（c ）
【3.10】流体微团的运动与刚体运动相比，多了一项 运动：（a ）平移；（b ）旋转；（c ）变形；（d ）加速。

解：流体微团的运动由以下三种运动：平移、旋转、变形迭加而成。

而刚体是不变形的物体。

（c ）
【3.11】一维流动的连续性方程VA =C 成立的必要条件是：（a ）理想流体；（b ）粘性流体；（c ）可压缩流体；（d ）不可压缩流体。

解：一维流动的连续方程VA C =成立的条件是不可压缩流体，倘若是可压缩流体，则连续方程为VA C ρ=
（d ）
【3.12】流线与流线，在通常情况下：（a ）能相交，也能相切；（b ）仅能相交，
但不能相切；（c ）仅能相切，但不能相交；（d ）既不能相交，也不能相切。

解：流线和流线在通常情况下是不能相交的，除非相交点该处的速度为零（称为驻点），但通常情况下两条流线可以相切。

（c ）
【3.13】欧拉法描述流体质点的运动：（a）直接；（b）间接；（c）不能；
（d）只在恒定时能。

解：欧拉法也称空间点法，它是占据某一个空间点去观察经过这一空间点上的流体质点的物理量，因而是间接的。

而拉格朗日法（质点法）是直接跟随质点运动观察它的物理量（b）【3.14】非恒定流动中，流线与迹线：（a）一定重合；（b）一定不重合；（c）特殊情况下可能重合；（d）一定正交。

解：对于恒定流动，流线和迹线在形式上一定重合，但对于非恒定流动，在某些特殊情况下也可能重合，举一个简单例子，如果流体质点作直线运动，尽管是非恒定的，但流线和迹线可能是重合。

（c）
【3.15】一维流动中，“截面积大处速度小，截面积小处速度大”成立的必要条件是：（a）理想流体；（b）粘性流体；（c）可压缩流体；（d）不可压缩流体。

解：这道题的解释同3.11题一样的。

（d）【3.16】速度势函数存在于流动中：（a）不可压缩流体；（b）平面连续；（c）所有无旋；（d）任意平面。

解：速度势函数（速度势）存在的条件是势流（无旋流动）（c）【3.17】流体作无旋运动的特征是：（a）所有流线都是直线；（b）所有迹线都
是直线；（c）任意流体元的角变形为零；（d）任意一点的涡量都为零。

解：流体作无旋运动特征是任意一点的涡量都为零。

（d）【3.18】速度势函数和流函数同时存在的前提条件是：（a）两维不可压缩连续运动；（b）两维不可压缩连续且无旋运动；（c）三维不可压缩连续运动；（d）三维不可压缩连续运动。

解：流函数存在条件是不可压缩流体平面流动，而速度势存在条件是无旋流动，即流动是平面势流。

（b）计算题
【3.19】设流体质点的轨迹方程为
123
e 1e 1t t x C t y C t z C ⎫
=--⎪
=+-⎬
⎪=⎭
其中C 1、C 2、C 3为常数。

试求（1）t=0时位于a x =，b y =，c z =处的流体质点的轨迹方程；（2）求任意流体质点的速度；（3）用Euler 法表示上面流动的速度场；（4）用Euler 法直接求加速度场和用Lagrange 法求得质点的加速度后再换算成Euler 法的加速度场，两者结果是否相同。

解：（1）以0t =， x a =，y b =，z c =代入轨迹方程，得
12311a c b c c c
=-⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
故得
123
11c a c b c c =+⎧⎪
=+⎨⎪=⎩
当0t =时位于(,,)a b c 流体质点的轨迹方程为
(1)e 1(1)e 1t t
x a t y b t z c ⎧=+--⎪=++-⎨⎪=⎩
（a ）
（2）求任意质点的速度12e 1e 10t
t x u c t y v c t w ∂⎧==-⎪∂⎪
∂⎪==+⎨
∂⎪
=⎪⎪
⎩
（b ）
（3）若用Euler 法表示该速度场
由（a ）式解出,,a b c ；
即 ()()111e 111e t t a x t b y t c z ⎧
=++-⎪⎪
⎪=-+-⎨⎪=⎪⎪⎩
（c ）
（a ）式对t 求导并将（c ）式代入得
(1)e 1(1)e 120t t x u a x t t y v b y t t z w t ∂⎧==+-=+⎪∂⎪
∂⎪
==++=-+⎨∂⎪
∂⎪==⎪∂⎩ （d ）
（4）用Euler 法求加速度场
x u u u u
a u v w t x y z ∂∂∂∂=
+++∂∂∂∂
1()1x t x t =++=++
y v v v v a u v w t x y z ∂∂∂∂=
+++∂∂∂∂
1(2)1y t y t =-+-+=-+
0z w w w w a u v w t x y z ∂∂∂∂=
+++=∂∂∂∂
由（a ）式Lagrange 法求加速度场为
222222(1)e (1)e
t x t
y z x a a t y a b t z a t ⎧∂==+⎪∂⎪
∂⎪==+⎨∂⎪⎪∂==⎪∂⎩
（e ）
将（c ）式代入（e ）式 得
⎪
⎩⎪
⎨⎧=+-=++=0
11z y x a t y a t x a
两种结果完全相同
【3.20】已知流场中的速度分布为
u yz t v xz t w xy =+⎫
⎪
=-⎬⎪=⎭
（1）试问此流动是否恒定。

（2）求流体质点在通过场中
（1,1,1）点时的
加速度。

解： （1）由于速度场与时间t 有关，该流动为非恒定流动。

（2）
x u u u u a u v w t x y z ∂∂∂∂=
+++∂∂∂∂
)()(1xy y t xz z +-+=
y v v v v a u v w t x y z ∂∂∂∂=
+++∂∂∂∂
)()(1xy x t yz z +++-=
z w w w w a u v w t x y z ∂∂∂∂=
+++∂∂∂∂
)()(t xz x t yz y -++=
将 1,1,1x y z ===代入上式，得
⎪
⎩⎪
⎨⎧=+=-=2
13z y x a t a t a
【3.21】一流动的速度场为
22(1)(2)v i j x t y t =+++
试确定在t=1时通过（2,1）点的轨迹线方程和流线方程。

解：迹线微分方程为
d d d x y t u v ==
即 2
d (1)d x
u x t t ==+
2d (2)d y
v y t t ==+
以上两式积分得 1
331
)1ln(c t x +=+
2
331
)2ln(c t y +=+
两式相减得
1
ln
ln 2x c y +=+
即
)21+=+c(y x
将 2=x ,1=y 代入得 1=c
故过（2,1）点的轨迹方程为 1=-y x
流线的微分方程为
d d x y u v = 即
22
d d (1)(2)x y x t y t =++
消去t ,两边积分得
c y x ln )2ln()1ln(++=+
或者 )21+=+c(y x 以 2=x ,1=y 代入得积分常数
1=c
故在1=t ,通过（2，1）点的流线方程为
1=-y x
【3.22】已知流动的速度分布为
2222()()u ay y x v ax y x ⎫
=-⎬
=-⎭
其中a 为常数。

（1）试求流线方程，并绘制流线图；（2）判断流动是否有旋，若无旋，则求速度势ϕ并绘制等势线。

解：对于二维流动的流线微分方程为
d d x y u v =
即
2222
d d ()()x y ay y x ax y x =--
消去
22()a y x - 得 d d x x y y =
积分 得 22
1122x y c
=+
或者
22x y c -=
若c 取一系列不同的数值，可得到流线族—双曲线族，它们的渐近
线为x y =如图
习题.223图
有关流线的指向，可由流速分布来确定。

22
22()()u ay y x v ax y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩
对于 0y >, 当||||y x >时，0u > 当||||y x <时，0u < 对于 0y <, 当|||y x >时，0u <
当||||y x <时，0u >
据此可画出流线的方向
判别流动是否有旋，只要判别rot v 是否为零，
2222[()][()]v u ax y x ay y x x y x y ∂∂∂∂-=---∂∂∂∂
222222
()2()2a y x ax a y x ay =----+
22220ax ay =-+≠
所以流动是有旋的，不存在速度势。

【3.23】一二维流动的速度分布为
u Ax By v Cx Dy =+⎫
⎬
=+⎭
其中A 、B 、C 、D 为常数。

（1）A 、B 、C 、D 间呈何种关
系时流动才无旋；
（2）求此时流动的速度势。

解：（1）该流动要成为实际流动时，须满足div 0=v ，
即 0
u v
x y ∂∂+=∂∂
或者 0,A D +=得A D =- 该流动无旋时，须满足rot 0=v ，
即 0
v u
x y ∂∂-=∂∂
或者0C B -=，得C B =
（2）满足以上条件时，速度分布为 u Ax By
v Bx Ay =+⎧⎨
=-⎩。