材料力学第八章叠加法求变形

1.8 5 1 37 18% 0 0 2 .9 % 5 % 178
所以可取20a号槽钢。
编辑课件
28
例题 5-7
2. 按切应力强度条件校核
图c最大剪力FS,max=138 kN。每根槽钢承受的最 大剪力为
F S,max13 k8N 6 9130 N 22
编辑课件
29
例题 5-7
Sz,max 为20a号槽钢的中性轴z以下 半个横截面的面积对中性轴z的静 z 矩。根据该号槽钢的简化尺寸(图d) 可计算如下：
为常量。
编辑课件
9
例题 5-5
解: 利用简支梁和悬臂梁的挠度和转角公式，将图 a所示外伸梁看作由悬臂梁AB(图b)和简支梁BC(图c)
所组成。
FSB 2qa和弯矩 M B1 22qa2q2a 应当作为外
力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁的B截面处，
它们的指向和转向如图b及图c所示。
编辑课件
10
例题 5-5
图c中所示简支梁BC的受力情况以及约束情况 与原外伸梁BC段完全相同，注意到简支梁B支座处 的外力2qa将直接传递给支座B，而不会引起弯曲。
简支梁BC，由q产生的Bq 、wDq(图d)，由MB产生的 BM 、wDM (图e)。可查有关式，将它们分别叠加后 可得 B、wD，它们也是外伸梁的 B和wD。
编辑课件
11
例题 5-5
B B qB M q 2 2 E a 4 3 q I 3 2 E 2 a a I 1 3 q E 3 a I
w D w D w q D M 3 5 q E 2 8 a 4 4 q I 1 2 E 2 a a 2 6 I 2 1 q E 4 4 ( a ) I
编辑课件
12
例题 5-5
图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB
段相同，但要注意原外伸梁的B截面是可以转动的，
其转角就是上面求得的B，由此引起的A端挠度 w1=|B|·a，应叠加到图b所示悬臂梁的A端挠度w2
上去,才是原外伸梁的A端挠度wA wA w1 w2
1 3
qa 3 EI
a
2q a 4
试按叠加原理求图a所示简支梁的跨中截面的
挠度 wC 和两端截面的转角A 及 B。已知EI为常
量。
编辑课件
4
例题 5-4
解: 为了能利用简单荷载作用 下梁的挠度和转角公式， 将图a所示荷载视为与跨 中截面C正对称和反对称 荷载的叠加(图b)。
编辑课件
5
例题 5-4
CA1 wCFra bibliotek在集度为q/2的正对称均 布荷载作用下，查有关梁的 B1 挠度和转角的公式，得
梁的约束个数多于独立 静力平衡方程的个数。 二.变形比较法解静不定梁
用多余反力代替多余约 束，就得到一个形式上 的静定梁，该梁称为原 静不定梁的相当系统， 又称静定基。
编辑课件
40
解：将支座B看成多 余约束，变形协调条件为：
wB wBq
0 ql 4 8EI
wBR
RBl3 3EI
wB wBq wBR
wB
ql4
8EI
RBl 3 3EI
0
RB
3 ql 8
编辑课件
41
三.用变形比较法解静不定梁的步骤
（1）选取基本静定结构（静定基如图），B端 解除多余约束，代之以约束反力；
（2）求静定基仅在原有外力作用下于解除约 束处产生的位移；
（3）求仅在代替约束的约束反力作用下于解除 约束处的位移；
（4）比较两次计算的变形量，其值应该满足 变形相容条件，建立方程求解。
qa3
顺时针
12EI
CB6 qa E 3 I4 qa E 3 I 顺 时 针
wCBa8 qE4a I 2 5qE 44 编a辑 I课件
19
[例8-6]求图示梁B、D 两处的挠度 wB、 wD 。
解：
q(2a)4 q(2 a a)3 1q 44a
w B8EI
3EI 3EI
w Dw 2B2q 4(a E 2 8 编a 辑)课3 I件 8 3 q E4aI
努力学习，报效祖国！
编辑课件
1
§8-3 用叠加法计算梁的变形及 梁的刚度计算
一、用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前 提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。
当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所 引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算 几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形， 则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然 后叠加。
8 EI
7 qa 4 12 EI
编辑课件
13
编辑课件
14
逐段刚化法：
变形后：AB AB` BC B`C`
变形后AB部分为曲线 BC部分为直线。
C点的位移为：wc
编辑课件
wc wB wc
wB
B
L 2
15
例：求外伸梁C点的位移。
P
A
B
C
L
a
将梁各部分分别 引起的位移叠加
解： 1）BC部分引起的位移fc1、 θc1
w C 153 q/8 2 E l4 4 I75q6 E 4l8 I
A1q 2/2 E 4l3I4qE 8 3lI
B 1q 2/2 E 4 l3I 4qE 8 3lI
编辑课件
6
例题 5-4
在集度为q/2的反对称均布 B2 荷载作用下，由于挠曲线也是
C
A2
与跨中截面反对称的，故有
wC2 0
注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，
P
A
B
C
刚化 EI=
P
C
θ 编辑课件
c1
f c1
pa 3 3EI
fc1
c1
pa 2 2 EI
16
2）AB部分引起的位移fc2、 θc2
P
A
θ B B2
C
fc2 刚化
EI=
B2
PaL 3EI
fc2 B2 a
PaL a 3 EI
c c1B2
θB2
P Pa
c
Pa 2 2 EI
PaL 3 EI
fc fc1fc2
编辑课件
fc
pa 3 3 EI
PaL 3 EI
a17
[例8-4] 欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。
解：
wC
5q(2a)4 384EI
Pa (2a)2 16 EI
0
P 5 qa
6
编辑课件
18
[例8-5] 用叠加法求图示梁Ｃ端的转角和挠度。
解: qa2
B
2 2aqa(2a)2
3EI
16EI
每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得 为 Iz =1780.4 cm4 1780cm4
编辑课件
31
例题 5-7
于是
max(F S,mIa /z2 d x)Sz,max((61 971 13 80N -8 00m )1 4)7 (0 1 1 4- 6 0 0 3m m 3 ) 5.6 7160P a57M .6 P[a ]
Sz*,max73mm 10m 0 m 50mm 10011mm 737mm 10011mm
2 10040m 0 3m
编辑课件
30
例题 5-7
当然， Sz*,m的ax 值也可按下式得出：
Sz*,max 73mm 11mm 100121mm 10011mm 7mm 10011mm
2 1040m0m 03
故20a号槽钢满足切应力强度条件。
编辑课件
32
例题 5-7
3. 校核梁的刚度条件
如图a，跨中点C处的挠度为梁的最大挠度wmax。 由叠加原理可得
wmax
wC
4 i1
Fibi 48EI
(3l
2
4bi
2
)
1 [(120103N)(0.4m)(32.42m2 40.42m2) 48EI
(30103N)(0.8m)(32.4m2 40.82m2)
[例8-8]图示工字钢梁，l =8m，Iz=2370cm4,Wz=237cm3 ，[ w/l ]= 1／500，E=200GPa，[σ]=100MPa。试根据梁 的刚度条件，确定梁的许可载荷 [P]，并校核强度。
P
编辑课件
23
解：由刚度条件
wmax4P8E3l I[w]5l00
得 P5408El02I 7.11kN
由于
w m a 4 .x 6m 6 [m w ]
因此，所选用的槽钢满足刚度条件。
编辑课件
34
编辑课件
35
四. 提高弯曲刚度的措施
影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷 情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和 梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从 上述各种因素入手。
w Ml
EI
W zM m a6 x 1 .4 2 7 1 1 3 6 0 N 0 P 0 m a3 6 1 7 6 0 m 3
编辑课件
27
例题 5-7
而每根槽钢所需的弯曲截面系数 Wz≥367×106 m3/2=183.5×10-6 m3=183.5 cm3。由型钢表查得 20a号槽钢其Wz=178 cm3，虽略小于所需的Wz= 183.5 cm3，但
A A 1A 2 4 q E 3 8 l 3 IqE 3 8 l 4 1 I 3 q E 2 3l8 I
B B 1 B 2 4 q E 3 8 l 3 I q E 3 8 l 4 I 3 7 q E 3 8 l4 I
编辑课件
8
例题 5-5
试按叠加原理求图a所示外伸梁的截面B的转角
B，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。已知EI
所 以[P ]7.11kN
max
Mmax Wz
Pl 60MPa[]
4Wz
所 以 满 足 强 度 条 件 。
编辑课件
24
例题 5-7
图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试按强
度条件和刚度条件选择槽钢型号。已知[]=170
MPa，[]=100
MPa，E=210
GPa，
w l
1 400
。
编辑课件
编辑课件
42
§6-4 简单超静定梁
20
[例8-7]求图示梁C点的挠度 wC。
编辑课件
21
解：
编辑课件
22
三. 梁的刚度条件 刚度条件：wmax [w];
ll
机械：1/5000~1/10000, 土木：1/250~1/1000
m a x[]
机械：0.005~0.001rad
[w]、[θ]是构件的许可挠度和转角，它们决定于构
件正常工作时的要求。
一、增大梁的抗弯刚度EI；
二、减小跨度L或增加支承降低弯矩M； 三、改变加载方式和支承方式、位置等。
编辑课件
36
§8-5 梁的弯曲应变能
一.梁的弯曲应变能
1.纯弯曲：M(x)c
V W
W 1 M
W
2
V
1M 2
Ml
EI
M 2l 2EI
2.横力弯曲：M(x)c
dV1 2M (x)dM 2 2E xdx I
编辑课件
2
[例8-3]如图用叠加法求 wC、A、B
解：1.求各载荷产生的位移 2.将同点的位移叠加
=
wC
5qL 4 384EI
A B
qL 3 24EI
qL 3 24EI
+
PL 3 48EI
PL 2
16EI
编辑课件
PL 2 16EI
+
ML 2 16EI
ML 3EI
ML
6EI 3
例题 5-4
而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，
因此可将左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为
受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简
支梁。查有关梁的挠度和转角的公式得
A 2 B 2q/2 2 E l4 /2 3 I3qE 8 3l4 I
编辑课件
7
例题 5-4
按叠加原理得
w C w C 1 w C 2 7 5 q E 6 4l 8 0 I 7 5 q E 6 4l 8 I
(40103N)(0.9m)(32.4m2 40.92m2)
(12103N)(0.6m)(32.4m2 40.62m2)]
1671103 N m 48(210109 Pa)(21780108
m4
)
4.66103
m
编辑课件
33
例题 5-7
梁的许可挠度为 [w ] [w ] l1 2 .4 m 6 1 3 0 m 6mm l 400
25
例题 5-7
解:一般情况下，梁的强度由正应力控制，选择梁横 截面的尺寸时，先按正应力强度条件选择截面尺寸， 再按切应力强度条件进行校核，最后再按刚度条件 进行校核。如果切应力强度条件不满足，或刚度条 件不满足，应适当增加横截面尺寸。
编辑课件
26
例题 5-7
1. 按正应力强度条件选择槽钢型号
梁的剪力图和弯矩 图分别如图c和图e所 示。最大弯矩为 Mmax=62.4 kN·m。梁 所需的弯曲截面系数 为
M2 (x)
V
dx
l 2编E辑I课(件x)
37
二.小结：
1、杆件变形能在数值上等于变形过程中外
力所做的功。Vε=W
2、线弹性范围内，若外力从0缓慢的增加到
最终值：
则： V W12P
其中：P----------广广义义位力移
拉、压：LFNL
EA
扭转： TL
EP I
弯曲： ML
EI 编辑课件 z
PFN轴力 PT扭矩
PM弯矩
38
[例8-12]试求图示悬臂梁的变形能，并
利用功能原理求自由端B的挠度。
解：M(x)Px
V
M 2(x) dx l 2EI
l (Px )2 dx
0 2EI
P 2l3
6EI
1 W 2 PwB
由V W得
Pl 3 wB 3EI
编辑课件
wB
39
§8-4 用比较变形 法解超静定梁
一. 静不定梁的基本概念