2024年北师大版九年级上册数学第四章图形的相似全章热门考点整合专训
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直线上)，已知点 E 到直尺 CD 的距离为30 cm.
请你结合上述两个方案，选择其中的
一个方案求善导塔的高度 AB .
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解：选择方案一：
过点 E 作 EH ⊥ CD ，垂足为 H ，延长
EH 交 AB 于点 G ，则∠ CHE ＝90°.
由题意得 EG ⊥ AB ， DH ＝ BG ＝ EF ＝0.8 m， EH ＝ DF ＝
同一直线上.
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方案二：如图②，小华拿着一把长为22 cm的直尺 CD 站
在离善导塔45 m的地方(即点 E 到 AB 的距离为45 m).他把
手臂向前伸，尺子竖直， CD ∥ AB ，尺子两端恰好遮住
善导塔(即 A ， C ， E 在一条直线上， B ， D ， E 在一条
长度的比满足
－30 )
＝ .若 AB ＝60
cm，则 AC 的长为 (90
cm.
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位似图形
4. [2023长春] 如图，△ ABC 和△A'B'C'是以点 O 为位似中心
的位似图形，点 A 在线段OA'上.若 OA ∶AA'＝1∶2，则△
ABC 和△A'B'C'的周长之比为
1 m， BD ＝45 m， CD ＝1.5 m，∴ EG ＝ BF ＝ BD ＋ DF ＝
∴ ＝ ＝ .∴△ ABE ∽△ DEF .
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9. 如图，在正方形 ABCD 中， E 是 AD 的中点，点 F 在 CD
上，且 CF ＝3 FD .
(2)△ ABE 与△ BEF 相似吗？为什么？
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(2)解：△ ABE 与△ BEF 相似.
下两个方案：
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方案一：如图①，在距离塔底 B 点45 m远的 D 处竖立一
根高1.5 m的标杆 CD ，小明在 F 处蹲下，他的眼睛所在
位置 E 、标杆的顶端 C 和塔顶点 A 三点在一条直线上.已
知小明的眼睛到地面的距离 EF ＝0.8 m， DF ＝1 m， AB
⊥ BM ， CD ⊥ BM ， EF ⊥ BM ，点 B ， D ， F ， M 在
上，且 CF ＝3 FD .
(1)求证：△ ABE ∽△ DEF .
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(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ A ＝∠ D ＝90°， AB ＝ CD ＝ AD ＝ BC .
∵ CF ＝3 FD ，∴ FD ＝ CD ＝ AD .
∵ E 是 AD 的中点，∴ AE ＝ ED ＝ AD ＝ AB .
A. 18 cm
B. 24 cm
C. 28 cm
D. 30 cm
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B
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)
8. 如图，已知∠ ACD ＝∠ B ，若 CD ＝4， CB ＝10，△
ADC 的面积是4，则△ BDC 的面积为
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考点3
一个判定——相似三角形的判定
9. 如图，在正方形 ABCD 中， E 是 AD 的中点，点 F 在 CD
理由：设 AB ＝ AD ＝ CD ＝ BC ＝4 a .
∵ E 为边 AD 的中点， CF ＝3 FD ，
∴ AE ＝ DE ＝2 a ， DF ＝ a ， CF ＝3 a .
∴ BE ＝ ＋ ＝2 a ， EF ＝ ＋ ＝
a ，BF ＝ ＋ ＝5 a .
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1∶3
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考点2
三个性质
比例的性质
5. [2023丽水] 小慧同学在学习了九年级上册“4.1成比例线
段”2节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，
请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程.
图中横线处应填：
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平行线分线段成比例的性质
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∴ BF2＝ EF2＋ BE2.∴∠ BEF ＝90°.
∴∠ A ＝∠ BEF ＝90°.
∵ ＝ ＝2， ＝
＝2，
∴ ＝ .∴ ＝ .∴△ ABE ∽△ BEF .
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考点4 一个作图——作一个图形的位似图形
6. 如图，直线 l1∥ l2∥ l3，直线 AC 和 DF 被 l1， l2， l3所截，
AB ＝5， BC ＝6， EF ＝4，则 DE 的长为(
A. 2
B. 3
C. 4
D.
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D
)
相似三角形的性质
7. 两个相似三角形的最短边分别为4 cm和2 cm，它们的周长
之差为12 cm，那么大三角形的周长为(
北师 九年级上册
第四章
图形的相似
全章热门考点整合专训
全章热门考点整合专训
考点1
四个概念
成比例线段
1. 下列四组线段中，是成比例线段的是(
C
A. 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
B. 4 cm，6 cm，3 cm，5 cm
C. 5 cm，15 cm，2 cm，6 cm
D. 3 cm，4 cm，5 cm，6 cm
10. [2024苏州中学开学考试] 如图，在平面直角坐标系中，
△ OBC 的顶点坐标分别为 O (0，0)， B (3，－1)， C (2，
1).以点 O (0，0)为位似中心，按2∶1在位似中心的异侧将
△ OBC 放大为△OB'C'，放大后点 B ， C 两点的对应点
分别为B'，C'，画出△OB'C'，并写出点B'，C'的坐标.
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91011来自)相似多边形2. 已知矩形 ABCD 中， AB ＝4， BC ＝3，下面四个矩形中与
矩形 ABCD 相似的是(
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A
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黄金分割
3. 【情境题·生活应用】在小提琴的设计中，经常会引入黄
金分割的概念.如图，一架小提琴中 AC ， BC ， AB 各部分
解：如图，△OB'C’即
为所求.B'(－6，2)，
C'(－4，－2).
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考点5
一个应用——相似三角形的应用
11. 【新视角·结论开放题】如图是位于西安市长安区香积寺
内的善导塔，善导塔为楼阁式砖塔，塔身全用青砖砌
成，平面呈正方形，原为十三层，现存十一层，建筑形
式独具一格.数学兴趣小组测量善导塔的高度 AB ，有以
请你结合上述两个方案，选择其中的
一个方案求善导塔的高度 AB .
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解：选择方案一：
过点 E 作 EH ⊥ CD ，垂足为 H ，延长
EH 交 AB 于点 G ，则∠ CHE ＝90°.
由题意得 EG ⊥ AB ， DH ＝ BG ＝ EF ＝0.8 m， EH ＝ DF ＝
同一直线上.
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方案二：如图②，小华拿着一把长为22 cm的直尺 CD 站
在离善导塔45 m的地方(即点 E 到 AB 的距离为45 m).他把
手臂向前伸，尺子竖直， CD ∥ AB ，尺子两端恰好遮住
善导塔(即 A ， C ， E 在一条直线上， B ， D ， E 在一条
长度的比满足
－30 )
＝ .若 AB ＝60
cm，则 AC 的长为 (90
cm.
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位似图形
4. [2023长春] 如图，△ ABC 和△A'B'C'是以点 O 为位似中心
的位似图形，点 A 在线段OA'上.若 OA ∶AA'＝1∶2，则△
ABC 和△A'B'C'的周长之比为
1 m， BD ＝45 m， CD ＝1.5 m，∴ EG ＝ BF ＝ BD ＋ DF ＝
∴ ＝ ＝ .∴△ ABE ∽△ DEF .
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9. 如图，在正方形 ABCD 中， E 是 AD 的中点，点 F 在 CD
上，且 CF ＝3 FD .
(2)△ ABE 与△ BEF 相似吗？为什么？
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(2)解：△ ABE 与△ BEF 相似.
下两个方案：
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方案一：如图①，在距离塔底 B 点45 m远的 D 处竖立一
根高1.5 m的标杆 CD ，小明在 F 处蹲下，他的眼睛所在
位置 E 、标杆的顶端 C 和塔顶点 A 三点在一条直线上.已
知小明的眼睛到地面的距离 EF ＝0.8 m， DF ＝1 m， AB
⊥ BM ， CD ⊥ BM ， EF ⊥ BM ，点 B ， D ， F ， M 在
上，且 CF ＝3 FD .
(1)求证：△ ABE ∽△ DEF .
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(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ A ＝∠ D ＝90°， AB ＝ CD ＝ AD ＝ BC .
∵ CF ＝3 FD ，∴ FD ＝ CD ＝ AD .
∵ E 是 AD 的中点，∴ AE ＝ ED ＝ AD ＝ AB .
A. 18 cm
B. 24 cm
C. 28 cm
D. 30 cm
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)
8. 如图，已知∠ ACD ＝∠ B ，若 CD ＝4， CB ＝10，△
ADC 的面积是4，则△ BDC 的面积为
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考点3
一个判定——相似三角形的判定
9. 如图，在正方形 ABCD 中， E 是 AD 的中点，点 F 在 CD
理由：设 AB ＝ AD ＝ CD ＝ BC ＝4 a .
∵ E 为边 AD 的中点， CF ＝3 FD ，
∴ AE ＝ DE ＝2 a ， DF ＝ a ， CF ＝3 a .
∴ BE ＝ ＋ ＝2 a ， EF ＝ ＋ ＝
a ，BF ＝ ＋ ＝5 a .
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考点2
三个性质
比例的性质
5. [2023丽水] 小慧同学在学习了九年级上册“4.1成比例线
段”2节课后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，
请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程.
图中横线处应填：
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平行线分线段成比例的性质
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∴ BF2＝ EF2＋ BE2.∴∠ BEF ＝90°.
∴∠ A ＝∠ BEF ＝90°.
∵ ＝ ＝2， ＝
＝2，
∴ ＝ .∴ ＝ .∴△ ABE ∽△ BEF .
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考点4 一个作图——作一个图形的位似图形
6. 如图，直线 l1∥ l2∥ l3，直线 AC 和 DF 被 l1， l2， l3所截，
AB ＝5， BC ＝6， EF ＝4，则 DE 的长为(
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B. 3
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相似三角形的性质
7. 两个相似三角形的最短边分别为4 cm和2 cm，它们的周长
之差为12 cm，那么大三角形的周长为(
北师 九年级上册
第四章
图形的相似
全章热门考点整合专训
全章热门考点整合专训
考点1
四个概念
成比例线段
1. 下列四组线段中，是成比例线段的是(
C
A. 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
B. 4 cm，6 cm，3 cm，5 cm
C. 5 cm，15 cm，2 cm，6 cm
D. 3 cm，4 cm，5 cm，6 cm
10. [2024苏州中学开学考试] 如图，在平面直角坐标系中，
△ OBC 的顶点坐标分别为 O (0，0)， B (3，－1)， C (2，
1).以点 O (0，0)为位似中心，按2∶1在位似中心的异侧将
△ OBC 放大为△OB'C'，放大后点 B ， C 两点的对应点
分别为B'，C'，画出△OB'C'，并写出点B'，C'的坐标.
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91011来自)相似多边形2. 已知矩形 ABCD 中， AB ＝4， BC ＝3，下面四个矩形中与
矩形 ABCD 相似的是(
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A
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黄金分割
3. 【情境题·生活应用】在小提琴的设计中，经常会引入黄
金分割的概念.如图，一架小提琴中 AC ， BC ， AB 各部分
解：如图，△OB'C’即
为所求.B'(－6，2)，
C'(－4，－2).
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考点5
一个应用——相似三角形的应用
11. 【新视角·结论开放题】如图是位于西安市长安区香积寺
内的善导塔，善导塔为楼阁式砖塔，塔身全用青砖砌
成，平面呈正方形，原为十三层，现存十一层，建筑形
式独具一格.数学兴趣小组测量善导塔的高度 AB ，有以