广西省柳州二中高考数学中“导数及其应用多选题”的类型分析含答案

一、导数及其应用多选题
1．对于函数()2
ln 1f x x ax x a =+--+，其中a R ∈，下列4个命题中正确命题有（ ）
A ．该函数定有2个极值
B ．该函数的极小值一定不大于2
C ．该函数一定存在零点
D ．存在实数a ，使得该函数有2个零点
【答案】BD 【分析】
求出导函数，利用导数确定极值，结合零点存在定理确定零点个数． 【详解】
函数定义域是(0,)+∞，
由已知2121
()2x ax f x x a x x
+-'=+-=，
2
80a ∆=+>，2210x ax +-=有两个不等实根12,x x ，但12
102
x x =-<，12,x x 一正一负．
由于定义域是(0,)+∞，因此()0f x '=只有一个实根，()f x 只有一个极值，A 错； 不妨设120x x <<，则20x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，2x x >时，()0f x '>，
()f x 递增．所以2()f x 是函数的极小值．22
2210x ax +-=，2
2
2
12x a x -=，
2
2222()ln 1f x x ax x a =+--+＝
2
2
22
22
2
22222212112ln 12ln 2x x x x x x x x x -+---+=-+--+，
设2
1()2ln 2g x x x x x =-+--
+，则22111()22(1)(2)g x x x x x x
'=-+-+=-+， 01x <<时，()0g x '>，()g x 递增，1x >时，()0g x '<，()g x 递减，
所以()g x 极大值＝(1)2g =，即()2g x ≤，所以2()2f x ≤，B 正确； 由上可知当()f x 的极小值为正时，()f x 无零点．C 错；
()f x 的极小值也是最小值为2
22222
1
()2ln 2f x x x x x =-+--
+， 例如当23x =时，17
3
a =-
，2()0f x <，0x →时，()f x →+∞，又2422217171714()21()03333f e e e e e =-
-++=-+>（217()3
e >， 所以()
f x 在(0,3)和(3,)+∞上各有一个零点，D 正确． 故选：BD ． 【点睛】
思路点睛：本题考查用导数研究函数的极值，零点，解题方法是利用导数确定函数的单调
性，极值，但要注意在函数定义域内求解，对零点个数问题，注意结合零点存在定理，否则不能确定零点的存在性．
2．在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线（Catenary ），其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.选择适当的坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数()cosh 2
x
x a
a
x e e
f x a a a -+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪
⎝⎭
，其中a 为非零常数，
在此坐标平面上，过原点的直线与悬链线相切于点()()
00,T x f x ，则0
x a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
的值可能为
（ ）（注：[]
x 表示不大于x 的最大整数）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
【答案】AC 【分析】
求出导数，表示出切线，令0x t a
=
，可得()()110t t
t e t e --++=，构造函数()()()11x x h x x e x e -=-++，可得()h x 是偶函数，利用导数求出单调性，结合零点存在
性定理可得021x a -<<-或012x
a
<<，即可求出. 【详解】
()2
x x
a
a
e e
f x a -+=⋅
，()
2
x x a
a
e e
f x --'∴=，
∴切线斜率
002
x x a
a
e e
k -
-=
，
()0
002
x x a
a
e e
f x a -+=⋅，
则切线方程为()000002
2x x x x a
a
a
a
e
e e e
y a x x --+--⋅=
-，
直线过原点，()0000022
x x x x a
a
a a
e e e e
a x --+-∴-⋅=
⋅-
令0x t a
=
，则可得()()110t t
t e t e --++=， 令()()()11x
x
h x x e x e -=-++，则t 是()h x 的零点，
()()()()11x x h x x e x e h x --=++-=，()h x ∴是偶函数，
()()x x h x x e e -'=-+，
当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，
()1120h e -=>，()22230h e e -=-+<，
()h x ∴在()1,2存在零点t ，由于偶函数的对称性()h x 在()2,1--也存在零点，
且根据单调性可得()h x 仅有这两个零点，
021x a ∴-<
<-或012x
a
<<， 02x a ⎡⎤
∴=-⎢⎥⎣⎦
或1. 故选：AC. 【点睛】
本题考查利用导数求切线，利用导数研究函数的零点，解题的关键是将题目转化为令
0x t a
=
，()()110t t t e t e --++=，求()()()11x x
h x x e x e -=-++的零点问题.
3．阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C ：2y
x 上两个不同点,A B 横坐标分
别为1x ，2x ，以,A B 为切点的切线交于P 点.则关于阿基米德三角形PAB 的说法正确的有（ ）
A ．若A
B 过抛物线的焦点，则P 点一定在抛物线的准线上
B ．若阿基米德三角形PAB 为正三角形，则其面积为
4
C ．若阿基米德三角形PAB 为直角三角形，则其面积有最小值
14
D ．一般情况下，阿基米德三角形PAB 的面积2
12||4
x x S -=
【答案】ABC 【分析】
设出直线AB 的斜截式方程、点,A B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线,PA PB 的方
程，进而求出点P 的坐标，将直线AB 的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及该方程两根的和、积的关系.
A ：把抛物线焦点的坐标代入直线A
B 的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即可；
B ：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；
C ：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；
D ：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可.. 【详解】
由题意可知：直线AB 一定存在斜率， 所以设直线AB 的方程为：y kx m =+，
由题意可知：点22
1122(,),(,)A x x B x x ，不妨设120x x <<，
由2'2y
x y x ，所以直线切线,PA PB 的方程分别为：
22
1112222(),2()y x x x x y x x x x -=--=-，
两方程联立得：21112
2222()2()
y x x x x y x x x x ⎧-=-⎨-=-⎩， 解得：12122x x x y x x +⎧=⎪
⎨⎪=⎩
，所以P 点坐标为：1212(,)2x x x x +，
直线AB 的方程与抛物线方程联立得：
212122
0,y kx m
x kx m x x k x x m y x
=+⎧⇒--=⇒+==-⎨=⎩. A ：抛物线C ：2y x 的焦点坐标为1(0,)4，准线方程为 1
4y =-，
因为AB 过抛物线的焦点，所以14m =，而121
4
x x m =-=-，
显然P 点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；
B ：因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA PB =，
= 因为 12x x ≠，所以化简得：12x x =-，
此时2
2
1111(,),(,)A x x B x x -， P 点坐标为：2
1(0,)x -， 因为阿基米德三角形PAB 为正三角形，所以有||||PA AB =，
112x x =-⇒=， 因此正三角形PAB
， 所以正三角形PAB
的面积为11sin 602224
︒==
， 故本选项说法正确；
C ：阿基米德三角形PAB 为直角三角形，当PA PB ⊥时，
所以121212
1222
121122122114
PA
PB
x x x x
x x k
k x x x x x x x x ++--⋅=-⇒⋅=-⇒=---， 直线AB 的方程为：1
4
y kx =+
所以P 点坐标为：1(,)24
k -，点 P 到直线AB 的距离为：
=
||AB ==
=，
因为12121
,4
x x k x x +==-
，所以
21AB k =+， 因此直角PAB
的面积为：
2111(1)224
k ⨯+=≥， 当且仅当0k =时，取等号，显然其面积有最小值1
4
，故本说法正确； D ：因为1212,x x k x x m +==-，所以
1||AB x x ===-，
点P 到直线AB 的距离为：
212=
= 所以阿基米德三角形PAB
的面积3
2121211224x x S x x -=⋅-=
， 故本选项说法不正确. 故选：ABC 【点睛】
关键点睛：解决本题的关键就是一元二次方程根与系数关系的整体代换应用，本题重点考查了数学运算核心素养的应用.
4．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ）
A ．函数()sin f x x =有3个不动点
B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点
C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数
D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】
根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】
令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；
0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，
所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；
()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，
显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；
因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，
x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2
()x
m x e x x =+-，
()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，
()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，
∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，
min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，
∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】
方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
5．已知函数()
()2
2
14sin 2
x
x
e x
f x e -=
+，则下列说法正确的是（ ）
A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调
B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增
C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥
【答案】AD 【分析】
由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】 解：对A ，
()
()2
22
11
4sin =2cos 2x
x x
x e x e f x x e e
-+=
+-，
定义域为R ，关于原点对称，
()2211
=2cos()2cos()()x x x x
e e
f x x x f x e e --++---=-=，
()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，
()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；
对B ，1
()2sin x
x f x e x e
'=-
+， 11()2sin()=(2sin )()x x
x x f x e x e x f x e e
--''-=-
+---+=-， ()f x '∴是奇函数，
令1
()2sin x
x
g x e x e =-+， 则1
()+
2cos 2+2cos 0x x
g x e x x e '=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；
对C ，1
()2sin x x f x e x e
'=-
+，且()'f x 在(),-∞+∞上单调递增， 又
(0)0f '=，
π,02x ⎛⎫
∴∈- ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，
()y f x ∴=在π,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减，故C 错误；
对D ，
()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，
()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.
故选：AD. 【点睛】
用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
6．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x f
θ=，
()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）
A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；
B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；
C ．()()1f
g θθ+≥在02π
θ⎛⎤∈
⎥
⎝
⎦
，上恒成立；
D ．函数()()22t f g θθ=+的最大值为2
.
【答案】ACD 【分析】
依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可
判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭，再利用三角函数求值域可
判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可
得当1sin 2θ=
，cos 2
θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】
由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos f
θθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；
对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函
数()sin g θθ=在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
为增函数，在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
为减函数，故B 错误；
对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦
，时，3,444π
ππθ⎛⎤+
∈ ⎥⎝⎦
()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛
⎫+=+=+∈ ⎪⎝
⎭，故C 正确；
对于D ，函数()()222cos sin2t f
g θθθθ=+=+，
求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<
；令0t '<，则1
sin 12
θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,
66
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，
当6
π
θ=
即1sin 2θ=
，cos θ=时，函数取得极大值1222t =⨯=
又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，
所以函数()()22t f g θθ=+取得最大值2
，故D 正确.
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：
（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.
7．已知函数()e sin x
f x a x =+，则下列说法正确的是（ ）
A ．当1a =-时，()f x 在0,
单调递增
B ．当1a =-时，()f x 在()()
0,0f 处的切线为x 轴
C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<
D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】AC 【分析】
结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】
对于A ，当1a =-时，()e sin x
f x x =-，()e cos x
f x x '=-，
因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1x
x >≤，即0f
x
，所以()f x 在0,
上单调递
增，故A 正确；
对于B ，当1a =-时，()e sin x
f x x =-，()e cos x
f x x '=-，则
()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线
方程为1y =，故B 错误；
对于C ，当1a =时，()e sin x
f x x =+，()e cos x
f x x '+=，()e sin x
f x x '=-'，
当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0x
x f x -'=>'恒成立，即
()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，
又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫
'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
+>，
3π3π4
4
3π3πe cos e
442f -
-
⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝-⎭
+，因为12
3π
3π4
2
1e e 2e --
-⎛⎫=<⎪
⎭
< ⎝
，所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭
<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '
=成立，
所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，
由()000e cos 0x
f x x +'==，可得
(
)000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛
⎫=+=-+=- ⎪⎝
⎭，
因为03ππ,4
2x ⎛⎫
∈-
- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则(
)00π4f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭()1,0∈-，故C 正确；
对于选项D ，()e sin x
f x a x =+，()π,x ∈-+∞，
令()e sin 0x
f x a x =+=，得1sin e
x x
a -
=， ()sin e
x x
g x =，()π,x ∈-+∞，则(
)πcos sin 4e e x x
x x x g x ⎛
⎫- ⎪-⎝⎭'==， 令0g x ，得πsin 04x ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，
令0g x
，得πsin 04x ⎛
⎫-> ⎪⎝
⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函
数()g x 单调递减， 令0g x
，得πsin 04x ⎛
⎫-< ⎪⎝
⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函
数()g x 单调递增，
所以5π
2π4
x k =+
()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π
2π2π44
5π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛
⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ， 在()g x 的极小值中，3π
4
sin 3π45π
5π42π4e
g g -
⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪
⎝
⎭
⎝
+⎭
-最小，
当3ππ,4x ⎛⎫
∈--
⎪⎝⎭
时，()g x 单调递减，所以函数()g x
的最小值为3π
3π4
4
5πsin 3π144e
g -
-⎛⎫-==- ⎪⎝⎭
，
当3π4
11a
--
<-
时，即3π40a -
<<
时，函数()g x 与1
=-
y a
无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.
故选：AC. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.
8．已知函数()21,0
log ,0
kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦
的零点个数的判断，其中正确的是（ ） A ．当0k >时，有3个零点 B ．当0k <时，有2个零点 C ．当0k >时，有4个零点 D ．当0k <时，有1个零点
【答案】CD 【分析】
令y ＝0得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】
令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，
①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，
∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，
由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解， 即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．
②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，
由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．
【点睛】
本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．
9．函数()ln f x x x =、()()f x g x x
'=
，下列命题中正确的是（ ）.
A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减
C ．若函数()()2
F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈
D ．若120x x >>时，总有()()()22
12122
m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】
对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1
f x x
g x x x
'+=
=
，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，
将函数()()2
F x f x ax =-有两个极值点，()ln 1
20x a x
+=
+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2
ln 2
m g x x x x =-，用
导数研究单调性. 【详解】
对A ，因为()()()ln 1
ln f x x f x x x g x x x
'+==
=
、， ()2
ln x
g x x -'=
， 令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；
令()0g x '<，得()1
x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
， 故()g x 的图象如下所示：
数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，故正确；
对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数
()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；
对C ，若函数()()2
F x f x ax =-有两个极值点，
即()2
ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+，
要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，
有两根， 也即()ln 1
20x a x
+=
+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102
a <<
.
故要满足题意，则1
02
a <<
，故错误； 对D ，若120x x >>时，总有()
()()2
212122
m x x f x f x ->-恒成立， 即
22
111222ln ln 22
m m x x x x x x ->-恒成立， 构造函数()2
ln 2
m g x x x x =
-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立， 故()g x ()0+∞，
单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞， 恒成立， 也即
ln 1
x m x
+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确. 故选：AD. 【点睛】
本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.
10．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111
a a e c
b d --==-，其中e 是自然对数的底数，则
()()
22
a c
b d -+-的值可能是（ ） A ．7 B ．8
C ．9
D ．10
【答案】BCD 【分析】
由题中所给的等式，分别构造函数()2x
f x x e =-和()2
g x x =-+，则
()()
22
a c
b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N
c
d 的距离的
平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比较选项.
【详解】
由212a a a e b a e b
-=⇒=-，令()2x f x x e =-，()12x
f x e '∴=-
由
1121
c
d c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()2
2
a c
b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N
c
d 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y 由()0001210x
f x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -
所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为2
8=的距离为(),M a b 与
(),
N c d的距离的平方的最小值.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.。