关于凸函数的一般平均不等式

- 1
∫第 33 卷第 8 期
2003 年 8 月 数学的实践与认识 M A TH EM A T IC S I N PRA CT IC E AND
TH EO R Y
V o l 133 N o 18 A ugu st, 2003
关于凸函数的一般平均不等式
杨镇杭
(杭州电力经济管理学校, 杭州 311600)
摘要: 本文提出并证明了凸函数的最一般的平均不等式, 是凸函数的幂平均、双参数平均不 等式的进一步推广.
关键词:
凸函数; 一般平均; 不等式
文[ 1 ]提出并证明了凸函数的幂平均不等式, 文[ 2 ]提出并证明了凸函数的双参数平均 不等式, 自然作为凸函数的一般平均是否有更一般的平均不等式呢?
1 凸函数幂平均不等式的推广
我们先看函数 <(x ) 的对称拟算术平均[ 3 ]
M f (<) = f 其中 f (x ) 是[m ,M ]上的单调连续函数, <(x ) 定义在[ a , b ]上, 且 m ≤<(x ) ≤M .
显然 1) 当 f (x ) = x Α
(Α≠0) 时
M f (<) =
1
Α
= M Α(<)
是函数 <(x ) 的 Α次幂平均.
2) 当 f (x ) = ln x 时
b
M f (<) = exp
∫a
l n <
(x ) d x = M 0 (<)
是函数 <(x ) 的几何平均.
b - a
可见,M f (<) 是函数 <(x ) 的幂平均概念的推广.
既 然M f (<) 是M Α(<) 的推广, 我们当然希望把文[ 1 ]不等式推广成M f (<) 的一个不等 式.
定理 1 设 1) f (x ) 在[m ,M ]上严格单调并可积; 2) <(x ) 在[ a , b ]上连续下凸, 且 m ≤<(x ) ≤M , 则有
M f (<; a , b ) < M f (x ; <(a ) , <(b ) )
收稿日期: 1997212230
教学园地 ∫
b
a
< (x ) ) d x
b - a
Α
b
- 1
∫
∫ ∫ 8 期
杨镇杭: 关于凸函数的一般平均不等式
137
即
f
- 1
∫
a f
(<(x
) ) d x
< f ①
b - a 当 <(a ) = <(b ) 时, ①式右边被定义为 <(a ). 证明 <(x ) 在[ a , b ]上连续下凸
<(x ) <
b - x
<(a ) +
x - a
<(b ) , x ∈ (a , b )
b - a
b - a
不妨设 f (x ) 在[m ,M ]上严格单调增加, 则 f - 1 (x ) 存在且也严格单调增加, 于是
+
x - a
<(b )
b - a
b - x
x - a
f b - a <(a ) + b - a <(b ) d x
) , 则有
<(b )
右边 = 1
<(b )
f
( t ) d t f ( t )
b - a
d t =
<(a )
即不等式①成立.
b - a
∫
<(a )
<(b ) - <(a ) <(b ) - <(a )
比较文[ 1 ]不等式, 可知以上证法简洁, 条件较弱, 无疑推广并加强了凸函数的幂平均不 等式.
2 凸函数幂平均不等式的再推广
让我们再看函数的更一般的平均, 即非对称拟算术平均
[ 3 ]
M f (<, p ; a , b ) = f
- 1
其中, p (x ) 是[ a , b ]正的可积函数, f (x ) , <(x ) 条件同定理 1.
根据不等式①的形式, 我们可推知, 若下凸函数 <(x ) 的非对称拟算术平均不等式成立, 则应是如下形式较为合理:
f
- 1
< f
- 1
<(b )
<(a )
p (x ) f
(x ) d x
②
<(b )
<(a )
p (x ) d x
当 <(a ) = <(b ) 时, 不等式②的右边被定义为 f - 1
[ f (<(a ) ) ]= <(a ) 然而套用①的证明方法不行, 因为不等式②的两边的加权函数不易处理. 为证明不等式②成立, 我们先建立
引理 1 设 1) f (x ) 在[m ,M ]内严格单调递增并可积;
2) <(x ) 在[ a , b ]上严格单调下凸, 并有一阶导数 <′(x ) ; 3) p (x ) 在[m ,M ]上恒正, 可积. 则有
b
∫a
p ∫a
p ( ) ( ( ) )
b x f < x d x
( ) x d x
b
∫a
p ∫a
p ( ( ) ) ( ( ) ) b < x f < x d x
( ( ) ) < x d x
b ∫ b ∫ b
b
∫
p (<(y ) ) <′y ) d y ∫
p (<(y ) f (<(y ) ) <′y ) d y b b ∫
b
b b
d a
b
138
数 学 的 实 践 与 认 识 33 卷
∫a
p (<(x ) ) f (<(x
) ) d x <(b )
<(a )
p <
(x ) f
(x ) d x ③
∫a
p (<(x ) ) d x <(b )
<(a )
p (x ) d x
证明 在③式右边令 x = <(y ) , 因 <(y ) 在[ a , b ]上严格单调且有一阶导数, 故③式等价 于
∫a
p (<(x ) ) f (<(x ) ) d x < b ∫a
p (<(x ) ) d x a
记
b b
b
b
I = ∫a
p (<(x ) ) f (<(x ) ) d x ∫a
p (<(y ) <′y ) d y - ∫a
p (<(x ) ) d x ∫a
p (<(y ) ) <′y ) d y ( (
=
∫∫
a
b
p (<(x a ) ) p (<(y ) ) <′(y ) ) [ f (<(x ) ) - f (<(y ) )
]d x d y
上式中互换 x , y 位置得 I =
∫∫
a a p
(<(y
) ) p (<(x ) ) <′(x ) [ f (<(y ) ) - f
(<(x ) )
]d x d y 两式相加, 得
b b
2I = ∫∫
a
p (<(x a
) ) p (<(y ) ) [ <′(y ) - <′(x ) ] [ f (<(x ) ) - f (<(y ) ) ]d x d y
1) 若 <(x ) 严格单调递增, 则如 y < x , 有 <(y ) < <(x ) , 又因 <(x ) 下凸, 由凸函数性质知 <′(y ) < <′(x ) , 即 <′(y ) - <′(x ) < 0.
而 f (x ) 严格单调递增, 故 f (<(y ) ) < f (<(x ) ) , 即 f (<(x ) ) - f (<(y ) ) > 0. 又 p (x ) 在
[m ,M ]上恒正, 因此 2I < 0, 即 I < 0.
如 y > x , 同样可得 I < 0, 因而④式成立. 2) 若 <(x ) 严格单调递减, 则类似可得 I > 0.
b
注意到 <′(y ) < 0, 进而 p (<(y ) ) <′(y ) d y < 0, 故由 I > 0, 仍可得到④式成立.
a
从而证得引理 1 成立.
引理 2 设 1) f (x ) 在[m ,M ]上严格单调递增;
2) <(x ) 在[ a , b ]上连续下凸, 但不单调, m Φ <(x ) ΦM , <(b ) ≠<(a ) ; 3) p (x ) 在[m ,M ]上恒正并可积. 则存在 d ∈(a , b )
1) 当 <(b ) > <(a ) 时, 有 <(d ) = <(a ) , <(x ) 在[ d , b ]内单调递增, 且
∫
a p
(<(x b ) ) f (<(x ) ) d x ∫d
p <
(<(x b ) ) f (<(x ) ) d x ⑤
∫a
p
(<(x ) ) d x ∫d
p
(<(x ) ) d x 2) 当 <(b ) < <(a ) 时, 有 <(d ) = <(b ) , <(x ) 在[ a , d ]内单调递减, 且
∫
a p
(<(x b ) ) f (<(x ) ) d x ∫a
p <
(<(x d ) ) f (<(x ) ) d x ⑥
∫a
p
(<(x ) ) d x ∫a
p
(<(x ) ) d x
b
( (
④
d
b b
d
b
b
d b 8 期
杨镇杭: 关于凸函数的一般平均不等式
139
证明 仅证 1) 的情形, 2) 的情形类似可证. 由闭区间上连续函数的性
质可知, 至少存在一点 c ∈[ a , b ], 使 m = <(c ). 若 c = a , 则任取 x 1 , x 2 ∈(a , b ) , x 1 < x 2 , 由下凸函数性质可知
<(x 2 ) - <(x 1 ) x 2 - x 1 > <(x 1 ) - <(a ) x 1 - a =
<(x 1 ) - <(c )
x 1 - a
> 0
即 <(x ) 在(a , b ) 内单调递增, 与条件 2) 矛盾. 故 c ≠a .
同样, c ≠b . 因此 c ∈(a , b ).
于是 <(x ) 在[ a , c ]内单调递减, 在[ c , b ]内单调递增. 由 <(b ) > <(a ) > <(c ) , 知存在唯一 的 d ∈[ c , b ], 使 <(d ) = <(a ) , 而 <(x ) 在[ d , b ]内显然单调递增.
为证不等式⑤, 只要证
b
b
b
b
J =
∫a
p (<(x ) ) f (<(x ) ) d x ∫d
p (<(x ) ) d x - ∫a
p (<(x ) ) d x ∫
d
p (<(x ) ) f (<(x ) ) d x = ∫a
p (<(x ) ) f (<(x d x + ∫d
p (<(x ) ) f (<(x d x ∫d
p (<(x ) ) d x
- ∫a
p (<(x d x + ∫d
p (<(x d x ∫d
p (<(x ) ) f (<(x ) ) d x
=∫∫
a b p (<(x ) ) p (<(y ) ) [ f (<(x ) ) - f (<(y ) ) ]d x d y d
式中 a Φ x Φ d , d Φ y Φ b , 因而
<(x ) < <(a ) + <(d )
= <(d ) ,
x ∈ [ a , d ]
2
<(y ) > <(d ) , y ∈ [ d , b ]
故 f (<(x ) ) < f (<(y ) ) , 即 f (<(x ) ) - f (<(y ) ) < 0. 由此即得 J < 0, 从而不等式⑤成立. 借助引理 1、引理 2, 可方便地证明
定理 2 设 1) f (x ) 在[m ,M ]上严格单调; 2) <(x ) 在[ a , b ]上严格下凸, 且有一阶导数 <′(x ) , m Φ <(x ) ΦM ; 3) p (x ) 在[m ,M ]上恒正并可积. 则有不等式②成立.
证明 不妨设 f (x ) 严格单调递增, 递减的情形类似可证.
1) 当 <(a ) = <(b ) 时, 因 <(x ) < <(a ) + <(b )
= <(a ) , 故 f (<(x ) ) < f (<(a ) ) , 因而
2
∫a
p
(<(x b ) ) f (<(x ) ) d x < f (<(a ) )
∫a
p
(<(x ) ) d x 由此即得不等式②成立.
2) 如 <(x ) 在[ a , b ]上严格单调, 由引理 1 即得不等式②成立. 3) 如 <(x ) 在[ a , b ]上不单调, 且 <(a ) ≠<(b ) , 即 <′(x ) 不保持定号, 则 当 <(b ) > <(a ) 时, 由引理 2, 存在 d ∈ (a , b ) , 使 <(d ) = <(a ) , <(x ) 在[ d , b ]内单调递增, 且有不等式⑤成立. 又由引
理 1
) ) ) ) ) ) ) )
b
∫
a e
<(x ) d x b - a
b ∫ ∫ b
∫ ∫ b
∫<( ) ∫ <
a
140
数 学 的 实 践 与 认 识 33 卷
∫d
p (<(x ) ) f (<(x ) ) d x <(b )
<(d )
p < (x ) f (x ) d x <(b ) <(a )
p =
(x ) f
(x ) d x ∫d
p (<(x ) ) d x <(b )
<(d )
p (x ) d x <(b )
<(a )
p (x ) d x
由⑤及上式即得不等式③对 <′(x ) 不保持定号的 <(x ) 也成立, 从而得②成立.
当 <(b ) < <(a ) 时, 同样由引理 1、引理 2 可证得不等式②成立. 至此, 我们完成了定理 2 的证明.
不等式②显然推广了不等式①. 但②中增加了 <(x ) 一阶可导的条件. 事实上, 这一条件 是可以减去的, 这只需在证明引理 1 时改用定积分定义, 把不等式③化为积分和的形式即 可. 但不等式可能是不严格的.
3 若干推论
在不等式①、②中, 如以具体的 p (x )、f (x ) 代入将可得到一系列关于凸函数的平均不
等式, 如以 f (x ) = x Α 代入①, 以 p (x ) = x q , f (x ) = x p - q
, 代入②式将分别得到文[ 1 ]、文[ 2 ] 中的凸函数的幂平均不等式和双参数平均不等式.
此外, 还可得到以下几个推论:
推论 1 设 1) G (x ) 在[m ,M ]上恒正可积;
2) F (x ) 在[m ,M ]上严格单调递增; G (x )
3) <(x ) 在[ a , b ]上严格下凸, 且有一阶导数 <′(x ) , m Φ <(x ) ΦM , 则有
∫
a F (<(x ) ) d x b
<(b )
F (x ) d x
< (b ) ⑦
G (<(x ) ) d x a
当
F (x )
严格单调递减时, 不等式⑦反向.
G (x )
∫<(a )
G (x ) d x
证明 只须在定理 2 中令 p (x ) = G (x ) , f (x ) =
F (x )
即得.
G (x )
与不等式②相比, 不等式⑦形式上更美观. 推论 2 设 F (x ) 为[ a , b ]上的对数性下凸函数, 则有
b
∫a
F (x ) b x
b - a <
F (b ) - F (a )
ln F (b ) - ln F (a ) = L (F (a ) , F (b ) )
⑧
式中 L (x , y ) 为正数 x , y 的对数平均.
证明 在定理 1 中以 f (x ) = e x
代入①, 则
ln
< ln e - e
<(b )
<(a ) <(b ) - <(a )
令 e <(x )
= F (x ) , 则 <(x ) = ln F (x ) , 因 <(x ) 下凸, 故 F (x ) 为对数性下凸. 同时由上式得
b
即不等式⑧成立.
∫a
F (x ) d x b - a < F (b ) - F (a ) ln F (b ) - ln F (a )
8 期
杨镇杭: 关于凸函数的一般平均不等式
141
不等式⑧表明对数性下凸函数 F (x ) 在[ a , b ]上的积分平均, 小于区间两端点函数值的 对数平均, 我们称之为对数性凸函数平均不等式.
推论 3 F (x ) 条件同推论 2, 则有
⑨
即为不等式⑨.
a
不等式⑨称为对数性凸函数的双参数平均不等式. 同时它显然是不等式⑧的推广.
在以上诸不等式中若以具体的 <(x ) 一一代入, 将会导出许多近年来讨论较多的关于两
个正数 a , b 的各种平均不等式[ 4 ]
, 在此不再赘述.
参考文献:
[ 1 ] 杨镇杭. 凸函数的幂平均不等式[J ]. 数学的实践与认识, 1990, 1∶93—96.
[ 2 ] 孙明保. 关于凸函数的双参数平均不等式[J ]. 数学的实践与认识, 1997, 3∶193—197. [ 3 ] D . S . 密特利诺维奇. 解析不等式[M ]. 北京: 科学出版社, 1987, 99. [ 4 ] 匡继昌. 常用不等式(第 2 版) [M ]. 长沙: 湖南教育出版社, 1993.
Inequa l it ies for General M ean of Convex Funct ion
YAN G Zhen 2hang
(H angzhou E lectric Pow er Econom ic M anagem en t Schoo l , H angzhou 311600, Ch ina )
Abstract : In th is pap er , the m o st gen eral inequalities fo r m ean of convex f un ct io n ar e p ro 2 po sed an d p roved . It is the fu rth er generalizat io n of the inequalities fo r pow er m ean an d inequ al 2 i t ies fo r tw o 2p aram eter m ean of convex fun ct io n .
Keywords : convex funct io n ; gener al m ean ; inequalities。