2022年广东省广州大学附中中考数学一模试题及答案解析

2022年广东省广州大学附中中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算|−2017|的结果是( )
A. −2017
B. −1
2017C. 2017 D. 1
2017
2. 下列所给图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 2016年中国GDP增速6.7%，经济总量约为744000亿元，中国经济总量在各个国家中排名第二，将744000用科学记数法表示为( )
A. 7.44×105
B. 7.4×105
C. 7.44×106
D. 744×103
4. 如图所示的几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 下列事件中，是必然事件的是( )
A. 晓丽乘12路公交车去上学，到达公共汽车站时，12路公交车正在驶来
B. 买一张电彩票，座位号是偶数号
C. 在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月
D. 在标准大气压下，冰的温度低于0℃时才融化
6. 下列计算正确的是( )
A. a2+a2=a4
B. (a2)3=a5
C. (b+2a)(2a−b)=4a2−b2
D. (−a2b)3=a6b3
7. 如图，已知⊙O的半径为5，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD 互补，弦CD=6，则弦AB的长为( )
A. 6
B. 8
C. 5√2
D. 5√3
8. 如图，在直角坐标系中，直线y=6−x与函数y=6
(x>0)的图象相交于点A，B，设点A
x
的坐标为(x1,y1)，那么长为x1，宽为y1的矩形周长为( )
A. 13
B. 12
C. 11
D. 10
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△DEC，此时点E在AB边上，则旋转角的大小为( )
A. α
B. 2α
C. 90°−α
D. 90°−2α
10. 如图，点A，B的坐标分别为A(2,0)，B(0,2)，点C为平面直角坐标系内一点，BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为( )
A. √2+1
B. √2+1
2C. 2√2+1 D. 2√2−1
2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 函数y=3
√x+2
中，自变量x的取值范围是______．
12. 方程组{3x+4y=19
x−y=4的解是______．
13. 分解因式：4m2n−4n=______．
14. 把抛物线y=−x2向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为______．
15. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC与⊙O交于点D，若BC=3，AD=16
5
，
则AB的长为______．
16. 如图，在矩形ABCD中，AB=√3+2，AD=√3.把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A′ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F.A′D″
交AB于点G，连接AA′.有如下结论：①A′F的长度是√6−2；②弧D′D″的长度是5√3
12
π；③△
A′AF≌△A′EG；④△AA′F∽△EGF.上述结论中，所有正确的序号是．
三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）
17. 计算：sin245°−√27+1
2
(√3−1)0−(tan30°)−2．
四、解答题（本大题共8小题，共68.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题4.0分)
如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且DQ=CP，连接BQ，AP.求证：BQ⊥AP．
19. (本小题6.0分)
(1)若A=a−1
a+2⋅a2−4
a2−2a+1
÷1
a−1
，化简A；
(2)若a满足a2−a=0，求A值．
20. (本小题6.0分)
某校积极开展国防知识教育，九年级甲、乙两班分别选5名同学参加“国防知识”比赛，其预赛成绩如图所示：
(1)根据图填写表：
平均数中位数众数方差
甲班8.58.5______ ______
乙班8.5______ 10 1.6
(2)若规定超过8分为优秀，则从两班优秀的同学中抽取两人参加决赛，求选派的两人中同为乙班的概率．
21. (本小题8.0分)
如图，△ABC中，D为BC边上的点，∠CAD=∠CDA，E为AB边的中点．
(1)尺规作图：作∠C的平分线CF，交AD于点F(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)连结EF，EF与BC是什么位置关系？为什么？
(3)若四边形BDFE的面积为9，求△ABD的面积．
22. (本小题10.0分)
某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该水果每次降价的百分率；
(2)从第二次降价的第1天算起，第x天(x为整数)的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：
时间(天)x
销量(斤)120−x
储藏和损耗费用(元)3x2−64x+400
已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1≤x<10)之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？
23. (本小题10.0分)
如图，已知直线y=1
2x与双曲线y=k
x
(k>0)交于A，B两点，且点A的横坐标为4．
(1)求k的值；
(2)若双曲线y=k
x
(k>0)上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
(3)过原点O的另一条直线l交双曲线y=k
x
(k>0)于P，Q两点(P点在第一象限)，若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．
24. (本小题12.0分)
如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，AB=4，BC=6，AD=8.点P、Q同时从A点出发，分别作匀速运动．其中点P沿AB、BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位、当这两点中有一个点到达自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两点从出发运动了t秒．
(1)当点P，S分别为AB和CD中点时(如图一)，连接PS，称PS为梯形的中位线．试判断PS与BC，AD的关系，并证明．
(2)当0<t<2时，求证：以PQ为直径的圆与AD相切(如图二)；
(3)以PQ为直径的圆能否与CD相切？若有可能，求出t的值或t的取值范围；若不可能，请说明
由．
25. (本小题12.0分)
已知抛物线y=x2−4x+3与x轴交于A，B两点(A在B点左侧)，与y轴正半轴交于点C，点P是直线BC上的动点，点Q是线段OC上的动点．
(1)求直线BC解析式．
(2)如图①，求OP+PA的和取最小值时点P的坐标．
(3)如图②，求AQ+QP的最小值．
(4)如图③，求AQ+1
QC的最小值．
2
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查绝对值．
依据负数的绝对值是它的相反数求解即可．
【解答】
解：|−2017|=2017．
故选C．
2.【答案】D
【解析】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C、图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
D、图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D．
根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义结合选项图形进行判断．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，n的值取决于原数变成a时，小数点移动的位数，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此解答即可．
【解答】
解：744000=7.44×105．
故选：A．
4.【答案】D
【解析】解：从上边看是一个大正方形的左下角有一个小正方形，
故选：D．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小及必然事件、不可能事件、随机事件的概念判断即可．
【解答】
解：A、晓丽乘12路公交车去上学，到达公共汽车站时，12路公交车正在驶来，是随机事件，不符合题意；
B、买一张电彩票，座位号是偶数号，是随机事件，不符合题意；
C、在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月，是必然事件，符合题意；
D、在标准大气压下，冰温度低于0℃时才融化，是不可能事件，不符合题意；
故选：C．
6.【答案】C
【解析】解：A、原式=2a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、原式=a6，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、原式=4a2−b2，原计算正确，故此选项符合题意；
D、原式=−a6b3，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据合并同类项法则，幂的乘方的运算法则，积的乘方的运算法则，平方差公式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查圆心角定理，延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD，据此可得BE=CD=6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．
【解答】
解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB+∠BOE=180°，
又∵∠AOB+∠COD=180°，
∴∠BOE=∠COD，
∴BE=CD=6，
∵AE为⊙O的直径，OA=5，
∴∠ABE=90°，AE=10，
∴AB=√AE2−BE2=√102−62=8．
故选B．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程的关系．
由点A坐标为(x1,y1)，点A在直线y=6−x上可得x1+y1的值，进而求解．
【解答】
解：∵点A的坐标为(x1,y1)，
∴y1=6−x1，
∴x1+y1=6，
∴矩形周长为2(x1+y1)=12，
故选：B．
9.【答案】B
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠A=α，
∴∠B=90°−α，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△DEC，
∴CB=CE，∠BCE等于旋转角，
∴∠CEB=∠B=90°−α，
∴∠BCE=180°−2∠B=2α，
∴旋转角为2α．
故选B．
先根据互余得到∠B=90°−α，再根据旋转的性质得CB=CE，∠BCE等于旋转角，再根据等腰三角形的性质得∠CEB=∠B=90°−α，然后根据三角形的内角和定理计算出∠BCE=180°−
2∠B=2α，于是得到旋转角为2α．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了点与圆的位置关系，坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．
根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，当点C是线段DB延长线与圆B 的交点时，OM最大，再根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】
解：如图，
∵点C为平面直角坐标系内一点，BC=1，
∴点C在⊙B上，且半径为1，
取OD=OA=2，连接CD，
∵M 为AC 中点，
∵AM =CM ，OD =OA ，
∴OM 是△ACD 的中位线，
∴OM =12
CD ．
当OM 最大时，即CD 最大，而当D ，B ，C 三点共线，即C 在DB 的延长线上时，OM 最大， ∵OB =OD =2，∠BOD =90°，
∴BD =√OD 2+OB 2=2√2，
∴CD =2√2+1，
∴OM =12CD =√2+12，即OM 的最大值为√2+12，
故选：B ． 11.【答案】x >−2
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数自变量的取值范围 ，
二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于0；分式有意义的条件是分母不为0.据此解答．
【解答】
解：根据题意得：x +2>0解得：x >−2，
故答案为x >−2．
12.【答案】{x =5
y =1
【解析】
【分析】
本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，属于基础题．
利用加减消元法求出方程组的解即可．
【解答】
解：{3x +4y =19①x −y =4②
, ①+②×4得：7x =35，
解得：x =5，
把x =5代入②得：y =1，
则方程组的解为{x =5y =1
, 故答案为：{x =5y =1
． 13.【答案】4n(m +1)(m −1)
【解析】解：4m 2n −4n
=4n(m 2−1)
=4n(m +1)(m −1)．
故答案为：4n(m +1)(m −1)．
直接提取公因式4n ，再利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
14.【答案】y =−x 2+2x +2
【解析】
【分析】
主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
根据函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．
【解答】
解：由题意，得
y =−x 2向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为y =−(x −1)2+3，
化简，得y=−x2+2x+2，
故答案为：y=−x2+2x+2．15.【答案】4
【解析】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，
∵AB为直径
∴∠BDC=90°，
又∵∠C=∠C
∴△ABC∽△BDC
∴BC
DC=
AC
BC
∴BC2=CD⋅CA，即32=CD⋅(CD+DA)，
即32=CD⋅(CD+16
5
)，(CD>0)，
解得CD=9
5
，
∴AC=AD+CD=5，
由勾股定理可得：
AB=√AC2−BC2=√52−32=4，
故答案为：4．
利用切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理综合即可得出．
本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理，解题关键是利用相似求出CD的长，再利用勾股定理求得答案．
16.【答案】①②④
【解析】解：∵把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，
∴∠D=∠AD′E=90°=∠DAD′，AD=AD′=√3，
∴四边形ADED′是正方形，
∴AD=AD′=D′E=DE=√3，AE=√2AD=√6，∠EAD′=∠AED′=45°，
∴D′B=AB−AD′=2，
∵点F是BD′的中点，
∴D′F=1，
∴EF=√D′E2+D′F2=√3+1=2，
∵将△AED′绕点E顺时针旋转α，
∴AE=A′E=√6，∠D′ED′′=α，∠EA′D′′=∠EAD′=45°，∴A′F=√6−2，故①正确；
在Rt△ED′F中，D′F=1，EF=2，
∴∠FED′=30°
∴α=30°+45°=75°，
∴弧D′D″的长度=75×π×√3
180=5√3
12
π，故②正确；
∵AE=A′E，∠AEA′=75°，
∴∠A′AE≠∠AEA′，
∴A′A≠A′E，
∴△A′AF与△A′EG不全等，故③错误；
∵D′E=D′′E，EG=EG，
∴Rt△ED′G≌Rt△ED′′G(HL)，
∴∠D′GE=∠D′′GE，
∵∠EA′G=45°,∠A′AE=∠AA′E=52.5°,
∴∠A′AF=7.5°,∠AA′G=97.5°,
∴∠AGD′′=∠A′AG+∠AA′G=105°，
∴∠D′GE=52.5°=∠AA′F，
又∵∠AFA′=∠EFG，
∴△AA′F∽△EGF，故④正确，
故答案为：①②④．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，弧长公式，等腰三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定等知识，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．
由折叠的性质可得∠D=∠AD′E=90°=∠DAD′，AD=AD′，可证四边形ADED′是正方形，可得AD=AD′=D′E=DE=√3，AE=√2AD=√6，∠EAD′=∠AED′=45°，由勾股定理可求EF的长，由旋转的性质可得AE=A′E=√6，∠D′ED′′=α，∠EA′D′′=∠EAD′=45°，可求A′F=√6−2，可判断①；由直角三角形的性质可得∠FED′=30°，由弧长公式可求弧D′D″的长度，可判断②；
由等腰三角形的性质可判断③；由“HL”可证Rt△ED′G≌Rt△ED′′G，可得∠D′GE=∠AA′F= 52.5°，可证△AA′F∽△EGF，可判断④，即可求解．
17.【答案】解：sin245°−√27+1
2
(√3−1)0−(tan30°)−2
=(√2
2)2−3√3+
1
2×1−(
√3
3)−2
=1
2−3√3+
1
2−3
=−3√3−2．
【解析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
先计算特殊角的三角函数值、算术平方根、负整数指数幂和零次幂，再计算乘法，后计算加减．
18.【答案】解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∵DQ=CP，
∴AD−DQ=CD−CP，
∴AQ=DP，
∴△ABQ≌△DAP(SAS)，
∴∠DAP=∠ABQ，
∵∠DAP+∠BAP=90°，
∴∠ABQ+∠BAP=90°，
∴BQ⊥AP．
【解析】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形中的“十字架”模型是解题关键．
根据题意证明△ABQ≌△DAP即可．
19.【答案】解：(1)A=a−1
a+2⋅(a−2)(a+2)
(a−1)2
⋅(a−1)
=a−2；
(2)∵a2−a=a(a−1)=0，∴a=0或a=1，
而要使得A有意义，则a+2≠0，a2−2a+1=(a−1)2≠0，a−1≠0，
∴a≠−2，1，
∴a=0，
将a=0代入a−2，得A=a−2=0−2=−2．
【解析】本题考查了分式的乘除和有意义的条件，关键是根据法则将A化简求值．
(1)根据分式的乘除法法则可将原式化为a−1
a+2⋅(a−2)(a+2)
(a−1)2
⋅(a−1)，再化简即可．
(2)由a2−a=a(a−1)=0，得a=0或a=1，由分式有意义的条件可知a≠−2，1，所以将a=0再代入a−2即可得答案．
20.【答案】解：(1)8.5，0.7，8；
(2)甲班中有3名同学位优秀，分别用A、B、C表示，乙班有2名同学为优秀，分别用D，E表示，根据题意画图如下：
共有20种等可能的情况数，其中选派的两人中同为乙班的有2种，
则选派的两人中同为乙班的概率是2
20=1
10
．
【解析】
【分析】
此题考查了画树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．同时也考查了中位数、众数、方差的计算公式．
(1)根据众数、中位数的概念和方差计算公式分别进行解答，即可得出答案；
(2)根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出选派的两人中同为乙班的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】
(1)在甲班中，8.5出现了2次，出现的次数最多，
则甲班的众数是8.5；
甲班的方差是：1
5
×[(8.5−8.5)2+(7.5−8.5)2+(8−8.5)2+(8.5−8.5)2+(10−8.5)2]=0.7，把乙班中的数据从小到大排列为：7，7.5，8，10，10，
中位数是8；
故答案为：8.5，0.7，8；
(2)见答案．
21.【答案】解：(1)如图，射线CF即为所求；
(2)EF//BC.理由如下：
∵∠CAD=∠CDA，
∴AC=DC，即△CAD为等腰三角形；
又CF是顶角∠ACD的平分线，
∴CF是底边AD的中线，即F为AD的中点，
∵E是AB的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF//BD，从而EF//BC；
(3)由(2)知EF//BC，
∴△AEF∽△ABD，
∴S△AEF S△ABD =(AE
AB
)2，
又∵AE=1
2
AB，
∴得
S△AEF
S△AEF+S
四边形BDFE
=1
4，
把S四边形BDFE=9代入其中，解得S△AEF=3，
∴S△ABD=S△AEF+S
四边形BDFE
=3+9=12，即△ABD的面积为12．
【解析】本题主要考查作图−基本作图和等腰三角形的性质、中位线定理及相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质、中位线定理及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
(1)根据角平分线的作图可得；
(2)由等腰三角形的三线合一，结合E为AB边的中点证EF为△ABD的中位线可得；
(3)利用相似三角形的性质可得．
22.【答案】解：(1)设该水果每次降价的百分率为x，
10(1−x)2=8.1，
解得，x1=0.1，x2=1.9(舍去)，
答：该水果每次降价的百分率是10%；
(2)由题意可得，
y=(8.1−4.1)×(120−x)−(3x2−64x+400)=−3x2+60x+80=−3(x−10)2+380，
∵1≤x<10，
∴当x=9时，y取得最大值，此时y=377，
由上可得，y与x(1≤x<10)之间的函数解析式是y=−3x2+60x+80，第9天时销售利润最大，最大利润是377元．
【解析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
(1)根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得相应的百分率；
(2)根据题意和表格中的数据，可以求得y与x(1≤x<10)之间的函数解析式，然后利用二次函数的性质可以求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少．
23.【答案】解：(1)∵点A横坐标为4，
把x=4代入y=1
2
x中
得y=2，
∴A(4,2)，
∵点A是直线y=1
2x与双曲线y=k
x
(k>0)的交点，
∴k=4×2=8；
(2)如图，
∵点C在双曲线上，
当y=8时，x=1，
∴点C的坐标为(1,8)．
过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON．
∵S
矩形ONDM =32，S
△ONC
=4，S△CDA=9，S△OAM=4．
∴S△AOC=S
矩形ONDM
−S△ONC−S△CDA−S△OAM=32−4−9−4=15；
(3)∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
∴OP=OQ，OA=OB，
∴四边形APBQ是平行四边形，
∴S△POA=S
平行四边形APBQ ×1
4
=1
4
×24=6，
设点P的横坐标为m(m>0且m≠4)，
得P(m,8
m
)，
过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，∵点P、A在双曲线上，
∴S△POE=S△AOF=4，
若0<m<4，如图，
∵S△POE+S
梯形PEFA
=S△POA+S△AOF，
∴S
梯形PEFA
=S△POA=6．
∴1 2(2+8
m
)⋅(4−m)=6．
∴m1=2，m2=−8(舍去)，
∴P(2,4)；
若m>4，如图，四边形APBQ是平行四边形，
∵S△AOF+S
梯形AFEP
=S△AOP+S△POE，
∴S
梯形PEFA
=S△POA=6．
∴1 2(2+8
m
)⋅(m−4)=6，
解得m1=8，m2=−2(舍去)，
∴P(8,1)．
∴点P的坐标是(2,4)或(8,1)．
【解析】本题考查反比例解析式的确定和性质、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．难点是不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差来求解．
(1)先根据直线的解析式求出A点的坐标，然后将A点坐标代入双曲线的解析式中即可求出k的值；
(2)由(1)得出的双曲线的解析式，可求出C点的坐标，由于△AOC的面积无法直接求出，因此可通过作辅助线，通过其他图形面积的和差关系来求得；
(3)由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△POA的面积就应该是四边形面积的四分之一，即6.可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后表示出△POA的面积，由于△POA的面积为6，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标．
24.【答案】(1)解：结论：PS//AD//BC，PS=1
2
(AD+BC)．
理由：连接CP并延长，交DA的延长线于点E，
∵CB//DE，
∴∠B=∠PAE，
∵PS是梯形的中位线，
∴CS=SD，BP=PA，
在△CBP和△EAP中，
{∠B=∠PAE PB=PA
∠CPB=∠EPA
,
∴△CBP≌△EAP(ASA)，∴CP=PE，BC=AE，
∴SP//DE，SP=1
2DE=1
2
(AD+BC)，
∴PS//AD//BC，PS=1
2
(AD+BC)；
(2)证明：当0<t<2时，
过B作BE⊥AD，如图二；
∵在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，AB=4，BC=6，AD=8．∴AE=AD−BC=8−6=2，
即AB
AE =4
2
=2，
∵AP=2t，AQ=t，
∴AP AQ =2t
t
=2，
即AB
AE
=AP
AQ
，
∵∠A=∠A，
∴△APQ∽△ABE，
∴∠PQA=∠BEA=90°，
∵PQ为直径，
∴以PQ为直径的圆与AD相切；
(3)当0<t<2时，以PO为直径的圆与CD不可能相切．
当2≤t≤5时，设以PQ为直径的⊙O与CD相切于点K，如图三：
则有PC=10−2t，DQ=8−t，OK⊥DC．
∵OK是梯形PCDQ的中位线，
∴PQ=2OK=PC+DQ=18−3t．
又∵CD2=42−(8−6)2=12，
在直角梯形PCDQ中，PQ2=CD2+(DQ−CP)2，
解得：t=13±√15
2
．
∵13+√152>5，不合题意舍去．
2<13−√152
<5， 因此，当t =13−√152
时，以PQ 为直径的圆与CD 相切． 【解析】本题属于圆综合题，主要考查了切线的判定，直角梯形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
(1)连接CP 并延长，交DA 的延长线于点E ，根据三角形的中位线性质证明即可；
(2)当0<t <2时，根据直线与圆的关系解答即可；
(3)当P 在AB 上时，即0<t <2，显然不可能和CD 相切，当P 在BC 上时，即2≤t ≤5时，如果圆
与CD 相切，设切点为K ，连接圆心和K ，这条线段就是直角梯形PCDQ 的中位线，由此可用CP ，
DQ 表示出OK ，也就可以用含t 的式子表示出圆的直径；如果过P 引AD 的垂线，那么CP ，
DQ 的差，CD ，PQ 这三者恰好可以根据勾股定理来得出关于t 的方程，解方程后即可求出t 的值．
25.【答案】解：(1)令y =0，得x 2−4x +3=0，
解得x =1或x =3，
∴A(1,0)，B(3,0)，
把x =0代入y =x 2−4x +3得y =3，
∴C(0,3)，
设BC 解析式为y =kx +b ，
将(3,0)，(0,3)代入y =kx +b 得{0=3k +b 3=b
， 解得{k =−1b =3
， ∴y =−x +3．
(2)过点C 作直线CM//x 轴，过点B 作BM//y 轴，两直线交于点M ，连接AM ，点P 为AM 与BC 交点，
∵OB =OC ，
∴∠OBC =∠OCB =45°，
∴四边形OBMC 为正方形，
∴点M ，点O 关于BC 对称，点M 坐标为(3,3)，
设直线AM 解析式为y =mx +n ，
将(1,0)，(3,3)代入y =mx +n 得{
0=m +n 3=3m +n
， 解得{m =32n =−32， ∴y =32x −32，
令32x −32
=−x +3， 解得x =95
， 把x =95代入y =−x +3得y =65，
∴点P 坐标为(95,65
). (3)设点A 关于y 轴对称点为A′，作A′P ⊥BC 于点P ，A′P 交y 轴于点Q ，则AQ +QP 最小值为A′P 的长度，
∵点A(1,0)，
∴A′(−1,0)，
∴A′B=3+1=4，
∵∠CBA=45°，
∴△A′PB为等腰直角三角形，
∴A′P=PB=√2
2A′B=√2
2
×4=2√2．
∴AQ+QP的最小值为2√2．
(4)在x轴负半轴上取点G，使∠GCO=30°，作AH⊥CG于点H，交y轴于点Q，
在Rt△CQH中，∠HCQ=30°，
∴HQ=1
2
CQ，
∴AH=1
2
CQ+AQ，
∵∠GCO=30°，
∴OG=√3
3
OC=√3，
∴AG=1+√3，
∵∠CGO=90°−30°=60°，
∴AH=√3
2AG=3+√3
2
．
∴AQ+1
2QC的最小值为3+√3
2
．
【解析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握轴对称求最小值的方法，掌握二次函数与方程的关系．
(1)由抛物线解析式可得点B，C坐标，通过待定系数法求解．
(2)过点C作直线CM//x轴，过点B作BM//y轴，两直线交于点M，连接AM，点P为AM与BC交点，进而求解．
(3)设点A关于y轴对称点为A′，作A′P⊥BC于点P，A′P交y轴于点Q，则AQ+QP最小值为A′P的长
度，进而求解．
(4)在x轴负半轴上取点G，使∠GCO=30°，作AH⊥CG于点H，交y轴于点Q，进而求解．。