北京市海淀区2021届高三一模数学答案

北京市海淀区2021届高三一模数学试题
参考答案
1．B 【思路点拨】将A B B ⋃=转化为A B ⊆，根据子集关系列式可得结果. 【解析】因为A B B ⋃=，所以A B ⊆， 因为{1}A =,{|}B x x a =≥， 所以1a ≤. 故选：B
2．A 【思路点拨】写出点P 的坐标，可得点P 对应的复数，根据复数的除法运算化简z i
，即可得其虚部.
【解析】复数z 对应的点P 的坐标为(1,2)-，所以复数12z i =-+，
所以
12i i i i i 2
21z -+--===+-，所以复数z i
的虚部为1. 故选：A
3．C 【思路点拨】由等差数列的性质计算． 【解析】因为{a n }为等差数列， 所以5
355==S a ，31a =，且135,,a a a 成等差数列
所以13522153a a a =-=⨯-=-． 故选：C ．
4．B 【思路点拨】先写出通项公式，即可求出a .
【解析】6
a x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式的通项为()()66216611r r r r r r r r r
r T C x a x a C x
---+=-=-， ∵4x 的系数为12， ∴当6-2r =4时，解得r =1，
有()61=12r
r r
a C -，即-6a =12，解得：a =-2.
故选：B
【名师指导】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析． 5．D 【思路点拨】对三个函数化简后分别讨论.
【解析】对于①()sin cos f x x x =+，()4f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，周期为π，但不是奇函数；
对于②()sin cos f x x x =，1()sin 22
f x x =，周期为22T π
π==； 又()()11
()sin 2=sin 222
f x x x f x =
-=---，故()sin cos f x x x =符合题意； 对于③21()cos 42f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭，211()cos cos 2sin 24222f x x =x =x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由②推导过程可知：2
1
()cos 42
f x x π⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭周期是π且为奇函数，符合题意. 故选：D
【名师指导】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或
cos y x =的性质解题；
(1) 求周期用2T π
ω
=
;
(2)判断奇偶性，一般用()()f x f x =-或()()f x f x =-.
6．C 【思路点拨】根据解析式求出(8)f ，根据(1)(1)f x f x +=-将(2)f -化为(4)f ，再根据解析式求出(4)f ，然后相减可得答案. 【解析】2(8)log 83f ==，
2(2)(13)(13)(4)log 42f f f f -=-=+===，
所以(8)(2)f f --=321-=. 故选：C
7．C 【思路点拨】由a ⊥c 求得a b ⋅，再由求向量模的公式即可得解. 【解析】因a ，b 是单位向量，c ＝a ＋2b ，a ⊥c ， 则2
211(2)2022
a c a a
b a a b a b a ⋅=⋅+=+⋅=⇒⋅=-
⋅=-，
所以22222||(2)4414c c a b a b a b ==+=++⋅=+⋅=故选：C
8．A 【思路点拨】根据三个点的坐标可知，点,A B 在抛物线2x y =上，C 为抛物线的焦点，利用抛物线的定义，结合充分不必要条件的定义可得结果.
【解析】由(
)
2
11,A x x ，(
)
2
22,B x x ，10,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
可知，点,A B 在抛物线2
x y =上，C 为抛物
线的焦点，
若ABC 是等边三角形，则||||AC BC =，根据抛物线的定义可知，,A B 两点到准线的距离相等，所以直线AB 与x 轴平行，其斜率为0，
若直线AB 的斜率为0，则,A B 两点到准线的距离相等，则||||AC BC =，只能得到ABC 是等腰三角形，不能推出ABC 是等边三角形，
所以“ABC 是等边三角形”是“直线AB 的斜率为0”的充分不必要条件. 故选：A
【名师指导】利用抛物线的定义以及充分不必要条件的定义求解是解题关键.
9．D 【思路点拨】根据已知求得q 的范围，然后根据q 的正负分类讨论确定{}n S 的单调性． 【解析】因为121a a a -<<，所以10a >，2
1
11a a -<<，即11q -<<， 若01q <<，1
10n n a a q
-=>，11n n n n S S a S ++=+>，{}n S 是递增数列，排除AC ，
若10q -<<，则21n a -0>，20n a <，易知212n n S S +>，221n n S S -<，{}n S 是摆动数列，排除B ，
当01q <<时，{}n S 是递增数列，1S 是最小项． 当10q -<<时，21S S <，2334(1)01n n a q a a a q
--+++=>-，
所以2342()n n S S a a a S =++++>(2)n >，所以{}n S 中2S 是最小项．D 正确．
故选：D ．
【名师指导】本题考查数列的单调性，解题关键是通过n S 与1n S +的关系进行判断，难点是摆动数列的最小项问题，需要利用2340n n S S a a a -=++
+>(2)n >进行证明．
10．D 【思路点拨】首先由图1得正方体的内切球也是“牟合方盖”内切球，由图2可知截面
均为正方形，此正方形是平面截内切球的截面圆的外接正方形，由此计算得到函数解析式，判断选项.
【解析】正方体的内切球也是“牟合方盖”内切球，用任意平行于水平平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，并且此正方形是平面截内切球的截面圆的外接正方形，
内切球的半径为a ，设截面圆的半径为r ，则()2
22a h r a -+=，解得：222r h ah =-+， 设截面圆的外接正方形的边长为b ，则2b r =，正方形的面积222448S b r h ah ===-+，
[]0,2h a ∈，由函数形式可知，图象应是开口向下的抛物线.
故选：D
【名师指导】本题的关键是空间想象能力的考查，关键得到截面是一个正方形，以及与“牟合方盖”内切球的关系.
11．1-【思路点拨】根据导数的几何意义进行解题即可.
【解析】因为3()f x x ax =+，所以'2
()3f x x a =+，
又因为曲线y ()f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为2，
根据导数的几何意义知：'
(1)32f a =+=
所以1a =-.
【名师指导】导数的几何意义为切线的斜率是解决本题的关键. 12
【解析】解析过程略
13．0(答案不惟一)【思路点拨】消去α并利用恒等变换公式得到1
sin()6
2
π
β+=
，进一步得到2k βπ=或223
k π
βπ=+
，k Z ∈，再去一个值即可得解. 【解析】
由12cos 2cos 2sin 2sin αβαβ+=⎧⎪=
得2cos 2cos 1
2sin 2sin αβαβ=-⎧⎪⎨=⎪⎩
，
所以2222(2cos )(2sin )(2cos 1)(2sin ααββ+=-+，
所以2244cos 4cos 14sin 3ββββ=-++-+，
cos 1ββ+=， 所以1sin()6
2π
β+
=
，所以266k ππβπ+=+或5266
k ππ
βπ+=+，k Z ∈，
即2k βπ=或223
k π
βπ=+，k Z ∈. 所以β可以取0.
14．②③④【思路点拨】根据分类直线的定义判断.
【解析】由图象知：()()()()()()()12341231.5,2,1,3,2,3,2,4,3,1,3,2,4,3P P P P Q Q Q ，
①当直线 2.5x =为分类直线时，3 2.50.5l d =-=，当直线350x y --=
为分类直线时
0.5l d =
=
>，所以直线350x y --=分类效果好，故错误； ②由图知定位L 的位置由()()()1321.5,2,2,3,3,2P P Q 确定，所以直线L 过点()()()1321.5,2,2,3,3,2P P Q 的外心，设直线方程为
y kx b =+ 则
=
，解得2k =，故正确； ③当3P 到L 的距离与2Q 到L 的距离相等时为L 的临界值，此时点()3,3在L 的右侧，故正确；
④去掉点1P
=
，解得1k =，故正确；
【名师指导】本题关键是理解分类直线的定义，如本题L 的位置由
()()()1321.5,2,2,3,3,2P P Q 确定.
15
5 【思路点拨】①根据向量的夹角公式，直接求解即可； ②根据已知可得0OA AB ⋅=，求出相应的坐标代入即可求出m 的值.
【解析】①因为(0,0)O ，(1,2)A ，(,0)(0)B m m >，所以(1,2)OA =，(,0)OB m =，
所以cos ,5
||||5OA OB OA OB OA OB ⋅<>=
==
②(1,2)AB m =--，若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则0OA AB ⋅=, 即140OA AB m ⋅=--=，所以5m =.
16．【思路点拨】（1）计算出sin A 、sin ADB ∠，利用两角和的余弦公式可求得
cos cos BDC ABD ∠=∠的值；
（2）在ABD △中，利用正弦定理可求出BD 的长，然后在BCD △中利用余弦定理可求得
BC 的长.
【解析】（1
）因为cos 3
A =
，1cos 3ADB ∠=，则A 、ADB ∠均为锐角，
所以，sin 3A ==
，sin 3
ADB ∠==， ()()cos cos cos sin sin cos cos ABD A ADB A ADB A ADB A ADB
π∠=--∠=-+∠=∠-
∠133339
=
-=
， //AB CD ，则BDC ABD ∠=∠
，因此，cos cos BDC ABD ∠=∠=
； （2）在ABD △中，由正弦定理可得
sin sin AB BD
ADB A
=∠，
可得sin 3sin 3
AB A
BD ADB
=
=
=∠，
在BCD △
中，由余弦定理可得
2222cos 962311BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⋅=，
因此，BC =【名师指导】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
17．【思路点拨】（1）根据四边形ACFE 为矩形，得到//AE CF ，利用线面平行的判定定理得到//AE 平面CDF ，同理//AB 平面CDF ，然后利用面面平行的判定定理证明； （2）选条件①：AB AD ⊥；条件②：AE ⊥平面ABCD ，则以A 为原点，以AB ，AD ，AE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求得平面CDF 的一个法向量和平面EBF 的一个法向量，利用cos n m n m
θ⋅=
⋅求解.
【解析】（1）因为四边形ACFE 为矩形，所以//AE CF ， 又AE ⊄平面CDF ；CF ⊂平面CDF ； 所以//AE 平面CDF ；
又//AB CD ，AB ⊄平面CDF ；CD ⊂平面CDF ； 所以//AB 平面CDF ； 又AB
AE A =，
所以平面//ABE 平面CDF ；
（2）选条件①：AB AD ⊥；条件②：AE ⊥平面ABCD ；
以A 为原点，以AB ，AD ，AE 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系；
则()()()()()()0,0,0,1,0,0,1,0,0,2,2,1,0,2,0,2,2,0A B E F D C ， 所以()()1,01,2,21EB EF =-=-，
设平面CDF 的一个法向量为 (),,n x y z =，即()0,1,0n =， 设平面EBF 的一个法向量为(),,m x y z =，
则00
EB m EF m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0220x z x y -=⎧⎨+=⎩，
令1x =，则1,1y z =-=，则()1,1,1m =-， 设二面角B l C --为θ ， 所以3cos 3
n m n m
θ⋅=
=
=-⋅
选条件①：AB AD ⊥；条件③：平面AED ⊥平面ABCD . 因为AB AD ⊥，平面AED ⊥平面ABCD . 所以AB ⊥平面AED 因为//AB CD ， 所以CD ⊥平面AED ， 所以CD DE ⊥ 因为222,3CD EC AE AC ==+=，
所以225ED EC CD =
-=，即222
AE AD ED +=，
所以AE AD ⊥，
因为平面AED ⊥平面ABCD . 所以AE ⊥平面ABCD ，
以A 为原点，以AB ，AD ，AE 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系；
则()()()()()()0,0,0,1,0,0,1,0,0,2,2,1,0,2,0,2,2,0A B E F D C ， 所以()()1,01,2,21EB EF =-=-，
设平面CDF 的一个法向量为 (),,n x y z =，即()0,1,0n =， 设平面EBF 的一个法向量为(),,m x y z =，
则00EB m EF m ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即0220x z x y -=⎧⎨+=⎩，
令1x =，则1,1y z =-=，则()1,1,1m =-， 设二面角B l C --为θ ，
所以cos 33
n m n m
θ⋅=
=
=-⋅
【名师指导】向量法求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
18．【思路点拨】（1）根据题意，利用频率分布直方图，概率和为1求a ；
（2）由分层抽样知，从阅读时间在(12,14]，(14,16]，(16,18]中分别抽取5，4，1人，则
X 的可能取值为0,1,2,3，计算概率，列出分布列；
（3）学生日平均阅读时间在(10,12]的概率0.2P =，则202020()(0.2)(0.8)k k k
P k C -=，可知
20()P k 最大，k 的取值.
【解析】（1）由概率和为1得：
20.0220.0320.0520.0520.15220.05a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯20.0420.011
+⨯+⨯=，
解得：0.1a =.
（2）由分层抽样性质知，从阅读时间在(12,14]中抽取5人，从阅读时间在(14,16]中抽取4人，从阅读时间在(16,18]中抽取1人，
从该10人中抽取3人，则X 的可能取值为0,1,2,3，
()36310106C P X C ===，()21
643101
12C C P X C ===，
()12643103210C C P X C ===，()343101
330
C P X C ===，
则X 的分布列为
（3）学生日平均阅读时间在(10,12]的概率0.120.2P =⨯=，则
202020()(0.2)(0.8)k
k k P k C -=，
当4k =时，20()P k 最大.
【名师指导】本题考查频率分布直方图，超几何分布概率以及离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出X 取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题. 19．【思路点拨】（1）求导，利用导数的符号判断可得结果； （2）利用导数，根据极值点的定义可证结论正确；
（3）根据()1f x +在x π=时取得最小值，ln x 在x π=时取得最大值，可得()g x 在x π=时取得最小值.
【解析】（1）因为()sin f x x x =，所以()sin cos f x x x x '=+⋅， 因为02
x π
<<
，所以()0f x '>，
所以函数()f x 在区间0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上为增函数. （2）设()()h x f x '=，则()cos cos sin 2cos sin h x x x x x x x x '=+-⋅=-⋅，
当2x π
π<<时，()0h x '<，所以()h x 在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上为减函数，
又()102
h π
=>，()0h ππ=-<，
所以存在唯一0(,)2
x π
π∈，使得0()0h x =，
即存在唯一0(
,)2
x π
π∈，使得0()0f x '=， ()f x 与()'f x 在区间,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
内的变化情况如下：
所以函数()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
内有且只有一个极值点. （3）由（1）（2）知，()f x 在0(1,)x 内单调递增，在0(,)x π内单调递减，
又因为(1)sin10f =>，()0f π=，所以当(1,]x π∈时，()11f x +≥，
又因为当(1,]x π∈时，0ln ln x π<≤，
所以()11()ln ln f x g x x π
+=
≥，当且仅当x π=时等号成立， 所以()g x 在(1,]π上的最小值为1ln π. 【名师指导】利用导数研究函数的单调性、极值和最值是解题关键.
20．【思路点拨】（1）由已知两点坐标得,a b ，求得c 后可得离心率；
（2）直线AB 方程为22x y =-，设00(,)P x y （00y ≠，01y ≠±），(22,)Q Q Q y y -，(,0)S S x ．由,,C P Q 三点共线求得Q 点坐标（用P 点坐标表示），由,,B P S 共线求得S 点
坐标（用P 点坐标表示），写出直线QS 的方程，把220044x y =-代入化简对方程变形可得定
点坐标．
【解析】（1）因为点(2,0)A -，(0,1)B 都在椭圆M 上，
所以2a =，1b =．
所以c ==
所以椭圆M 的离心率c e a == （2）由（1）知椭圆M 的方程为2
214
x y +=，(2,0)C ． 由题意知：直线AB 的方程为22x y =-．
设00(,)P x y （00y ≠，01y ≠±），(22,)Q Q Q y y -，(,0)S S x ．
因为,,C P Q 三点共线，所以有//CP CQ ，00(2,),(222,)Q Q CP x y CQ y y =-=--， 所以00(2)(24)Q Q x y y y -=-． 所以000422
Q y y y x =-+． 所以00000004244(,)2222
y x y Q y x y x +--+-+． 因为,,B S P 三点共线， 所以0011s y x x -=-，即00
1s x x y =-． 所以00
(,0)1x S y -． 所以直线QS 的方程为000
000000
004242214122
y x x y x y x x y y y y x +---+-=+--+， 即22000000000
44844(1)1x y x y y x x y y y y --+-=+--． 又因为点P 在椭圆M 上，所以220044x y =-．
所以直线QS 的方程为000
22(1)21y x x y y --=-+-． 所以直线QS 过定点(2,1)．
【名师指导】本题考查求椭圆的离心率，考查椭圆的直线过定点问题，解题方法是设椭圆上的点坐标00(,)P x y ，利用三点共线变为向量平行，求得直线交点,Q S 的坐标，得出直线QS 方程，再由P 在椭圆上，代入化简凑配出定点坐标．
21．【思路点拨】（1）根据性质()P m 的定义求解；
（2）用反证法，假设存在具有性质P （1）的数列{a n }，则21++=+n n n a a a ，得数列{}n a 递增，然后证明322n n a a a ++>+，n 个不等式相加得332n a a na +-≥，这时取32
T a n a ->，则
得到3n a T +>，出现矛盾，完成证明；
（3）确定1m ≠，若2m =，则有211()2n n n a a a ++=
+，变形为2111()2n n n n a a a a +++-=--， 这样可以得出212112
n n n a a a a ++-=-，然后说明12*a a c N ==∈适合，12a a ≠不适合；在3m ≥时，取1max{,}n n n b a a +=，利用不等式性质可得2n n a b +<，3n n a b +<，于是有2n n b b +<，数列{}n b 的奇数项递减（偶数项也递减），而1b 是确定的正整数，这样可推导出矛盾的结论，从而得出结论．
【解析】（1）2m =；
答案不唯一．如6T =．
理由如下：
1422n ⎛⎫⨯-≥- ⎪⎝⎭（1n =时取等号），*n N ∈，所以154302n
n a ⎛⎫=+⨯-≥> ⎪⎝⎭
； 1412n ⎛⎫⨯-≤ ⎪⎝⎭
（2n =时取等号），*n N ∈，所以1545162n n a ⎛⎫=+⨯-≤+= ⎪⎝⎭，不小于6的实数都可以是T ； 1212
11115454102102422222n n n n n n n a a a ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⨯-++⨯-=+⨯-=+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭，2m =． （2）不存在具有性质(1)P 的数列{}n a ，理由如下：
假设存在具有性质(1)P 的数列，设为{}n a ，则1m =．
所以21n n n a a a ++=+，1,2,
n =．
因为0n a >（1,2,n =）， 所以21n n a a ++>，即234a a a <<<⋅⋅⋅．
所以32122n n n n a a a a a ++++=+≥+，即432a a a -≥，542a a a -≥，⋅⋅⋅，322n n a a a ++-≥．
累加得，332n a a na +-≥．
对于常数0T >，当32
T a n a ->时，323n a na a T +≥+>，与②矛盾．
所以不存在具有性质(1)P 的数列{}n a ．
（3）因为数列{}n a 具有性质()P m ，由（2）知1m ≠．
①当2m =时，211()2n n n a a a ++=
+，即2111()2n n n n a a a a +++-=--，1,2,n =． 所以212112n n n
a a a a ++-=-． 若12a a c ==（c 为常数，且*c ∈N ），则n a c =，1,2,
n =． 经检验，数列{}c （*c ∈N ）具有性质(2)P ．
若12a a ≠，当221log n a a >-时，21211(0,1)2n n n
a a a a ++-=
-∈， 与*n a ∈N 矛盾．
②当3m ≥时，令{}*1max n n n b a a +=∈N ，，则 211111()()()33
n n n n n n n n a a a a a b b b m +++=
+≤+≤+<，1,2,n =． 所以32121111()()()33n n n n n n n n a a a a a b b b m +++++=+≤+<+<． 所以{}223max n n n n b a a b +++=<，．
所以21n n b b +≤-，1,2,n =． 所以311b b -≤-，531b b -≤-，⋅⋅⋅，21211n n b b +--≤-．
所以211n b b n +-≤-．
当1n b ≥时，2110n b b n +≤-≤，与*21n b +∈N 矛盾．
综上所述，数列{}n a 的通项公式为n a c =（c 为常数，且*c ∈N ）．
【名师指导】本题考查数列新定义，解题关键是理解新定义，并能应用新定义解题．解题时由于新定义提供的理论根据较少，因此在证明与之有关的命题时可能应用反证法思想．本题中的矛盾的出现主要是把已知性质()P m 的等式转化为不等式，推导出*n a N ∉．。